4. 已知二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c $ 的图象开口向下,对称轴为直线 $ x= -1 $,且经过点(-3,0),则下列结论正确的是 ()
A.$ b＞0 $
B.$ c＜0 $
C.$ a+b+c＞0 $
D.$ 3a+c= 0 $

D

∵二次函数开口向下，∴a＜0；对称轴为x=-1，即-b/(2a)=-1，得b=2a，∵a＜0，∴b＜0（A错误）；
∵函数过点(-3,0)，代入得9a-3b+c=0，又b=2a，∴9a-6a+c=0，即3a+c=0（D正确）；
对称轴x=-1，点(-3,0)对称点为(1,0)，即x=1时y=0，∴a+b+c=0（C错误）；
x=0时y=c，0在(-3,1)间，开口向下，此时y=c＞0（B错误）。

5. 已知二次函数 $ y= x^{2}-bx+2 $ 的图象经过点 A(1,n),B(3,n),则 b 的值为 .

4

因为二次函数$y = x^2 - bx + 2$的图象经过点$A(1,n)$，$B(3,n)$，两点纵坐标相同，所以$A$、$B$关于抛物线对称轴对称。对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，此函数中$a = 1$，对称轴为$x = \frac{b}{2}$。两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{1 + 3}{2} = \frac{b}{2}$，解得$b = 4$。

6. 将抛物线 $ y= x^{2}-4x-4 $ 先向左平移 3 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度,得到的抛物线的解析式为 .

$y = x^{2} + 2x - 2$

原抛物线的解析式为 $y = x^{2} - 4x - 4$，
为了更容易地应用平移变换，首先将其转化为顶点式，
$y = x^{2} - 4x - 4 = (x - 2)^{2} - 8$，
根据平移规律，向左平移3个单位长度，即将 $x$ 替换为 $x + 3$，
再向上平移5个单位长度，即在原解析式的基础上加5，
应用这些平移变换到顶点式上：
$y = (x - 2 + 3)^{2} - 8 + 5$，
$y = (x + 1)^{2} - 3$，
$y = x^{2} + 2x - 2$，
所以，平移后的抛物线解析式为 $y = x^{2} + 2x - 2$。

7. 已知二次函数 $ y= -x^{2}-2x+3 $,当 $ -2≤x≤2 $ 时,对应的函数值 y 的取值范围是 .

$-5\le y\le4$

首先，将二次函数 $y = -x^{2} - 2x + 3$ 化为顶点式形式，即$y = - (x + 1)^{2} + 4$。
由此可知，该二次函数的对称轴为 $x = -1$，且由于二次项系数为负，所以函数的开口方向向下。
接下来，分别计算区间端点和对称轴上的函数值：
当 $x = -2$ 时，$y = - (-2 + 1)^{2} + 4 = - 1 + 4 = 3$；
当 $x = -1$ 时，$y = - (-1 + 1)^{2} + 4 = 4$；
当 $x = 2$ 时，$y = - (2 + 1)^{2} + 4 = - 9 + 4 = -5$。
由于函数开口向下，所以在区间 $[-2, 2]$ 上，函数的最大值出现在对称轴 $x = -1$ 处，即 $y_{max} = 4$；最小值出现在区间端点 $x = 2$ 处，即 $y_{min} = -5$。
因此，当 $-2 \leq x \leq 2$ 时，对应的函数值 $y$ 的取值范围是 $-5 \leq y \leq 4$。

8. 已知二次函数 $ y= x^{2}+2x-3 $.
(1) 求该二次函数图象的顶点坐标.
(2) 请在图中的平面直角坐标系中作出二次函数 $ y= x^{2}+2x-3 $ 的图象.
(3) 当 x 在什么范围内时,y 随 x 的增大而增大？当 x 在什么范围内时,y 随 x 的增大而减小？
(4) 结合函数图象,直接写出当 $ y＜0 $ 时,x 的取值范围.

(1) $y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
(2) 列表：
|x|-3|-2|-1|0|1|
|----|----|----|----|----|----|
|y|0|-3|-4|-3|0|
描点、连线（图象略）。
(3) 对称轴为$x=-1$，$a=1＞0$，当$x＞-1$时，y随x的增大而增大；当$x＜-1$时，y随x的增大而减小。
(4) $-3＜x＜1$。