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1. (2024·甘肃中考)计算：$\dfrac{4a}{2a - b}-\dfrac{2b}{2a - b}= $(
A.2
B.$2a - b$
C.$\dfrac{2}{2a - b}$
D.$\dfrac{a - b}{2a - b}$
A
)A.2
B.$2a - b$
C.$\dfrac{2}{2a - b}$
D.$\dfrac{a - b}{2a - b}$
答案
A
解析
$\dfrac{4a}{2a - b}-\dfrac{2b}{2a - b}=\dfrac{4a - 2b}{2a - b}=\dfrac{2(2a - b)}{2a - b}=2$
2. 化简$\dfrac{a^{2}}{a - b}+\dfrac{b^{2}}{b - a}$的结果是(
A.$a + b$
B.$a - b$
C.$a^{2}-b^{2}$
D.1
A
)A.$a + b$
B.$a - b$
C.$a^{2}-b^{2}$
D.1
答案
A
解析
$\dfrac{a^{2}}{a - b}+\dfrac{b^{2}}{b - a}=\dfrac{a^{2}}{a - b}-\dfrac{b^{2}}{a - b}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a - b}=\dfrac{(a + b)(a - b)}{a - b}=a + b$
3. 化简：$\dfrac{1}{x - 1}-\dfrac{1}{x + 1}= $
$\dfrac{2}{x^2 - 1}$
.答案
$\dfrac{2}{x^2 - 1}$
解析
原式$=\dfrac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=\dfrac{x + 1 - x + 1}{x^2 - 1}=\dfrac{2}{x^2 - 1}$
4. 已知实数 $a$,$b$ 满足 $ab = 1$ 的两根,则 $\dfrac{1}{a^{2}+1}+\dfrac{1}{b^{2}+1}= $
1
.答案
$1$
解析
由已知条件，$ab = 1$。
将$\dfrac{1}{a^{2} + 1}$和$\dfrac{1}{b^{2} + 1}$通分相加：
$\;\;\;\dfrac{1}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{b^{2} + 1}$
$=\dfrac{b^{2} + 1 + a^{2} + 1}{(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)}$
$=\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2}{a^{2}b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1}$
因为$ab = 1$，所以$a^{2}b^{2}=1$，代入上式可得：
$\;\;\;\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2}{1 + a^{2} + b^{2} + 1}$
$=\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2}{a^{2} + b^{2} + 2}$
$= 1$
将$\dfrac{1}{a^{2} + 1}$和$\dfrac{1}{b^{2} + 1}$通分相加：
$\;\;\;\dfrac{1}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{b^{2} + 1}$
$=\dfrac{b^{2} + 1 + a^{2} + 1}{(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)}$
$=\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2}{a^{2}b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1}$
因为$ab = 1$，所以$a^{2}b^{2}=1$，代入上式可得：
$\;\;\;\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2}{1 + a^{2} + b^{2} + 1}$
$=\dfrac{a^{2} + b^{2} + 2}{a^{2} + b^{2} + 2}$
$= 1$
5. 计算：
(1)$\dfrac{5}{6a^{2}c}+\dfrac{1}{6a^{2}c}-\dfrac{2}{6ca^{2}}$；
(2)$\dfrac{x^{2}+9x}{x^{2}+3x}+\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+6x + 9}$；
(3)$\dfrac{a^{2}-5}{a - 2}+\dfrac{a}{2 - a}+\dfrac{1 + a}{a - 2}$；
(4)$\dfrac{a^{2}}{a + 1}-a + 1$.
(1)$\dfrac{5}{6a^{2}c}+\dfrac{1}{6a^{2}c}-\dfrac{2}{6ca^{2}}$；
(2)$\dfrac{x^{2}+9x}{x^{2}+3x}+\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+6x + 9}$；
(3)$\dfrac{a^{2}-5}{a - 2}+\dfrac{a}{2 - a}+\dfrac{1 + a}{a - 2}$；
(4)$\dfrac{a^{2}}{a + 1}-a + 1$.
答案
(1)
$\;\;\;\;\dfrac{5}{6a^{2}c}+\dfrac{1}{6a^{2}c}-\dfrac{2}{6ca^{2}}$
$=\dfrac{5 + 1 - 2}{6a^{2}c}$
$=\dfrac{4}{6a^{2}c}$
$=\dfrac{2}{3a^{2}c}$
(2)
$\;\;\;\;\dfrac{x^{2}+9x}{x^{2}+3x}+\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+6x + 9}$
$=\dfrac{x(x + 9)}{x(x + 3)}+\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^{2}}$
$=\dfrac{x + 9}{x + 3}+\dfrac{x - 3}{x + 3}$
$=\dfrac{x + 9+x - 3}{x + 3}$
$=\dfrac{2x + 6}{x + 3}$
$=\dfrac{2(x + 3)}{x + 3}$
$= 2$
(3)
$\;\;\;\;\dfrac{a^{2}-5}{a - 2}+\dfrac{a}{2 - a}+\dfrac{1 + a}{a - 2}$
$=\dfrac{a^{2}-5}{a - 2}-\dfrac{a}{a - 2}+\dfrac{1 + a}{a - 2}$
$=\dfrac{a^{2}-5 - a+1 + a}{a - 2}$
$=\dfrac{a^{2}-4}{a - 2}$
$=\dfrac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2}$
$=a + 2$
(4)
$\;\;\;\;\dfrac{a^{2}}{a + 1}-a + 1$
$=\dfrac{a^{2}}{a + 1}-(a - 1)$
$=\dfrac{a^{2}}{a + 1}-\dfrac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$
$=\dfrac{a^{2}-(a^{2}-1)}{a + 1}$
$=\dfrac{a^{2}-a^{2}+1}{a + 1}$
$=\dfrac{1}{a + 1}$
$\;\;\;\;\dfrac{5}{6a^{2}c}+\dfrac{1}{6a^{2}c}-\dfrac{2}{6ca^{2}}$
$=\dfrac{5 + 1 - 2}{6a^{2}c}$
$=\dfrac{4}{6a^{2}c}$
$=\dfrac{2}{3a^{2}c}$
(2)
$\;\;\;\;\dfrac{x^{2}+9x}{x^{2}+3x}+\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+6x + 9}$
$=\dfrac{x(x + 9)}{x(x + 3)}+\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^{2}}$
$=\dfrac{x + 9}{x + 3}+\dfrac{x - 3}{x + 3}$
$=\dfrac{x + 9+x - 3}{x + 3}$
$=\dfrac{2x + 6}{x + 3}$
$=\dfrac{2(x + 3)}{x + 3}$
$= 2$
(3)
$\;\;\;\;\dfrac{a^{2}-5}{a - 2}+\dfrac{a}{2 - a}+\dfrac{1 + a}{a - 2}$
$=\dfrac{a^{2}-5}{a - 2}-\dfrac{a}{a - 2}+\dfrac{1 + a}{a - 2}$
$=\dfrac{a^{2}-5 - a+1 + a}{a - 2}$
$=\dfrac{a^{2}-4}{a - 2}$
$=\dfrac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2}$
$=a + 2$
(4)
$\;\;\;\;\dfrac{a^{2}}{a + 1}-a + 1$
$=\dfrac{a^{2}}{a + 1}-(a - 1)$
$=\dfrac{a^{2}}{a + 1}-\dfrac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$
$=\dfrac{a^{2}-(a^{2}-1)}{a + 1}$
$=\dfrac{a^{2}-a^{2}+1}{a + 1}$
$=\dfrac{1}{a + 1}$
6. (2024·四川雅安中考)已知$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}= 1$ $(a + b\neq0)$,则$\dfrac{a + ab}{a + b}= $(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
C
)A.$\dfrac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
由$\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} = 1$，通分得$\dfrac{2b + a}{ab} = 1$，即$a + 2b = ab$，移项得$ab - a = 2b$，$a(b - 1) = 2b$，$a = \dfrac{2b}{b - 1}$。
将$a = \dfrac{2b}{b - 1}$代入$\dfrac{a + ab}{a + b}$，分子：$a + ab = a(1 + b) = \dfrac{2b}{b - 1}(b + 1) = \dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}$；分母：$a + b = \dfrac{2b}{b - 1} + b = \dfrac{2b + b(b - 1)}{b - 1} = \dfrac{2b + b^2 - b}{b - 1} = \dfrac{b^2 + b}{b - 1} = \dfrac{b(b + 1)}{b - 1}$。
则原式$= \dfrac{\dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}}{\dfrac{b(b + 1)}{b - 1}} = 2$。
将$a = \dfrac{2b}{b - 1}$代入$\dfrac{a + ab}{a + b}$，分子：$a + ab = a(1 + b) = \dfrac{2b}{b - 1}(b + 1) = \dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}$；分母：$a + b = \dfrac{2b}{b - 1} + b = \dfrac{2b + b(b - 1)}{b - 1} = \dfrac{2b + b^2 - b}{b - 1} = \dfrac{b^2 + b}{b - 1} = \dfrac{b(b + 1)}{b - 1}$。
则原式$= \dfrac{\dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}}{\dfrac{b(b + 1)}{b - 1}} = 2$。
7. (2024·河北中考)已知 $A$ 为整式,若计算$\dfrac{A}{xy + y^{2}}-\dfrac{y}{x^{2}+xy}的结果为\dfrac{x - y}{xy}$,则$A= $(
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
A
)A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
答案
A
解析
根据题意，有：
$\frac{A}{xy + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + xy} = \frac{x - y}{xy}$，
首先，对分母进行因式分解，得到：
$xy + y^{2} = y(x + y)$，
$x^{2} + xy = x(x + y)$，
将原式改写为：
$\frac{A}{y(x + y)} - \frac{y}{x(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$，
为了消去分母，将等式两边同时乘以$xy(x + y)$，得到：
$Ax - y^{2} = (x - y)(x + y)$，
$Ax - y^{2} = x^{2} - y^{2}$，
整理上式，得到：
$Ax = x^{2}$，
由于$x \neq 0$（否则原式无意义），可以除以x，得到：
$A = x$。
$\frac{A}{xy + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + xy} = \frac{x - y}{xy}$，
首先，对分母进行因式分解，得到：
$xy + y^{2} = y(x + y)$，
$x^{2} + xy = x(x + y)$，
将原式改写为：
$\frac{A}{y(x + y)} - \frac{y}{x(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$，
为了消去分母，将等式两边同时乘以$xy(x + y)$，得到：
$Ax - y^{2} = (x - y)(x + y)$，
$Ax - y^{2} = x^{2} - y^{2}$，
整理上式，得到：
$Ax = x^{2}$，
由于$x \neq 0$（否则原式无意义），可以除以x，得到：
$A = x$。
8. 一组学生春游,预计共需总车费 120 元,后来人数增加了$\dfrac{1}{4}$,但总车费不变.如果这组学生原有 $a$ 人,那么增加人数后每人少花
$\dfrac{24}{a}$
元.答案
$\dfrac{24}{a}$
解析
原有人数为$a$人时，每人需支付的车费为$\frac{120}{a}$元，增加了$\frac{1}{4}$后，总人数为$a+\frac{1}{4}a=\frac{5}{4}a$（人），
此时，每人需支付的车费为：$\frac{120}{\frac{5}{4}a} = \frac{120 × 4}{5a} = \frac{96}{a}$（元），
增加人数后每人少花的费用为：$\frac{120}{a} - \frac{96}{a} = \frac{24}{a}$（元）的简化（或变形）形式，但题目要求的是“增加人数后每人少花”的直接表达式，所以答案为$\frac{24}{a}$元。
此时，每人需支付的车费为：$\frac{120}{\frac{5}{4}a} = \frac{120 × 4}{5a} = \frac{96}{a}$（元），
增加人数后每人少花的费用为：$\frac{120}{a} - \frac{96}{a} = \frac{24}{a}$（元）的简化（或变形）形式，但题目要求的是“增加人数后每人少花”的直接表达式，所以答案为$\frac{24}{a}$元。
9. (2024·山东滨州中考)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献,也在初等数学中留下了不凡的足迹.设 $a$,$b$,$c$ 为两两不同的数,称$P_{n}= \dfrac{a^{n}}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{b^{n}}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{c^{n}}{(c - a)(c - b)}(n = 0,1,2,3)$为欧拉分式.
(1)写出 $P_{0}$ 对应的表达式；
(2)化简 $P_{1}$ 对应的表达式.
(1)写出 $P_{0}$ 对应的表达式；
(2)化简 $P_{1}$ 对应的表达式.
答案
(1) 见上述表达式；(2) $ 0 $
解析
(1) $ P_{0}=\dfrac{1}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{1}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{1}{(c - a)(c - b)} $
(2) $ P_{1}=\dfrac{a}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{b}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{c}{(c - a)(c - b)} $
通分，公分母为$(a - b)(a - c)(b - c)$
$\begin{aligned}分子&=a(b - c)-b(a - c)+c(a - b)\\&=ab - ac - ab + bc + ac - bc\\&=0\end{aligned}$
故 $ P_{1}=0 $
(2) $ P_{1}=\dfrac{a}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{b}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{c}{(c - a)(c - b)} $
通分，公分母为$(a - b)(a - c)(b - c)$
$\begin{aligned}分子&=a(b - c)-b(a - c)+c(a - b)\\&=ab - ac - ab + bc + ac - bc\\&=0\end{aligned}$
故 $ P_{1}=0 $
