7.「2026 江苏连云港灌南期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，直线$m$是$BC$的垂直平分线，点$P$是直线$m$上的一个动点.若$AB=6$，$AC=4$，$BC=7$，则$△ APC$周长的最小值为（）

A.9
B.10
C.10.5
D.11

7.B 如图,设直线 $m$ 与 $AB$ 交于点 $D$,连接 $CD,BP$,
$\because$ 直线 $m$ 是 $BC$ 的垂直平分
线,$\therefore PB=PC$,
$\therefore AP+PC=AP+PB$,根据“两
点之间线段最短”可知,当点
$P$ 与点 $D$ 重合时,$AP+PC$ 的
值最小,为 $AB$ 的长,
$\therefore △ APC$ 周长的最小值为 $AB+AC=6+4=10.$

8.「2026江苏无锡江阴月考，★☆」如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F。若AB=12，AC=8，则BE的长是。

8.答案 2
解析 如图,连接 $DB,DC$,
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD$,
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ AED=∠ AFD=90°$,

又$\because AD=AD,\therefore △ AED≌ △ AFD(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DE=DF,AE=AF$,
$\because DG$ 垂直平分 $BC,\therefore DB=DC$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore BE=CF$,
$\because AE=AF,\therefore AB-BE=AC+CF$,
$\because AB=12,AC=8,\therefore 12-BE=8+BE,\therefore BE=2.$

9.「2026江苏南京秦淮月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$DE ⊥ AC$于点$D$，且$AD = CD$，$∠ ABE + ∠ CBE = 180°$，$EF ⊥ BC$于点$F$，若$AB = 7$，$BF = 1$，则$BC =$

9.答案 9
解析 如图,过点 $E$ 作 $EH⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点
$H$,连接 $EA,\therefore ∠ EHB=90°$,
$\because DE⊥ AC$ 于点 $D$,且 $AD=CD$,
$\therefore DE$ 垂直平分 $AC,\therefore AE=CE$,
$\because ∠ ABE+∠ CBE=180°,∠ ABE+$
$∠ EBH=180°,\therefore ∠ EBF=∠ EBH$,
$\because EF⊥ BC$ 于点 $F$,
$\therefore ∠ EFB=90°=∠ EHB$,
$\because EB=EB,\therefore △ EBH≌ △ EBF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore EH=EF,BH=BF=1$,
又$\because CE=AE,\therefore \mathrm{Rt}△ CEF≌ \mathrm{Rt}△ AEH(\mathrm{HL}),\therefore FC=AH$,
$\because AH=AB+BH=7+1=8,\therefore FC=8$,
$\therefore BC=FC+BF=8+1=9.$

10.「2026 广东广州番禺期中改编，★☆」如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别是$E,F$，连接$EF$，$EF$与$AD$相交于点$G$.
(1)求证：$△ AED ≌ △ AFD$.
(2)求证：$AD$垂直平分$EF$.
(3)若$AB+AC=8$，$DE=3$，求$△ ABC$的面积.

10.解析 (1)证明:$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD$,
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore ∠ AED=∠ AFD=90°$,
在 $△ AED$ 和 $△ AFD$ 中,$\begin{cases} ∠ AED=∠ AFD,\\ ∠ EAD=∠ FAD,\\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ AED≌ △ AFD(\mathrm{AAS}).$
(2)证明:由(1)得 $△ AED≌ △ AFD$,
$\therefore AE=AF,DE=DF,\therefore AD$ 垂直平分 $EF.$
(3)$\because △ AED≌ △ AFD,\therefore DF=DE=3$,
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD},S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB· DE,S_{△ ACD}=$
$\dfrac{1}{2}AC· DF,\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· DE+\dfrac{1}{2}AC· DF=\dfrac{1}{2}(AB+$
$AC)· DE=\dfrac{1}{2}×8×3=12.$

11. 核心素养 几何直观 聚焦 中考 尺规作图 「2026 江苏南京秦淮期中」如图,已知线段$m,n$.用无刻度直尺和圆规作一个$\mathrm{Rt}△ ABC$,满足$∠ C = 90°, AB - BC = m, AC = n$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

11.解析 如图,作直线 $MN$,在直线 $MN$ 上取点 $C$,截取
$CD=m$,过点 $C$ 作 $MN$ 的垂线,在垂线上截取 $AC=n$,
连接 $AD$,作线段 $AD$ 的垂直平分线交直线 $CD$ 于点
$B$,连接 $AB,\mathrm{Rt}△ ABC$ 即为所求.

12. 核心素养 推理能力 学科特色 易错题 在$△ ABC$中，$AB$的垂直平分线分别交$AB$，$BC$于点$E$，$F$，$AC$的垂直平分线分别交$AC$，$BC$于点$M$，$N$，直线$EF$，$MN$交于点$P$.
(1)若$BC=12$，$FN=4$，求$AF+AN$的值.
(2)若$∠ BAC＞90°$，$∠ FAN=58°$，求$∠ FPN$的度数.

12.解析 (1)由题意得 $AF=BF,AN=CN$,
$\therefore AF+AN=BF+CN$,
如图 1,$AF+AN=BF+CN=BC-FN=12-4=8$;
如图 2,$AF+AN=BF+CN=BC+FN=12+4=16$.
综上所述,$AF+AN$ 的值为 8 或 16.


(2)$\because ∠ BAC＞90°,\therefore$ 点 $P$ 在 $△ ABC$ 外,如图 1,
由题意得 $AF=BF,AN=CN,∠ PEA=∠ PMA=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ FAB,∠ C=∠ NAC$,
$\because ∠ B+∠ FAB+∠ C+∠ NAC+∠ FAN=180°$,
$\therefore 2∠ FAB+2∠ NAC+∠ FAN=180°$,
$\because ∠ FAN=58°$,
$\therefore ∠ FAB+∠ NAC=61°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ FAB+∠ NAC+∠ FAN=119°$,
$\therefore ∠ FPN=360°-90°-90°-119°=61°$.
易错警示 本题中$∠ BAC$ 的大小存在两种情况,$∠ BAC$
$＞90°$和$∠ BAC＜90°$,容易只考虑一种情况而漏解.