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1.设$a$、$b$都表示数，规定$a△ b=\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b$。
(1)求$\frac{1}{2}△\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}△\frac{1}{2}$。
(2)这个运算“△”满足交换律吗？
(1)求$\frac{1}{2}△\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}△\frac{1}{2}$。
(2)这个运算“△”满足交换律吗？
答案
(1) $\frac{1}{2}△ \frac{1}{3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{13}{36}$
$\frac{1}{3}△ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
(2)交换后结果不同,所以这个运算“$△$”不满足交换律。
$\frac{1}{3}△ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
(2)交换后结果不同,所以这个运算“$△$”不满足交换律。
2.设a、b都表示数，规定$a△ b=a+1÷ b$，求$6△(3△4)$的值。
答案
$3△4=3+1÷4=\frac{13}{4}$
$6△ \frac{13}{4}=6+1÷ \frac{13}{4}=\frac{82}{13}$
$6△ \frac{13}{4}=6+1÷ \frac{13}{4}=\frac{82}{13}$
3. 对所有的数a,b,把运算$a○b$定义为$a○b=ab - a + b$,$5○p=17$,则p的值是多少?
答案
$5p - 5 + p = 17$
$6p - 5 = 17$
$6p - 5 + 5 = 17 + 5$
$6p = 22$
$6p ÷ 6 = 22 ÷ 6$
$p = \frac{11}{3}$
$6p - 5 = 17$
$6p - 5 + 5 = 17 + 5$
$6p = 22$
$6p ÷ 6 = 22 ÷ 6$
$p = \frac{11}{3}$
4.若规定：$\frac{1}{2}※3=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$，$\frac{1}{7}※4=\frac{1}{7}×\frac{2}{8}×\frac{3}{9}×\frac{4}{10}$，求$\frac{1}{2}※4+\frac{1}{5}※3$的值。
答案
$\frac{1}{2}※4=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}※3=\frac{1}{5}×\frac{2}{6}×\frac{3}{7}=\frac{1}{35}$，$\frac{1}{5}+\frac{1}{35}=\frac{8}{35}$。
【解析】根据所给示例可以总结出$\frac{1}{a}※b$（$a＞0,b＞0$且$a,b$均为整数）表示从$\frac{1}{a}$开始，连续乘$b$个分数，分子依次是$1,2,3,\dots,b$，分母依次是$a,a+1,a+2,\dots,a+b-1$，据此计算即可。
【解析】根据所给示例可以总结出$\frac{1}{a}※b$（$a＞0,b＞0$且$a,b$均为整数）表示从$\frac{1}{a}$开始，连续乘$b$个分数，分子依次是$1,2,3,\dots,b$，分母依次是$a,a+1,a+2,\dots,a+b-1$，据此计算即可。
5. $x$为正数,若规定:$⟨ x\rangle$表示不超过$x$的质数的个数,如$⟨5.1\rangle=3$,即不超过$5.1$的质数有$2,3,5$,共$3$个。那么$⟨⟨19\rangle+⟨93\rangle+⟨4\rangle×⟨1\rangle×⟨8\rangle\rangle$的值是多少?
答案
$⟨⟨ 19\rangle+⟨ 93\rangle+⟨ 4\rangle×⟨ 1\rangle×⟨ 8\rangle\rangle$
$=⟨ 8+24+2×0×4\rangle$
$=⟨ 32\rangle$
$=11$
$=⟨ 8+24+2×0×4\rangle$
$=⟨ 32\rangle$
$=11$
6.定义运算“◎”如下：
对于两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公因数的差记为a◎b。
比如:10和14,最小公倍数为70,最大公因数为2,则10◎14＝70－2＝68。
(1)求12◎21,5◎15。
(2)已知6◎a＝27,求a的值。
对于两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公因数的差记为a◎b。
比如:10和14,最小公倍数为70,最大公因数为2,则10◎14＝70－2＝68。
(1)求12◎21,5◎15。
(2)已知6◎a＝27,求a的值。
答案
方法指导
求$12◎21$，先求出12与21的最小公倍数和最大公因数分别为84和3，所以$12◎21=84-3=81$。
同理，$5◎15=15-5=10$。
(1)$12◎21=84-3=81$
$5◎15=15-5=10$
(2)$a$的值是15。
【解析】因为$6◎a=27$，所以6与$a$的最小公倍数不小于$27+1=28$，不大于$27+6=33$，在此范围内，只有30是6的倍数，故6和$a$的最小公倍数是30，因此，它们的最大公因数是$30-27=3$。由“两个数的最小公倍数与最大公因数的积=这两个数的积”，得到$30×3=6× a$，所以$a=15$。
求$12◎21$，先求出12与21的最小公倍数和最大公因数分别为84和3，所以$12◎21=84-3=81$。
同理，$5◎15=15-5=10$。
(1)$12◎21=84-3=81$
$5◎15=15-5=10$
(2)$a$的值是15。
【解析】因为$6◎a=27$，所以6与$a$的最小公倍数不小于$27+1=28$，不大于$27+6=33$，在此范围内，只有30是6的倍数，故6和$a$的最小公倍数是30，因此，它们的最大公因数是$30-27=3$。由“两个数的最小公倍数与最大公因数的积=这两个数的积”，得到$30×3=6× a$，所以$a=15$。
7.规定:[A]表示自然数A的因数的个数。例如4有1,2,4三个因数,可以表示成[4]=3。求([18]+[22])÷[7]的值。
答案
$([18]+[22])÷[7]$
$=(6+4)÷2$
$=5$
【解析】18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个，所以$[18]=6$；22的因数有1、2、11、22，共4个，所以$[22]=4$；7的因数有1、7，共2个，所以$[7]=2$，则$([18]+[22])÷[7]=(6+4)÷2=10÷2=5$。
$=(6+4)÷2$
$=5$
【解析】18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个，所以$[18]=6$；22的因数有1、2、11、22，共4个，所以$[22]=4$；7的因数有1、7，共2个，所以$[7]=2$，则$([18]+[22])÷[7]=(6+4)÷2=10÷2=5$。
