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13.已知$\sqrt{12-n}$是正整数，则实数$n$的最大值为（
A.12
B.11
C.8
D.3
B
）A.12
B.11
C.8
D.3
答案
13.B
解析
【分析】
解题时首先要结合二次根式的定义确定被开方数的取值范围，再结合“$\sqrt{12-n}$是正整数”的条件分析$12-n$的可能取值，最后根据求$n$最大值的要求，确定$12-n$的最小符合值，代入计算即可。第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，可得$12-n≥0$，即$n≤12$；第二步：$\sqrt{12-n}$是正整数，说明$12-n$是正整数的平方，且结果大于0（因为正整数不包含0）；第三步：要使$n$最大，需让$12-n$的取值尽可能小（因为$n=12-(12-n)$，减数越小，差越大），找到最小的符合要求的正整数平方，代入即可求出$n$的最大值。
【解析】
1. 由二次根式有意义的条件可知，被开方数非负，即：
$12 - n ≥ 0$，解得$n ≤ 12$。
2. 因为$\sqrt{12-n}$是正整数，所以$12-n$是正整数的完全平方数，正整数的平方从小到大依次为$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$……
又因为$12-n ≤ 12$，所以符合条件的$12-n$的取值为1、4、9。
3. 要使$n$的值最大，需让$12-n$的值最小，取最小的符合条件的值1，此时：
$12 - n = 1$，解得$n = 12 - 1 = 11$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数的性质
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的关键是明确正整数的要求排除被开方数为0的情况，同时掌握最值推导逻辑：要让$n$最大，需让被开方数取符合条件的最小值，能够很好地考查学生对基础概念的掌握和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要结合二次根式的定义确定被开方数的取值范围，再结合“$\sqrt{12-n}$是正整数”的条件分析$12-n$的可能取值，最后根据求$n$最大值的要求，确定$12-n$的最小符合值，代入计算即可。第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，可得$12-n≥0$，即$n≤12$；第二步：$\sqrt{12-n}$是正整数，说明$12-n$是正整数的平方，且结果大于0（因为正整数不包含0）；第三步：要使$n$最大，需让$12-n$的取值尽可能小（因为$n=12-(12-n)$，减数越小，差越大），找到最小的符合要求的正整数平方，代入即可求出$n$的最大值。
【解析】
1. 由二次根式有意义的条件可知，被开方数非负，即：
$12 - n ≥ 0$，解得$n ≤ 12$。
2. 因为$\sqrt{12-n}$是正整数，所以$12-n$是正整数的完全平方数，正整数的平方从小到大依次为$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$……
又因为$12-n ≤ 12$，所以符合条件的$12-n$的取值为1、4、9。
3. 要使$n$的值最大，需让$12-n$的值最小，取最小的符合条件的值1，此时：
$12 - n = 1$，解得$n = 12 - 1 = 11$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数的性质
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的关键是明确正整数的要求排除被开方数为0的情况，同时掌握最值推导逻辑：要让$n$最大，需让被开方数取符合条件的最小值，能够很好地考查学生对基础概念的掌握和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
14.若$|a|=-a$，则实数$a$在数轴上的对应点一定在（
A.原点左侧
B.原点或原点左侧
C.原点右侧
D.原点或原点右侧
B
）A.原点左侧
B.原点或原点左侧
C.原点右侧
D.原点或原点右侧
答案
14.B
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质，根据题目给出的|a|=-a的条件，先推导a的取值范围，再结合数轴上点的分布特征，判断a对应的点的位置即可。需要注意不要遗漏0的特殊情况，0的绝对值是0，也满足等于它的相反数（-0=0）。
【解析】
根据绝对值的性质：
1. 若a为正数，则|a|=a，不符合|a|=-a的要求；
2. 若a为0，则|a|=0，而-0=0，满足|a|=-a；
3. 若a为负数，则|a|是它的相反数，即|a|=-a，满足要求。
因此满足|a|=-a的a的取值范围是a≤0。
数轴上，小于0的数对应的点在原点左侧，0对应的点是原点，所以实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，数轴与实数的对应关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查绝对值的性质，易错点是容易忽略0也满足|a|=-a的条件，从而误选原点左侧的选项，掌握特殊值0的绝对值特征是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值的性质，根据题目给出的|a|=-a的条件，先推导a的取值范围，再结合数轴上点的分布特征，判断a对应的点的位置即可。需要注意不要遗漏0的特殊情况，0的绝对值是0，也满足等于它的相反数（-0=0）。
【解析】
根据绝对值的性质：
1. 若a为正数，则|a|=a，不符合|a|=-a的要求；
2. 若a为0，则|a|=0，而-0=0，满足|a|=-a；
3. 若a为负数，则|a|是它的相反数，即|a|=-a，满足要求。
因此满足|a|=-a的a的取值范围是a≤0。
数轴上，小于0的数对应的点在原点左侧，0对应的点是原点，所以实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，数轴与实数的对应关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查绝对值的性质，易错点是容易忽略0也满足|a|=-a的条件，从而误选原点左侧的选项，掌握特殊值0的绝对值特征是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
15.估计$\sqrt{20}+1$的大小在 （
A.3与4之间
B.4与5之间
C.5与6之间
D.6与7之间
C
）A.3与4之间
B.4与5之间
C.5与6之间
D.6与7之间
答案
15.C
解析
【分析】
要估算$\sqrt{20}+1$的大小，首先需要先确定$\sqrt{20}$的取值范围。思考步骤如下：第一步，找与20相邻的两个完全平方数，因为完全平方数开方后是整数，就能用“夹逼法”确定$\sqrt{20}$的范围；第二步，在$\sqrt{20}$的范围基础上同时加1，就能得到$\sqrt{20}+1$的范围，对应选项即可得出答案。
【解析】
解：$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜20＜25$
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$
给不等式三边同时加1，不等号方向不变，可得：
$4+1＜\sqrt{20}+1＜5+1$
即$5＜\sqrt{20}+1＜6$
因此$\sqrt{20}+1$的大小在5与6之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题核心是用“夹逼法”找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的范围后，再通过简单的不等式运算得到所求式子的范围，掌握方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要估算$\sqrt{20}+1$的大小，首先需要先确定$\sqrt{20}$的取值范围。思考步骤如下：第一步，找与20相邻的两个完全平方数，因为完全平方数开方后是整数，就能用“夹逼法”确定$\sqrt{20}$的范围；第二步，在$\sqrt{20}$的范围基础上同时加1，就能得到$\sqrt{20}+1$的范围，对应选项即可得出答案。
【解析】
解：$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜20＜25$
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{20}＜5$
给不等式三边同时加1，不等号方向不变，可得：
$4+1＜\sqrt{20}+1＜5+1$
即$5＜\sqrt{20}+1＜6$
因此$\sqrt{20}+1$的大小在5与6之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题核心是用“夹逼法”找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的范围后，再通过简单的不等式运算得到所求式子的范围，掌握方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
16.如果$\sqrt{x+3}=2$，那么$(x+3)^2=$
16
答案
16.16
解析
【分析】
我们可以用整体代换的思路解题，无需先求出x的值。首先根据算术平方根的定义，由已知的$\sqrt{x+3}=2$先求出$x+3$的取值，再将$x+3$看作整体代入$(x+3)^2$计算即可。第一步先利用算术平方根的性质：若$\sqrt{a}=b$（$b\ge0$），则$a=b^2$，算出$x+3$的值；第二步对该值求平方得到最终结果。
【解析】
已知$\sqrt{x+3}=2$，根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：
$(\sqrt{x+3})^2=2^2$
即$x+3=4$
将$x+3=4$代入$(x+3)^2$计算：
$(x+3)^2=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.代数式求值
【点评】
本题采用整体代换的方法比先求x的值再代入计算更简便，能降低计算出错的概率，求解同类含根式的代数式求值问题时可优先考虑整体代换思路。
【难度系数】
0.9
我们可以用整体代换的思路解题，无需先求出x的值。首先根据算术平方根的定义，由已知的$\sqrt{x+3}=2$先求出$x+3$的取值，再将$x+3$看作整体代入$(x+3)^2$计算即可。第一步先利用算术平方根的性质：若$\sqrt{a}=b$（$b\ge0$），则$a=b^2$，算出$x+3$的值；第二步对该值求平方得到最终结果。
【解析】
已知$\sqrt{x+3}=2$，根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：
$(\sqrt{x+3})^2=2^2$
即$x+3=4$
将$x+3=4$代入$(x+3)^2$计算：
$(x+3)^2=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.代数式求值
【点评】
本题采用整体代换的方法比先求x的值再代入计算更简便，能降低计算出错的概率，求解同类含根式的代数式求值问题时可优先考虑整体代换思路。
【难度系数】
0.9
17.当$a ＜ -2$时，$\left| 1 - \sqrt{(1+a)^2} \right| =$
−a−2
答案
17.−a−2
解析
【分析】
本题属于含绝对值和算术平方根的化简题，解题思路分三步：①首先利用算术平方根的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，将根号部分转化为绝对值形式，把原式转化为含双层绝对值的式子；②根据已知$a＜-2$的取值范围，先判断内层绝对值里$1+a$的正负，去掉内层绝对值；③再判断去掉内层绝对值后，外层绝对值里式子的正负，去掉外层绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
第一步，根据算术平方根的性质，$\sqrt{(1+a)^2}=|1+a|$，因此原式可改写为：
$\left|1 - |1+a|\right|$
第二步，由$a＜-2$可得：$1+a ＜ 1 + (-2) = -1 ＜ 0$，根据负数的绝对值是它的相反数，得$|1+a|=-(1+a)=-1-a$。
第三步，将$|1+a|=-1-a$代入原式，化简内层式子：
$1 - |1+a| = 1 - (-1-a) = 1+1+a = 2+a$，此时原式变为$|2+a|$。
第四步，由$a＜-2$可得：$2+a ＜ 2 + (-2) = 0$，再次根据负数的绝对值是它的相反数，得$|2+a|=-(2+a)=-a-2$。
【答案】
$-a-2$
【知识点】
1.算术平方根的性质 2.绝对值的化简 3.去括号法则
【点评】
本题是代数化简类的常考题型，核心考查对绝对值和算术平方根非负性的理解，解题的关键是根据给定的字母取值范围，逐层判断绝对值内代数式的正负性，再正确去绝对值符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.6
本题属于含绝对值和算术平方根的化简题，解题思路分三步：①首先利用算术平方根的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，将根号部分转化为绝对值形式，把原式转化为含双层绝对值的式子；②根据已知$a＜-2$的取值范围，先判断内层绝对值里$1+a$的正负，去掉内层绝对值；③再判断去掉内层绝对值后，外层绝对值里式子的正负，去掉外层绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
第一步，根据算术平方根的性质，$\sqrt{(1+a)^2}=|1+a|$，因此原式可改写为：
$\left|1 - |1+a|\right|$
第二步，由$a＜-2$可得：$1+a ＜ 1 + (-2) = -1 ＜ 0$，根据负数的绝对值是它的相反数，得$|1+a|=-(1+a)=-1-a$。
第三步，将$|1+a|=-1-a$代入原式，化简内层式子：
$1 - |1+a| = 1 - (-1-a) = 1+1+a = 2+a$，此时原式变为$|2+a|$。
第四步，由$a＜-2$可得：$2+a ＜ 2 + (-2) = 0$，再次根据负数的绝对值是它的相反数，得$|2+a|=-(2+a)=-a-2$。
【答案】
$-a-2$
【知识点】
1.算术平方根的性质 2.绝对值的化简 3.去括号法则
【点评】
本题是代数化简类的常考题型，核心考查对绝对值和算术平方根非负性的理解，解题的关键是根据给定的字母取值范围，逐层判断绝对值内代数式的正负性，再正确去绝对值符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.6
18.若$\sqrt{5}=a+b$，其中$a$是整数，$0＜b＜1$，则$a-b+\sqrt{5}=$
4
.答案
18.4
解析
【分析】
解题时首先要明确：因为a是整数，0＜b＜1，所以a是√5的整数部分，b是√5的小数部分。第一步先估算√5的取值范围，确定a的值，再根据b=√5 -a求出b的表达式，最后将a、b代入待求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算√5的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
2. 确定a、b的值：
已知$\sqrt{5}=a+b$，其中a是整数，$0＜b＜1$，因此√5的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{5}-a=\sqrt{5}-2$。
3. 代入代数式计算：
将$a=2$，$b=\sqrt{5}-2$代入$a-b+\sqrt{5}$，得：
$\begin{aligned}a-b+\sqrt{5}&=2-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}\\&=2-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握无理数整数部分和小数部分的确定方法，先通过平方数估算出无理数的取值范围，再分离出整数和小数部分代入式子化简即可，计算时注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：因为a是整数，0＜b＜1，所以a是√5的整数部分，b是√5的小数部分。第一步先估算√5的取值范围，确定a的值，再根据b=√5 -a求出b的表达式，最后将a、b代入待求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算√5的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
2. 确定a、b的值：
已知$\sqrt{5}=a+b$，其中a是整数，$0＜b＜1$，因此√5的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{5}-a=\sqrt{5}-2$。
3. 代入代数式计算：
将$a=2$，$b=\sqrt{5}-2$代入$a-b+\sqrt{5}$，得：
$\begin{aligned}a-b+\sqrt{5}&=2-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}\\&=2-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握无理数整数部分和小数部分的确定方法，先通过平方数估算出无理数的取值范围，再分离出整数和小数部分代入式子化简即可，计算时注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.8
19. 已知$\sqrt{2a + b^2} + |b^2 - 10| = 0$，求$a + b$的值.
答案
19.−5±√10
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根和绝对值的性质：二者都是非负数（即大于等于0）。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自都等于0才成立，据此我们可以列出两个关于a、b的等式，先求出$b^2$的值，再分别计算a的值和b的取值，最后代入计算$a+b$即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵算术平方根和绝对值都具有非负性，即$\sqrt{2a + b^2} ≥ 0$，$|b^2 - 10| ≥ 0$，且二者的和为0
∴可列等式：
$\begin{cases}2a + b^2 = 0 ①\\ b^2 - 10 = 0 ②\end{cases}$
先解等式②：$b^2 = 10$，根据平方根的定义，得$b = \pm\sqrt{10}$
将$b^2=10$代入等式①：$2a + 10 = 0$，解得$a = -5$
∴$a + b = -5 + \sqrt{10}$ 或 $a + b = -5 - \sqrt{10}$，即$a + b = -5 \pm \sqrt{10}$
【答案】
$-5\pm\sqrt{10}$
【知识点】
非负数的性质；平方根的运算；代数式求值
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的关键是明确算术平方根、绝对值的非负性，同时要注意一个正数有两个互为相反数的平方根，计算时避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆算术平方根和绝对值的性质：二者都是非负数（即大于等于0）。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自都等于0才成立，据此我们可以列出两个关于a、b的等式，先求出$b^2$的值，再分别计算a的值和b的取值，最后代入计算$a+b$即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵算术平方根和绝对值都具有非负性，即$\sqrt{2a + b^2} ≥ 0$，$|b^2 - 10| ≥ 0$，且二者的和为0
∴可列等式：
$\begin{cases}2a + b^2 = 0 ①\\ b^2 - 10 = 0 ②\end{cases}$
先解等式②：$b^2 = 10$，根据平方根的定义，得$b = \pm\sqrt{10}$
将$b^2=10$代入等式①：$2a + 10 = 0$，解得$a = -5$
∴$a + b = -5 + \sqrt{10}$ 或 $a + b = -5 - \sqrt{10}$，即$a + b = -5 \pm \sqrt{10}$
【答案】
$-5\pm\sqrt{10}$
【知识点】
非负数的性质；平方根的运算；代数式求值
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的关键是明确算术平方根、绝对值的非负性，同时要注意一个正数有两个互为相反数的平方根，计算时避免漏解。
【难度系数】
0.6
20.已知$\sqrt[3]{3x+16}$是4，求$2x+4$的平方根.
答案
20.±6
解析
【分析】
解题思路：第一步，根据立方根的定义，若一个数的立方根是4，说明这个被开方数等于4的立方，据此列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值；第二步，把x的值代入2x+4计算出结果；第三步，根据平方根的定义，求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{3x+16}=4$
根据立方根的定义可得：
$3x+16=4^3$
计算得$4^3=64$，因此：
$3x+16=64$
移项计算：$3x=64-16=48$
解得：$x=16$
将$x=16$代入$2x+4$得：
$2×16+4=36$
∵$(±6)^2=36$
∴36的平方根为±6，即$2x+4$的平方根是±6。
【答案】
±6
【知识点】
立方根的定义，平方根的概念，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解立方根和平方根的区别与联系，易错点是求正数的平方根时容易遗漏负的结果。
【难度系数】
0.8
解题思路：第一步，根据立方根的定义，若一个数的立方根是4，说明这个被开方数等于4的立方，据此列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值；第二步，把x的值代入2x+4计算出结果；第三步，根据平方根的定义，求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{3x+16}=4$
根据立方根的定义可得：
$3x+16=4^3$
计算得$4^3=64$，因此：
$3x+16=64$
移项计算：$3x=64-16=48$
解得：$x=16$
将$x=16$代入$2x+4$得：
$2×16+4=36$
∵$(±6)^2=36$
∴36的平方根为±6，即$2x+4$的平方根是±6。
【答案】
±6
【知识点】
立方根的定义，平方根的概念，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解立方根和平方根的区别与联系，易错点是求正数的平方根时容易遗漏负的结果。
【难度系数】
0.8
21.已知实数a,b互为倒数，c是$\sqrt{13}$的整数部分，d是$\sqrt{5}$的小数部分，求$\sqrt[3]{ab} + c - d$的值。
答案
21.6−√5
解析
【分析】
解题时我们可以按照条件逐一求出每个未知部分的值，再代入代数式计算即可：第一步，根据互为倒数的两个数乘积为1，求出ab的值，进而得到三次根号ab的结果；第二步，通过估算√13的大小范围，确定它的整数部分c的值；第三步，先估算√5的大小范围，用√5减去它的整数部分得到小数部分d的值；最后把三个结果代入原式计算即可。
【解析】
解：
∵实数a，b互为倒数，
∴ab=1，
∴$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{1}=1$。
∵$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，
∴$3＜\sqrt{13}＜4$，
∴$\sqrt{13}$的整数部分c=3。
∵$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
∴$2＜\sqrt{5}＜3$，
∴$\sqrt{5}$的小数部分d=$\sqrt{5}-2$。
将上述结果代入$\sqrt[3]{ab} + c - d$得：
原式=$1 + 3 - (\sqrt{5}-2)$
=$4 - \sqrt{5} + 2$
=$6 - \sqrt{5}$
【答案】
$6-\sqrt{5}$
【知识点】
倒数的性质；无理数的估算；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握倒数的性质、无理数大小估算的方法，注意求无理数的小数部分时，要用原数减去它的整数部分。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按照条件逐一求出每个未知部分的值，再代入代数式计算即可：第一步，根据互为倒数的两个数乘积为1，求出ab的值，进而得到三次根号ab的结果；第二步，通过估算√13的大小范围，确定它的整数部分c的值；第三步，先估算√5的大小范围，用√5减去它的整数部分得到小数部分d的值；最后把三个结果代入原式计算即可。
【解析】
解：
∵实数a，b互为倒数，
∴ab=1，
∴$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{1}=1$。
∵$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，
∴$3＜\sqrt{13}＜4$，
∴$\sqrt{13}$的整数部分c=3。
∵$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
∴$2＜\sqrt{5}＜3$，
∴$\sqrt{5}$的小数部分d=$\sqrt{5}-2$。
将上述结果代入$\sqrt[3]{ab} + c - d$得：
原式=$1 + 3 - (\sqrt{5}-2)$
=$4 - \sqrt{5} + 2$
=$6 - \sqrt{5}$
【答案】
$6-\sqrt{5}$
【知识点】
倒数的性质；无理数的估算；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握倒数的性质、无理数大小估算的方法，注意求无理数的小数部分时，要用原数减去它的整数部分。
【难度系数】
0.7
22.实数$a,b$在数轴上的位置如图3所示.
(1)化简: $\sqrt{a^2}=$
(2)先化简再求值: $\sqrt{(a+1)^2} + \sqrt{(b-2)^2}$ ,其中$a$是$\frac{1}{4}$的一个平方根,$b$是3的算术平方根.
(1)化简: $\sqrt{a^2}=$
−a
, $|a+b|=$ a+b
;(2)先化简再求值: $\sqrt{(a+1)^2} + \sqrt{(b-2)^2}$ ,其中$a$是$\frac{1}{4}$的一个平方根,$b$是3的算术平方根.
答案
22.(1)−a a+b
(2)原式=a−b+3，
当a=−1/2,b=√3时，原式=5/2−√3。
(2)原式=a−b+3，
当a=−1/2,b=√3时，原式=5/2−√3。
解析
【分析】
先根据数轴确定实数a、b的取值范围：$-1＜a＜0$，$1＜b＜2$。对于(1)，利用二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，再结合a的正负、$a+b$的正负化简绝对值即可；对于(2)，先判断$a+1$和$b-2$的正负，同样利用二次根式性质先化简原式，再根据平方根、算术平方根的定义结合a的取值范围确定a、b的取值，代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 由数轴可知$-1＜a＜0$，$1＜b＜2$，
∴ $a＜0$，$a+b＞0$，
∴ $\sqrt{a^2}=|a|=-a$，$|a+b|=a+b$。
(2)
∵ $-1＜a＜0$，$1＜b＜2$，
∴ $a+1＞0$，$b-2＜0$，
∴ $\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}=|a+1|+|b-2|=(a+1)+(2-b)=a-b+3$。
∵ a是$\frac{1}{4}$的一个平方根，且$a＜0$，$\frac{1}{4}$的平方根为$\pm\frac{1}{2}$，
∴ $a=-\frac{1}{2}$；
∵ b是3的算术平方根，
∴ $b=\sqrt{3}$。
将$a=-\frac{1}{2}$、$b=\sqrt{3}$代入化简后的式子得：
原式$=-\frac{1}{2}-\sqrt{3}+3=\frac{5}{2}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a}$；$\boldsymbol{a+b}$
(2) 化简结果为$\boldsymbol{a-b+3}$，求值结果为$\boldsymbol{\frac{5}{2}-\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，平方根与算术平方根
【点评】
本题结合数轴考查代数式化简求值，解题核心是先根据数轴判断出各表达式的正负，再结合二次根式、绝对值的性质化简，求解a的值时要注意结合a的取值范围筛选符合条件的平方根，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
先根据数轴确定实数a、b的取值范围：$-1＜a＜0$，$1＜b＜2$。对于(1)，利用二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，再结合a的正负、$a+b$的正负化简绝对值即可；对于(2)，先判断$a+1$和$b-2$的正负，同样利用二次根式性质先化简原式，再根据平方根、算术平方根的定义结合a的取值范围确定a、b的取值，代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 由数轴可知$-1＜a＜0$，$1＜b＜2$，
∴ $a＜0$，$a+b＞0$，
∴ $\sqrt{a^2}=|a|=-a$，$|a+b|=a+b$。
(2)
∵ $-1＜a＜0$，$1＜b＜2$，
∴ $a+1＞0$，$b-2＜0$，
∴ $\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}=|a+1|+|b-2|=(a+1)+(2-b)=a-b+3$。
∵ a是$\frac{1}{4}$的一个平方根，且$a＜0$，$\frac{1}{4}$的平方根为$\pm\frac{1}{2}$，
∴ $a=-\frac{1}{2}$；
∵ b是3的算术平方根，
∴ $b=\sqrt{3}$。
将$a=-\frac{1}{2}$、$b=\sqrt{3}$代入化简后的式子得：
原式$=-\frac{1}{2}-\sqrt{3}+3=\frac{5}{2}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a}$；$\boldsymbol{a+b}$
(2) 化简结果为$\boldsymbol{a-b+3}$，求值结果为$\boldsymbol{\frac{5}{2}-\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，平方根与算术平方根
【点评】
本题结合数轴考查代数式化简求值，解题核心是先根据数轴判断出各表达式的正负，再结合二次根式、绝对值的性质化简，求解a的值时要注意结合a的取值范围筛选符合条件的平方根，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
