登录
1 新城医院要开展紧急医护培训,要求所有护士全部到岗,护士长知道消息后,需要尽快通知到其带领的30名护士。消息必须一对一进行传达,每分钟通知1人,每人接到通知后立即通知其他不知道这个消息的人。最少花多长时间能通知到所有的护士?
画图分析:继续画一画,并填空。(□表示护士长,○表示护士,圈里的数表示第几分钟)
3分钟最多可以通知(
列表探索:观察上图,归纳整理。
我发现:到第n分钟,所有接到通知的护士总人数(含护士长)是n个(
得出结论:根据上面的分析与探索可以知道,最少花(
画图分析:继续画一画,并填空。(□表示护士长,○表示护士,圈里的数表示第几分钟)
3分钟最多可以通知(
8
)人。(含护士长)列表探索:观察上图,归纳整理。
我发现:到第n分钟,所有接到通知的护士总人数(含护士长)是n个(
2
)相乘的积,那么此时最多通知到的护士人数(不含护士长)就是(n个2相乘的积减1
)。得出结论:根据上面的分析与探索可以知道,最少花(
5
)分钟能通知到所有的护士。答案
1. 画图分析
列表探索:4 8 16 8 16 32 7 15 31
2 n个2相乘的积减1
得出结论:5
解析 解决本题的关键是明确第n分钟新接到通知的护士人数等于前(n - 1)分钟内所有接到通知的护士总人数(含护士长)。
解析
【分析】
这是一道典型的倍增通知问题，解题思路是通过分析每分钟通知人数的变化规律来求解：
1. 明确通知规则：每分钟每人只能通知1个未收到消息的人，接到通知的人会立即参与通知。
2. 逐步推导人数变化：第1分钟护士长通知1名护士，含护士长共2人接到通知；第2分钟这2人各通知1人，含护士长共4人接到通知；第3分钟这4人各通知1人，含护士长共8人接到通知，以此类推，每过一分钟，接到通知的总人数（含护士长）是前一分钟的2倍。
3. 总结规律：第n分钟接到通知的总人数（含护士长）是n个2相乘的积（即2ⁿ），不含护士长的护士人数为2ⁿ-1。
4. 匹配需求：找到最小的n，使得2ⁿ-1≥30，即可得出最少通知时间。
【解析】
1. 画图分析：
第1分钟：护士长（□）通知1名护士（○₁），含护士长共2人；
第2分钟：护士长和护士₁分别通知护士₂、护士₃，含护士长共4人；
第3分钟：4人分别通知4名新护士，含护士长共8人，因此3分钟最多可以通知8人（含护士长）。
2. 列表探索：
| 第n分钟 | 含护士长总人数 | 不含护士长护士人数 |
|---------|----------------|--------------------|
| 1 | 2=2¹ | 1=2¹-1 |
| 2 | 4=2² | 3=2²-1 |
| 3 | 8=2³ | 7=2³-1 |
| 4 | 16=2⁴ | 15=2⁴-1 |
| 5 | 32=2⁵ | 31=2⁵-1 |
归纳可得：到第n分钟，所有接到通知的总人数（含护士长）是n个2相乘的积，此时最多通知到的护士人数（不含护士长）就是2ⁿ-1。
3. 得出结论：
需要通知30名护士，由于2⁴-1=15＜30，2⁵-1=31≥30，因此最少花5分钟能通知到所有护士。
【答案】
画图分析
3分钟最多可以通知(8)人。(含护士长)
列表探索:4 8 16 8 16 32 7 15 31
我发现:到第n分钟,所有接到通知的护士总人数(含护士长)是n个(2)相乘的积,那么此时最多通知到的护士人数(不含护士长)就是(2ⁿ -1)。
得出结论:根据上面的分析与探索可以知道,最少花(5)分钟能通知到所有的护士。
【知识点】
倍增规律探索、指数运算应用
【点评】
本题是经典的倍增类实际问题，通过画图、列表引导学生探索规律，既考查观察归纳能力，也要求将实际问题转化为数学模型。理解“每分钟新通知人数等于前一分钟所有接到通知的总人数（含护士长）”是解题核心，有助于培养逻辑思维和数学应用能力。
【难度系数】
0.4
这是一道典型的倍增通知问题，解题思路是通过分析每分钟通知人数的变化规律来求解：
1. 明确通知规则：每分钟每人只能通知1个未收到消息的人，接到通知的人会立即参与通知。
2. 逐步推导人数变化：第1分钟护士长通知1名护士，含护士长共2人接到通知；第2分钟这2人各通知1人，含护士长共4人接到通知；第3分钟这4人各通知1人，含护士长共8人接到通知，以此类推，每过一分钟，接到通知的总人数（含护士长）是前一分钟的2倍。
3. 总结规律：第n分钟接到通知的总人数（含护士长）是n个2相乘的积（即2ⁿ），不含护士长的护士人数为2ⁿ-1。
4. 匹配需求：找到最小的n，使得2ⁿ-1≥30，即可得出最少通知时间。
【解析】
1. 画图分析：
第1分钟：护士长（□）通知1名护士（○₁），含护士长共2人；
第2分钟：护士长和护士₁分别通知护士₂、护士₃，含护士长共4人；
第3分钟：4人分别通知4名新护士，含护士长共8人，因此3分钟最多可以通知8人（含护士长）。
2. 列表探索：
| 第n分钟 | 含护士长总人数 | 不含护士长护士人数 |
|---------|----------------|--------------------|
| 1 | 2=2¹ | 1=2¹-1 |
| 2 | 4=2² | 3=2²-1 |
| 3 | 8=2³ | 7=2³-1 |
| 4 | 16=2⁴ | 15=2⁴-1 |
| 5 | 32=2⁵ | 31=2⁵-1 |
归纳可得：到第n分钟，所有接到通知的总人数（含护士长）是n个2相乘的积，此时最多通知到的护士人数（不含护士长）就是2ⁿ-1。
3. 得出结论：
需要通知30名护士，由于2⁴-1=15＜30，2⁵-1=31≥30，因此最少花5分钟能通知到所有护士。
【答案】
画图分析
3分钟最多可以通知(8)人。(含护士长)
列表探索:4 8 16 8 16 32 7 15 31
我发现:到第n分钟,所有接到通知的护士总人数(含护士长)是n个(2)相乘的积,那么此时最多通知到的护士人数(不含护士长)就是(2ⁿ -1)。
得出结论:根据上面的分析与探索可以知道,最少花(5)分钟能通知到所有的护士。
【知识点】
倍增规律探索、指数运算应用
【点评】
本题是经典的倍增类实际问题，通过画图、列表引导学生探索规律，既考查观察归纳能力，也要求将实际问题转化为数学模型。理解“每分钟新通知人数等于前一分钟所有接到通知的总人数（含护士长）”是解题核心，有助于培养逻辑思维和数学应用能力。
【难度系数】
0.4
2 一个救援队的队长接到紧急任务,需要尽快将任务通知到63名队员。任务必须一对一进行传达,每分钟通知1人,每名队员接到通知后立即通知其他不知道这个任务的人。
(1)按照上面的方式,4分钟最多可以通知(
A. 15
B. 16
C. 31
D. 32
(2)除队长外,如果已有3名队员接到了通知,那么至少还需要(
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
(1)按照上面的方式,4分钟最多可以通知(
A
)名队员(不含队长)。A. 15
B. 16
C. 31
D. 32
(2)除队长外,如果已有3名队员接到了通知,那么至少还需要(
B
)分钟,才能通知完。A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案
2. (1)A
(2)B
解析 (1)4分钟最多能通知2×2×2×2 - 1 = 15(名)队员(不含队长)。
(2)解答本题时有两种方法。
方法一 还需要通知63 - 3 = 60(名)队员，以4人(队长 + 3名队员)知道消息为起始，往下推。
第1分钟通知4名队员
第2分钟通知4 + 4 = 8(名)队员
第3分钟通知8 + 8 = 16(名)队员 一共通知60名队员
第4分钟通知16 + 16 = 32(名)队员
方法二 2×2×2×2×2×2 - 1 = 63(名)，即队长要通知到63名队员，至少需要6分钟。当3名队员接到通知时，已经通知了2分钟，此时至少还需要6 - 2 = 4(分)，才能通知完。
(2)B
解析 (1)4分钟最多能通知2×2×2×2 - 1 = 15(名)队员(不含队长)。
(2)解答本题时有两种方法。
方法一 还需要通知63 - 3 = 60(名)队员，以4人(队长 + 3名队员)知道消息为起始，往下推。
第1分钟通知4名队员
第2分钟通知4 + 4 = 8(名)队员
第3分钟通知8 + 8 = 16(名)队员 一共通知60名队员
第4分钟通知16 + 16 = 32(名)队员
方法二 2×2×2×2×2×2 - 1 = 63(名)，即队长要通知到63名队员，至少需要6分钟。当3名队员接到通知时，已经通知了2分钟，此时至少还需要6 - 2 = 4(分)，才能通知完。
解析
【分析】
（1）这是典型的倍增通知问题，核心是理解每分钟通知人数呈指数增长的规律。第1分钟队长通知1名队员，累计1名队员接到通知；第2分钟队长和已通知的1名队员同时通知，新增2名队员，累计3名；第3分钟4人同时通知，新增4名队员，累计7名；第4分钟8人同时通知，新增8名队员，累计15名。也可通过公式$2^n -1$（$n$为分钟数）直接计算，$n=4$时结果为15。
（2）已知已有3名队员接到通知，此时已用时2分钟（第1分钟1人，第2分钟累计3人）。要通知完63名队员，根据公式$2^6 -1=63$，可知总共需要6分钟，因此还需$6-2=4$分钟。也可逐步推导：以队长+3名队员共4人为起始，第1分钟通知4人，第2分钟通知8人，第3分钟通知16人，第4分钟通知32人，累计刚好通知完63名队员。
【解析】
（1）根据倍增规律，$n$分钟最多通知的队员数（不含队长）为$2^n -1$。
4分钟最多通知的队员数：$2×2×2×2 - 1 = 15$（名），故选A。
（2）方法一：还需通知$63 - 3 = 60$（名）队员，以队长+3名队员共4人能通知为起始：
第1分钟通知4名队员，累计通知$3+4=7$名；
第2分钟通知$4+4=8$（名）队员，累计通知$7+8=15$名；
第3分钟通知$8+8=16$（名）队员，累计通知$15+16=31$名；
第4分钟通知$16+16=32$（名）队员，累计通知$31+32=63$名，刚好通知完。
方法二：要通知63名队员，由$2^6 -1 = 63$（名）可知总共需要6分钟。已有3名队员接到通知时已过2分钟，因此至少还需要$6 - 2 = 4$（分）才能通知完，故选B。
【答案】
(1)A；(2)B
【知识点】
倍增规律应用、最优通知策略
【点评】
本题考查倍增原理在实际通知问题中的应用，要求学生理解通知人数的倍增规律，可通过逐步推导或公式计算解决，有助于培养逻辑推理与归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
（1）这是典型的倍增通知问题，核心是理解每分钟通知人数呈指数增长的规律。第1分钟队长通知1名队员，累计1名队员接到通知；第2分钟队长和已通知的1名队员同时通知，新增2名队员，累计3名；第3分钟4人同时通知，新增4名队员，累计7名；第4分钟8人同时通知，新增8名队员，累计15名。也可通过公式$2^n -1$（$n$为分钟数）直接计算，$n=4$时结果为15。
（2）已知已有3名队员接到通知，此时已用时2分钟（第1分钟1人，第2分钟累计3人）。要通知完63名队员，根据公式$2^6 -1=63$，可知总共需要6分钟，因此还需$6-2=4$分钟。也可逐步推导：以队长+3名队员共4人为起始，第1分钟通知4人，第2分钟通知8人，第3分钟通知16人，第4分钟通知32人，累计刚好通知完63名队员。
【解析】
（1）根据倍增规律，$n$分钟最多通知的队员数（不含队长）为$2^n -1$。
4分钟最多通知的队员数：$2×2×2×2 - 1 = 15$（名），故选A。
（2）方法一：还需通知$63 - 3 = 60$（名）队员，以队长+3名队员共4人能通知为起始：
第1分钟通知4名队员，累计通知$3+4=7$名；
第2分钟通知$4+4=8$（名）队员，累计通知$7+8=15$名；
第3分钟通知$8+8=16$（名）队员，累计通知$15+16=31$名；
第4分钟通知$16+16=32$（名）队员，累计通知$31+32=63$名，刚好通知完。
方法二：要通知63名队员，由$2^6 -1 = 63$（名）可知总共需要6分钟。已有3名队员接到通知时已过2分钟，因此至少还需要$6 - 2 = 4$（分）才能通知完，故选B。
【答案】
(1)A；(2)B
【知识点】
倍增规律应用、最优通知策略
【点评】
本题考查倍增原理在实际通知问题中的应用，要求学生理解通知人数的倍增规律，可通过逐步推导或公式计算解决，有助于培养逻辑推理与归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
3 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个“织布”情境:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺。”意思是有一个女子很会织布,每天织布的数量都是前一天的2倍,五天共织了五尺。
这个女子第5天织的是第1天的几倍？第几天织了第5天的$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$?
这个女子第5天织的是第1天的几倍？第几天织了第5天的$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$?
答案
3. 2×2×2×2 = 16
方法一:16的$\frac{1}{4}$是4，2×2 = 4。
方法二:逆推，第4天织了第5天的$\frac{1}{2}$，则第3天织了第5天的$\frac{1}{4}$。
答:这个女子第5天织的是第1天的16倍。第3天织了第5天的$\frac{1}{4}$。
解析 本题可从正向和逆向两种角度考虑。
方法一 正向:如图，每天织的都是前一天的2倍。
假如第1天织的数量是“1”，则第2天是1×2 = 2；第3天是1×2×2 = 4；第4天是1×2×2×2 = 8；第5天是1×2×2×2×2 = 16。所以第5天织的是第1天的16倍。第5天织的数量为“16”，“16”的$\frac{1}{4}$就是把“16”平均分成4份，取其中的1份也就是“4”，正好是第3天织的数量。
方法二 逆向:解答第二问时，已知每天织的都是前一天的2倍，也就是前一天织的是后一天的$\frac{1}{2}$，所以第4天就织了第5天的$\frac{1}{2}$，第3天就织了第5天的$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
要解决这两个问题，需围绕“每天织布数量是前一天的2倍”这一核心条件展开：
1. 第一个问题：从第1天到第5天，织布量每天翻倍，共经过4次翻倍，计算4个2相乘的结果，就能得到第5天织布量是第1天的倍数。
2. 第二个问题：有两种思考方向：
正向思考：先确定第5天织布量对应的份数，计算它的$\frac{1}{4}$，再对应到具体某天的织布量；
逆向思考：根据“每天是前一天的2倍”反推“前一天是后一天的$\frac{1}{2}$”，逐步往前推导，找到织布量为第5天$\frac{1}{4}$的那天。
【解析】
本题可从正向和逆向两种角度考虑。
方法一 正向:如图，每天织的都是前一天的2倍。
假如第1天织的数量是“1”，则：
第2天织布量：$1×2=2$；
第3天织布量：$1×2×2=4$；
第4天织布量：$1×2×2×2=8$；
第5天织布量：$1×2×2×2×2=16$。
所以第5天织的是第1天的16倍。第5天织的数量为“16”，“16”的$\frac{1}{4}$就是把“16”平均分成4份，取其中的1份也就是“4”，正好是第3天织的数量。
方法二 逆向:解答第二问时，已知每天织的都是前一天的2倍，也就是前一天织的是后一天的$\frac{1}{2}$，所以第4天就织了第5天的$\frac{1}{2}$，第3天就织了第5天的$\frac{1}{4}$。
【答案】
这个女子第5天织的是第1天的16倍。第3天织了第5天的$\frac{1}{4}$。
【知识点】
倍数应用、分数意义、逆推法
【点评】
本题以《九章算术》中的经典织布情境为背景，既考查了倍数关系与分数意义的基础应用，又引导学生从正向、逆向两种角度思考问题，在巩固数学知识的同时，也能让学生感受古代数学文化的魅力，培养思维的灵活性。
【难度系数】
0.6
要解决这两个问题，需围绕“每天织布数量是前一天的2倍”这一核心条件展开：
1. 第一个问题：从第1天到第5天，织布量每天翻倍，共经过4次翻倍，计算4个2相乘的结果，就能得到第5天织布量是第1天的倍数。
2. 第二个问题：有两种思考方向：
正向思考：先确定第5天织布量对应的份数，计算它的$\frac{1}{4}$，再对应到具体某天的织布量；
逆向思考：根据“每天是前一天的2倍”反推“前一天是后一天的$\frac{1}{2}$”，逐步往前推导，找到织布量为第5天$\frac{1}{4}$的那天。
【解析】
本题可从正向和逆向两种角度考虑。
方法一 正向:如图，每天织的都是前一天的2倍。
假如第1天织的数量是“1”，则：
第2天织布量：$1×2=2$；
第3天织布量：$1×2×2=4$；
第4天织布量：$1×2×2×2=8$；
第5天织布量：$1×2×2×2×2=16$。
所以第5天织的是第1天的16倍。第5天织的数量为“16”，“16”的$\frac{1}{4}$就是把“16”平均分成4份，取其中的1份也就是“4”，正好是第3天织的数量。
方法二 逆向:解答第二问时，已知每天织的都是前一天的2倍，也就是前一天织的是后一天的$\frac{1}{2}$，所以第4天就织了第5天的$\frac{1}{2}$，第3天就织了第5天的$\frac{1}{4}$。
【答案】
这个女子第5天织的是第1天的16倍。第3天织了第5天的$\frac{1}{4}$。
【知识点】
倍数应用、分数意义、逆推法
【点评】
本题以《九章算术》中的经典织布情境为背景，既考查了倍数关系与分数意义的基础应用，又引导学生从正向、逆向两种角度思考问题，在巩固数学知识的同时，也能让学生感受古代数学文化的魅力，培养思维的灵活性。
【难度系数】
0.6
