【典例4】在密闭培养环境中,某类细菌的繁殖在初期会较快,随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢.在一次实验中,检测到这类细菌在培养皿中的数量$y$(单位:百万个)与培养时间$x$(单位:时)的关系如下表所示:

根据表格中的数据画出散点图如下:

为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系,现有以下三种函数模型供选择:
①$y=m\log_{3}x + n$;②$y=m\sqrt{x-4} + n$;③$y=3^{x - m} + n$.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并说明理由;
(2)请选取表格中的$(3,3.5),(9,4)$两组数据,求出你选择的函数模型的解析式,并预测至少培养多少个小时,细菌数量达到5百万个.
解题指导 (1)根据题意,函数解析式需满足函数在$[2,+∞)$上有意义,且随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度减慢,逐个判断即可;
(2)将数据代入即可计算出$m,n$的值,则当$y=5$时即可求出答案.
答案 解:(1)最符合实际的函数模型为①$y=m\log_{3}x + n$.理由如下:
根据题中图象,知函数解析式需满足函数在$[2,+∞)$上有意义,所以②$y=m\sqrt{x-4} + n$不满足.
又随着单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度减慢,所以③$y=3^{x - m} + n$不满足.
故①$y=m\log_{3}x + n$最符合.
(2)将$(3,3.5),(9,4)$代入$y=m\log_{3}x + n$,
得$\begin{cases}3.5=m\log_{3}3 + n,\\4=m\log_{3}9 + n,\end{cases}$即$\begin{cases}3.5=m + n,\\4=2m + n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=0.5,\\n=3,\end{cases}$
所以$y=0.5\log_{3}x + 3$.
当$y=5$时,$0.5\log_{3}x + 3=5$,即$\log_{3}x=4$,解得$x=81$,
所以预测至少培养81个小时,细菌数量达到5百万个.

解：(1) 最符合实际的函数模型为①$y=m\log_{3}x + n$。
理由如下：
要描述从第2小时开始的细菌数量变化关系，函数需在$[2,+∞)$上有意义，模型②$y=m\sqrt{x-4}+n$的定义域为$[4,+∞)$，在$x=2$处无定义，不符合要求；
模型③$y=3^{x-m}+n$是指数型增长函数，增长速度会越来越快，与“繁殖速度随细菌数量增加而减慢”的特征矛盾，不符合要求；
对数型函数$y=m\log_{3}x + n$在$[2,+∞)$上有定义，且增长速度逐渐放缓，符合散点图的变化趋势，因此模型①最符合实际。
(2) 将$(3,3.5)$，$(9,4)$代入$y=m\log_{3}x + n$，得
$\begin{cases}3.5 = m\log_{3}3 + n \\4 = m\log_{3}9 + n\end{cases}$
即
$\begin{cases}3.5 = m + n \\4 = 2m + n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=0.5 \\ n=3\end{cases}$，因此所求函数解析式为$y=0.5\log_{3}x + 3$。
令$y=5$，则$0.5\log_{3}x + 3 = 5$，整理得$\log_{3}x = 4$，解得$x=3^4=81$。
答：至少培养81个小时，细菌数量达到5百万个。