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5.把一块石头分别放到下面三个不同的鱼缸中(石头完全浸没且没有水溢出),(
C
)中的水面上升最高。答案
5.C
解析
【分析】
要判断哪个鱼缸水面上升最高，首先明确：石头完全浸没在水中时，上升部分的水的体积等于石头的体积，三个鱼缸放的是同一块石头，所以上升部分水的体积是相等的。根据长方体体积公式：体积=底面积×高，可推导出上升高度=上升部分水的体积÷鱼缸底面积。体积相等的情况下，鱼缸的底面积越小，水面上升的高度就越高，因此只需要计算出三个鱼缸的底面积，比较大小即可得到结果。
【解析】
同一块石头完全浸没时，上升部分水的体积=石头的体积，因此三个鱼缸中上升部分水的体积相等。
由长方体体积公式可得：水面上升高度=上升水的体积÷鱼缸底面积，当上升水的体积相同时，鱼缸底面积越小，水面上升高度越大。
分别计算三个鱼缸的底面积：
A鱼缸底面积：$6×4=24\,\mathrm{cm}^2$
B鱼缸底面积：$8×4=32\,\mathrm{cm}^2$
C鱼缸底面积：$4×4=16\,\mathrm{cm}^2$
比较底面积大小：$16＜24＜32$，C鱼缸底面积最小，因此C中的水面上升最高。
【答案】
C
【知识点】
排水法测体积，长方体底面积计算，体积与底面积、高的关系
【点评】
本题考查对排水法原理的理解，以及长方体体积公式的灵活运用，解题关键是抓住上升水的体积等于浸没物体的体积，通过比较底面积就能快速判断上升高度，无需额外计算具体高度。
【难度系数】
0.7
要判断哪个鱼缸水面上升最高，首先明确：石头完全浸没在水中时，上升部分的水的体积等于石头的体积，三个鱼缸放的是同一块石头，所以上升部分水的体积是相等的。根据长方体体积公式：体积=底面积×高，可推导出上升高度=上升部分水的体积÷鱼缸底面积。体积相等的情况下，鱼缸的底面积越小，水面上升的高度就越高，因此只需要计算出三个鱼缸的底面积，比较大小即可得到结果。
【解析】
同一块石头完全浸没时，上升部分水的体积=石头的体积，因此三个鱼缸中上升部分水的体积相等。
由长方体体积公式可得：水面上升高度=上升水的体积÷鱼缸底面积，当上升水的体积相同时，鱼缸底面积越小，水面上升高度越大。
分别计算三个鱼缸的底面积：
A鱼缸底面积：$6×4=24\,\mathrm{cm}^2$
B鱼缸底面积：$8×4=32\,\mathrm{cm}^2$
C鱼缸底面积：$4×4=16\,\mathrm{cm}^2$
比较底面积大小：$16＜24＜32$，C鱼缸底面积最小，因此C中的水面上升最高。
【答案】
C
【知识点】
排水法测体积，长方体底面积计算，体积与底面积、高的关系
【点评】
本题考查对排水法原理的理解，以及长方体体积公式的灵活运用，解题关键是抓住上升水的体积等于浸没物体的体积，通过比较底面积就能快速判断上升高度，无需额外计算具体高度。
【难度系数】
0.7
6.一个长方体的长、宽、高分别是$a$ cm、$b$ cm、$h$ cm，如果它的长和宽保持不变，而高增加5 cm，则新的长方体的体积比原来长方体的体积增加(
A.$5abh$
B.$5ab$
C.$(5+h)ab$
D.$abh+5^3$
B
)$\mathrm{cm}^3$。A.$5abh$
B.$5ab$
C.$(5+h)ab$
D.$abh+5^3$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时可以从两个思路入手：思路一，先分别算出原长方体和新长方体的体积，再用新体积减去原体积得到增加的体积；思路二，通过空间想象可知，高增加5cm后，增加的部分本身就是一个长a cm、宽b cm、高5cm的长方体，直接计算这个小长方体的体积即可。解题时首先要牢记长方体体积公式，再结合用字母表示数的运算规则计算即可。
【解析】
首先回忆长方体体积公式：$\mathrm{长方体体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$。
1. 计算原长方体体积：
$V_{\mathrm{原}}=a× b× h=abh\ (\mathrm{cm}^3)$
2. 计算高增加5cm后的新长方体体积：
新的高为$(h+5)\mathrm{cm}$，长和宽不变，因此$V_{\mathrm{新}}=a× b× (h+5)=abh+5ab\ (\mathrm{cm}^3)$
3. 计算体积增加量：
$V_{\mathrm{增加}}=V_{\mathrm{新}}-V_{\mathrm{原}}=(abh+5ab)-abh=5ab\ (\mathrm{cm}^3)$
因此增加的体积是$5ab\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算；用字母表示数
【点评】
本题考查长方体体积公式的灵活运用，既可以通过新旧体积作差求解，也可以直接分析增加部分的立体图形特征简化计算，解题时注意字母运算中同类项的化简规则即可。
【难度系数】
0.8
解题时可以从两个思路入手：思路一，先分别算出原长方体和新长方体的体积，再用新体积减去原体积得到增加的体积；思路二，通过空间想象可知，高增加5cm后，增加的部分本身就是一个长a cm、宽b cm、高5cm的长方体，直接计算这个小长方体的体积即可。解题时首先要牢记长方体体积公式，再结合用字母表示数的运算规则计算即可。
【解析】
首先回忆长方体体积公式：$\mathrm{长方体体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$。
1. 计算原长方体体积：
$V_{\mathrm{原}}=a× b× h=abh\ (\mathrm{cm}^3)$
2. 计算高增加5cm后的新长方体体积：
新的高为$(h+5)\mathrm{cm}$，长和宽不变，因此$V_{\mathrm{新}}=a× b× (h+5)=abh+5ab\ (\mathrm{cm}^3)$
3. 计算体积增加量：
$V_{\mathrm{增加}}=V_{\mathrm{新}}-V_{\mathrm{原}}=(abh+5ab)-abh=5ab\ (\mathrm{cm}^3)$
因此增加的体积是$5ab\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算；用字母表示数
【点评】
本题考查长方体体积公式的灵活运用，既可以通过新旧体积作差求解，也可以直接分析增加部分的立体图形特征简化计算，解题时注意字母运算中同类项的化简规则即可。
【难度系数】
0.8
三、解决问题。
1. 一个长方体长12 cm，高8 cm，阴影部分的两个面的面积和是200 cm²，这个长方体的体积是多少立方厘米？
1. 一个长方体长12 cm，高8 cm，阴影部分的两个面的面积和是200 cm²，这个长方体的体积是多少立方厘米？
答案
1. 960 cm³
解析
【分析】
首先观察图形，阴影部分的两个面分别是长为12cm、宽为长方体的宽的底面，和高为8cm、宽为长方体的宽的左面，两个面的面积和可表示为：长×宽 + 高×宽 = 宽×(长+高)。已知两个面的面积和、长和高，我们可以先求出长方体的宽，再根据长方体体积=长×宽×高计算体积即可。
【解析】
1. 先计算长与高的和：
$12 + 8 = 20$（厘米）
2. 再计算长方体的宽：
因为阴影面积和 = 宽×(长+高)，所以宽 = 阴影面积和÷(长+高)
$200 ÷ 20 = 10$（厘米）
3. 最后计算长方体的体积：
$12 × 10 × 8 = 960$（立方厘米）
【答案】
960 cm³
【知识点】
长方体面的面积计算、长方体体积计算
【点评】
本题解题的核心是结合图形找到两个阴影面的公共边为长方体的宽，通过面积和公式反推求出宽，再代入体积公式计算。解题时要注意结合图形分析各部分的数量关系，避免死套公式。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，阴影部分的两个面分别是长为12cm、宽为长方体的宽的底面，和高为8cm、宽为长方体的宽的左面，两个面的面积和可表示为：长×宽 + 高×宽 = 宽×(长+高)。已知两个面的面积和、长和高，我们可以先求出长方体的宽，再根据长方体体积=长×宽×高计算体积即可。
【解析】
1. 先计算长与高的和：
$12 + 8 = 20$（厘米）
2. 再计算长方体的宽：
因为阴影面积和 = 宽×(长+高)，所以宽 = 阴影面积和÷(长+高)
$200 ÷ 20 = 10$（厘米）
3. 最后计算长方体的体积：
$12 × 10 × 8 = 960$（立方厘米）
【答案】
960 cm³
【知识点】
长方体面的面积计算、长方体体积计算
【点评】
本题解题的核心是结合图形找到两个阴影面的公共边为长方体的宽，通过面积和公式反推求出宽，再代入体积公式计算。解题时要注意结合图形分析各部分的数量关系，避免死套公式。
【难度系数】
0.7
2. 雕版印刷术是在版料上雕刻图文进行印刷的技术，版料一般以桦木为材料，先将树干截成长10 dm、宽1 dm、厚0.4 dm 的木块，再制作成胚板。共截出了500个这样的木块，这些木块的体积共多少立方米？
答案
2. 2 m³
解析
【分析】
这道题是求多个相同长方体木块的总体积，解题思路可分为三步：第一步，明确木块为长方体，长方体体积计算公式为长×宽×高（题中木块的厚度就相当于长方体的高）；第二步，先算出1个木块的体积，再乘木块总个数500，得到总体积的立方分米数；第三步，题目最终要求的单位是立方米，需要根据体积单位的进率将立方分米换算成立方米，牢记1立方米=1000立方分米即可。
【解析】
1. 计算单个木块的体积：
根据长方体体积公式，单个木块体积 = 长×宽×厚
代入数值：$10×1×0.4=4$（立方分米）
2. 计算500个木块的总体积：
$4×500=2000$（立方分米）
3. 单位换算：
因为1立方米=1000立方分米，所以$2000÷1000=2$（立方米）
【答案】
2 m³
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算
【点评】
本题结合传统雕版印刷的场景考查体积计算的实际应用，解题时要理清计算逻辑，最后要关注题目要求的单位，避免因未换算单位出现错误。
【难度系数】
0.8
这道题是求多个相同长方体木块的总体积，解题思路可分为三步：第一步，明确木块为长方体，长方体体积计算公式为长×宽×高（题中木块的厚度就相当于长方体的高）；第二步，先算出1个木块的体积，再乘木块总个数500，得到总体积的立方分米数；第三步，题目最终要求的单位是立方米，需要根据体积单位的进率将立方分米换算成立方米，牢记1立方米=1000立方分米即可。
【解析】
1. 计算单个木块的体积：
根据长方体体积公式，单个木块体积 = 长×宽×厚
代入数值：$10×1×0.4=4$（立方分米）
2. 计算500个木块的总体积：
$4×500=2000$（立方分米）
3. 单位换算：
因为1立方米=1000立方分米，所以$2000÷1000=2$（立方米）
【答案】
2 m³
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算
【点评】
本题结合传统雕版印刷的场景考查体积计算的实际应用，解题时要理清计算逻辑，最后要关注题目要求的单位，避免因未换算单位出现错误。
【难度系数】
0.8
有一个长12 cm、宽10 cm、高5 cm的长方体钢块，在上面中心处挖一个深3 cm的正方体方槽。这个长方体钢块挖槽后的表面积是多少？
答案
496 cm²
解析
【分析】
解题时先明确挖槽前后的表面积变化规律：第一步先计算原长方体的表面积；第二步分析挖槽的影响，因为挖的是深3cm的正方体方槽，所以正方体棱长为3cm，挖槽时原长方体上表面减少1个边长3cm的正方形面积，但槽内新增了1个同样大小的正方形底面和4个边长3cm的正方形侧面，减少的面和新增的底面面积刚好抵消，因此总表面积只增加了4个侧面的面积；最后将原表面积加上新增的面积即可得到结果。
【解析】
1. 计算原长方体的表面积：
长方体表面积公式：$S=(ab+ah+bh)×2$，其中长$a=12cm$，宽$b=10cm$，高$h=5cm$
代入得：
$(12×10 + 12×5 + 10×5)×2$
$=(120+60+50)×2$
$=230×2$
$=460(cm^2)$
2. 计算挖槽后新增的表面积：
新增的是4个边长为3cm的正方形侧面，面积为：
$3×3×4=36(cm^2)$
3. 计算挖槽后的总表面积：
$460+36=496(cm^2)$
【答案】
496 cm²
【知识点】
长方体表面积计算、立体图形切挖表面积变化、正方形面积计算
【点评】
本题重点考察对立体图形切挖后表面积变化的理解，易错点是容易误判需要减去挖掉的面的面积，或多算槽底的面积，理清增减的面的数量即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确挖槽前后的表面积变化规律：第一步先计算原长方体的表面积；第二步分析挖槽的影响，因为挖的是深3cm的正方体方槽，所以正方体棱长为3cm，挖槽时原长方体上表面减少1个边长3cm的正方形面积，但槽内新增了1个同样大小的正方形底面和4个边长3cm的正方形侧面，减少的面和新增的底面面积刚好抵消，因此总表面积只增加了4个侧面的面积；最后将原表面积加上新增的面积即可得到结果。
【解析】
1. 计算原长方体的表面积：
长方体表面积公式：$S=(ab+ah+bh)×2$，其中长$a=12cm$，宽$b=10cm$，高$h=5cm$
代入得：
$(12×10 + 12×5 + 10×5)×2$
$=(120+60+50)×2$
$=230×2$
$=460(cm^2)$
2. 计算挖槽后新增的表面积：
新增的是4个边长为3cm的正方形侧面，面积为：
$3×3×4=36(cm^2)$
3. 计算挖槽后的总表面积：
$460+36=496(cm^2)$
【答案】
496 cm²
【知识点】
长方体表面积计算、立体图形切挖表面积变化、正方形面积计算
【点评】
本题重点考察对立体图形切挖后表面积变化的理解，易错点是容易误判需要减去挖掉的面的面积，或多算槽底的面积，理清增减的面的数量即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
