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理、描述和分析,下面给出了部分信息:
七年级学生竞赛成绩的频数分布表
八年级学生竞赛成绩在$80 ≤ x ＜ 90$这一组的数据是:$80,80,82,83,83,84,86,86,87,88,88,89,89,89.$
七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中 $m,n$ 的值:$m=$
(2)此次竞赛中,若抽取的一名学生的成绩为83分,在他所在的年级,他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩,他是哪个年级的学生?请说明理由.
七年级学生竞赛成绩的频数分布表
八年级学生竞赛成绩在$80 ≤ x ＜ 90$这一组的数据是:$80,80,82,83,83,84,86,86,87,88,88,89,89,89.$
七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中 $m,n$ 的值:$m=$
0.1
,$n=$85
;(2)此次竞赛中,若抽取的一名学生的成绩为83分,在他所在的年级,他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩,他是哪个年级的学生?请说明理由.
答案
(1)解析:$m=4÷40=0.1$,八年级学生竞赛成绩在$60≤x＜70$的有$40×15\%=6$(人),在$70≤x＜80$的有$40×20\%=8$(人),在$80≤x＜90$的有$40×35\%=14$(人),在$90≤x＜100$的有$40×30\%=12$(人),又
∵八年级学生竞赛成绩的中位数是将数据从小到大排列的第20,21个数的平均数,而第20,21个数分别是$80≤x＜90$这一组数据中的84,86,
∴八年级学生竞赛成绩的中位数为$n=\frac{84+86}{2}=85$.
(2)他是七年级的学生,理由如下:
∵七年级学生竞赛成绩的中位数为81,八年级学生竞赛成绩的中位数为85,
∴七年级有一半的学生成绩不高于81分,八年级有一半的学生成绩不高于85分,
∴七年级有超过一半的学生成绩低于83分,而八年级不确定有超过一半的学生成绩低于83分,
∴他在七年级.
∵八年级学生竞赛成绩的中位数是将数据从小到大排列的第20,21个数的平均数,而第20,21个数分别是$80≤x＜90$这一组数据中的84,86,
∴八年级学生竞赛成绩的中位数为$n=\frac{84+86}{2}=85$.
(2)他是七年级的学生,理由如下:
∵七年级学生竞赛成绩的中位数为81,八年级学生竞赛成绩的中位数为85,
∴七年级有一半的学生成绩不高于81分,八年级有一半的学生成绩不高于85分,
∴七年级有超过一半的学生成绩低于83分,而八年级不确定有超过一半的学生成绩低于83分,
∴他在七年级.
解析
【分析】
解题思路：第(1)问需先确定抽取学生的总人数，利用频率公式计算m；再根据八年级各成绩组的频率算出各组人数，结合中位数的定义（偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数），找到八年级中位数对应的两个数据，求出n。第(2)问利用中位数的意义（一半数据不高于中位数，一半不低于中位数），比较83分与七、八年级的中位数，判断学生所在年级。
【解析】
(1) 抽取的学生总数为40人，七年级某组频数为4，故频率$ m = 4÷40 = 0.1 $；
八年级抽取总人数为40人，根据各组频率计算人数：
$ 60≤x＜70 $组：$ 40×15\% = 6 $人，
$ 70≤x＜80 $组：$ 40×20\% = 8 $人，
$ 80≤x＜90 $组：$ 40×35\% = 14 $人，
$ 90≤x＜100 $组：$ 40×30\% = 12 $人；
八年级共40个数据，中位数是从小到大排列后第20、21个数据的平均数，前两组共$ 6+8=14 $人，因此第15~28个数据在$ 80≤x＜90 $组，该组数据从小到大排列为：80,80,82,83,83,84,86,86,87,88,88,89,89,89，其中第20个数据是84，第21个是86，故中位数$ n = \frac{84+86}{2} = 85 $。
(2) 该学生是七年级的学生，理由：
中位数表示一组数据中，有一半的数据不高于中位数，另一半不低于中位数。已知七年级竞赛成绩的中位数为81，八年级为85；83分＞七年级的中位数81，说明该学生成绩超过了七年级一半以上学生的成绩；而83分＜八年级的中位数85，说明该学生成绩未超过八年级一半以上学生的成绩，因此他是七年级的学生。
【答案】
(1) $ 0.1 $，$ 85 $；(2) 七年级，理由见解析。
【知识点】
频数分布表、中位数
【点评】
本题考查频数分布表与中位数的实际应用，核心是掌握中位数的定义和意义，能结合数据计算频率、确定中位数，进而判断成绩对应的年级，难度适中。
【难度系数】
0.3
解题思路：第(1)问需先确定抽取学生的总人数，利用频率公式计算m；再根据八年级各成绩组的频率算出各组人数，结合中位数的定义（偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数），找到八年级中位数对应的两个数据，求出n。第(2)问利用中位数的意义（一半数据不高于中位数，一半不低于中位数），比较83分与七、八年级的中位数，判断学生所在年级。
【解析】
(1) 抽取的学生总数为40人，七年级某组频数为4，故频率$ m = 4÷40 = 0.1 $；
八年级抽取总人数为40人，根据各组频率计算人数：
$ 60≤x＜70 $组：$ 40×15\% = 6 $人，
$ 70≤x＜80 $组：$ 40×20\% = 8 $人，
$ 80≤x＜90 $组：$ 40×35\% = 14 $人，
$ 90≤x＜100 $组：$ 40×30\% = 12 $人；
八年级共40个数据，中位数是从小到大排列后第20、21个数据的平均数，前两组共$ 6+8=14 $人，因此第15~28个数据在$ 80≤x＜90 $组，该组数据从小到大排列为：80,80,82,83,83,84,86,86,87,88,88,89,89,89，其中第20个数据是84，第21个是86，故中位数$ n = \frac{84+86}{2} = 85 $。
(2) 该学生是七年级的学生，理由：
中位数表示一组数据中，有一半的数据不高于中位数，另一半不低于中位数。已知七年级竞赛成绩的中位数为81，八年级为85；83分＞七年级的中位数81，说明该学生成绩超过了七年级一半以上学生的成绩；而83分＜八年级的中位数85，说明该学生成绩未超过八年级一半以上学生的成绩，因此他是七年级的学生。
【答案】
(1) $ 0.1 $，$ 85 $；(2) 七年级，理由见解析。
【知识点】
频数分布表、中位数
【点评】
本题考查频数分布表与中位数的实际应用，核心是掌握中位数的定义和意义，能结合数据计算频率、确定中位数，进而判断成绩对应的年级，难度适中。
【难度系数】
0.3
9. (2024·河北中考节选)某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试,考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩$x$(分)换算为报告成绩$y$(分).已知原始成绩满分150分,报告成绩满分100分,换算规则如下:
当$0 ≤ x ＜ p$时,$y=\dfrac{80x}{p}$;
当$p ≤ x ≤ 150$时,$y=\dfrac{20(x-p)}{150-p}+80$.
(其中$p$是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线)
公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为$p$及$p$以上)为合格.
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分,若$p=100$,求甲、乙的报告成绩.
(2)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表:
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数;
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分,则该公司此次测试的合格率为
当$0 ≤ x ＜ p$时,$y=\dfrac{80x}{p}$;
当$p ≤ x ≤ 150$时,$y=\dfrac{20(x-p)}{150-p}+80$.
(其中$p$是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线)
公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为$p$及$p$以上)为合格.
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分,若$p=100$,求甲、乙的报告成绩.
(2)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表:
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数;
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分,则该公司此次测试的合格率为
95%
.答案
(1)当$p=100$时,甲的报告成绩为$\frac{80×95}{100}=76$(分),乙的报告成绩为$\frac{20×(130-100)}{150-100}+80=92$(分).
(2)①130 解析:
∵共100名员工,且成绩已经排列好,
∴中位数是第50,51名员工原始成绩的平均数,由题中表格得第50,51名员工的原始成绩都是130分,
∴中位数为130.
②95% 解析:当$p＞130$时,则$90=\frac{80×130}{p}$,解得$p=\frac{1040}{9}＜130$,不成立,舍去;
当$p≤130$时,则$90=\frac{20(130-p)}{150-p}+80$,解得$p=110$,符合题意,
∴由题中表格得到原始成绩为110分及110分以上的人数为$100-(1+2+2)=95$,
∴合格率为$\frac{95}{100}×100\%=95\%$.
(2)①130 解析:
∵共100名员工,且成绩已经排列好,
∴中位数是第50,51名员工原始成绩的平均数,由题中表格得第50,51名员工的原始成绩都是130分,
∴中位数为130.
②95% 解析:当$p＞130$时,则$90=\frac{80×130}{p}$,解得$p=\frac{1040}{9}＜130$,不成立,舍去;
当$p≤130$时,则$90=\frac{20(130-p)}{150-p}+80$,解得$p=110$,符合题意,
∴由题中表格得到原始成绩为110分及110分以上的人数为$100-(1+2+2)=95$,
∴合格率为$\frac{95}{100}×100\%=95\%$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据给定的p值，判断甲、乙原始成绩所在的区间，代入对应换算公式计算报告成绩；第(2)问①需利用中位数的定义，通过累加各原始成绩对应的人数，找到第50、51名员工的原始成绩，计算其平均数得到中位数；②需结合中位数换算后的报告成绩，分情况讨论p的取值范围，代入分段函数求出p，再统计合格人数，计算合格率。
【解析】
(1) 当$p=100$时：
甲的原始成绩为95分，满足$0≤95＜100$，代入换算公式$y=\dfrac{80x}{p}$，得：
$y=\dfrac{80×95}{100}=76$（分）；
乙的原始成绩为130分，满足$100≤130≤150$，代入换算公式$y=\dfrac{20(x-p)}{150-p}+80$，得：
$y=\dfrac{20×(130-100)}{150-100}+80=\dfrac{20×30}{50}+80=12+80=92$（分）。
(2) ① 共100名员工，中位数是第50、51名员工原始成绩的平均数。
累加各原始成绩对应的人数：
95分累计1人，100分累计$1+2=3$人，105分累计$3+2=5$人，110分累计$5+5=10$人，115分累计$10+8=18$人，120分累计$18+10=28$人，125分累计$28+7=35$人，130分累计$35+16=51$人。
可知第50、51名员工的原始成绩均为130分，因此中位数为$\dfrac{130+130}{2}=130$。
② 已知中位数130分换算后报告成绩为90分，分情况讨论：
若$p＞130$，则130＜p，此时130＜p，代入$y=\dfrac{80×130}{p}=90$，解得$p=\dfrac{1040}{9}≈115.56$，与$p＞130$矛盾，舍去；
若$p≤130$，则130≥p，代入$y=\dfrac{20×(130-p)}{150-p}+80=90$，化简得：
$\dfrac{20×(130-p)}{150-p}=10$，即$\dfrac{130-p}{150-p}=0.5$，
解得$130-p=0.5×(150-p)$，
$130-p=75-0.5p$，
$0.5p=55$，$p=110$，符合$p≤130$。
统计原始成绩≥110分的人数：总人数100，原始成绩＜110分的人数为$1+2+2=5$，因此合格人数为$100-5=95$，合格率为$\dfrac{95}{100}×100\%=95\%$。
【答案】
(1)甲的报告成绩为76分，乙的报告成绩为92分；(2)①130；②95%
【知识点】
中位数、分段函数应用、合格率计算
【点评】
本题结合实际测试成绩换算，考查中位数定义、分段函数应用及合格率计算，需准确理解分段函数适用条件，熟练掌握中位数计算方法，分情况讨论时注意取值范围合理性，整体难度中等。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需根据给定的p值，判断甲、乙原始成绩所在的区间，代入对应换算公式计算报告成绩；第(2)问①需利用中位数的定义，通过累加各原始成绩对应的人数，找到第50、51名员工的原始成绩，计算其平均数得到中位数；②需结合中位数换算后的报告成绩，分情况讨论p的取值范围，代入分段函数求出p，再统计合格人数，计算合格率。
【解析】
(1) 当$p=100$时：
甲的原始成绩为95分，满足$0≤95＜100$，代入换算公式$y=\dfrac{80x}{p}$，得：
$y=\dfrac{80×95}{100}=76$（分）；
乙的原始成绩为130分，满足$100≤130≤150$，代入换算公式$y=\dfrac{20(x-p)}{150-p}+80$，得：
$y=\dfrac{20×(130-100)}{150-100}+80=\dfrac{20×30}{50}+80=12+80=92$（分）。
(2) ① 共100名员工，中位数是第50、51名员工原始成绩的平均数。
累加各原始成绩对应的人数：
95分累计1人，100分累计$1+2=3$人，105分累计$3+2=5$人，110分累计$5+5=10$人，115分累计$10+8=18$人，120分累计$18+10=28$人，125分累计$28+7=35$人，130分累计$35+16=51$人。
可知第50、51名员工的原始成绩均为130分，因此中位数为$\dfrac{130+130}{2}=130$。
② 已知中位数130分换算后报告成绩为90分，分情况讨论：
若$p＞130$，则130＜p，此时130＜p，代入$y=\dfrac{80×130}{p}=90$，解得$p=\dfrac{1040}{9}≈115.56$，与$p＞130$矛盾，舍去；
若$p≤130$，则130≥p，代入$y=\dfrac{20×(130-p)}{150-p}+80=90$，化简得：
$\dfrac{20×(130-p)}{150-p}=10$，即$\dfrac{130-p}{150-p}=0.5$，
解得$130-p=0.5×(150-p)$，
$130-p=75-0.5p$，
$0.5p=55$，$p=110$，符合$p≤130$。
统计原始成绩≥110分的人数：总人数100，原始成绩＜110分的人数为$1+2+2=5$，因此合格人数为$100-5=95$，合格率为$\dfrac{95}{100}×100\%=95\%$。
【答案】
(1)甲的报告成绩为76分，乙的报告成绩为92分；(2)①130；②95%
【知识点】
中位数、分段函数应用、合格率计算
【点评】
本题结合实际测试成绩换算，考查中位数定义、分段函数应用及合格率计算，需准确理解分段函数适用条件，熟练掌握中位数计算方法，分情况讨论时注意取值范围合理性，整体难度中等。
【难度系数】
0.5
