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1. 下列运算正确的是().
A.$\sqrt{9} = \pm 3$
B.$|-3| = -3$
C.$-\sqrt{9} = -3$
D.$-3^2 = 9$
A.$\sqrt{9} = \pm 3$
B.$|-3| = -3$
C.$-\sqrt{9} = -3$
D.$-3^2 = 9$
答案
C
解析
分别对各选项逐一验证：
1. 选项A：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为$3$，不是$\pm3$，运算错误。
2. 选项B：$|-3|$表示$-3$的绝对值，结果为$3$，不是$-3$，运算错误。
3. 选项C：$-\sqrt{9}$表示9的算术平方根的相反数，$\sqrt{9}=3$，因此$-\sqrt{9}=-3$，运算正确。
4. 选项D：$-3^2$先计算$3^2=9$，结果为$-9$，不是$9$，运算错误。
1. 选项A：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为$3$，不是$\pm3$，运算错误。
2. 选项B：$|-3|$表示$-3$的绝对值，结果为$3$，不是$-3$，运算错误。
3. 选项C：$-\sqrt{9}$表示9的算术平方根的相反数，$\sqrt{9}=3$，因此$-\sqrt{9}=-3$，运算正确。
4. 选项D：$-3^2$先计算$3^2=9$，结果为$-9$，不是$9$，运算错误。
2. 下列各组数中互为相反数的是().
A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-2$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$-2$与$-\dfrac{1}{2}$
D.$2$与$|-2|$
A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-2$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$-2$与$-\dfrac{1}{2}$
D.$2$与$|-2|$
答案
A
解析
根据相反数的定义：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数，逐一化简各选项判断：
1. 选项A：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$-2$和$2$绝对值相等、符号相反，互为相反数；
2. 选项B：$\sqrt[3]{-8}=-2$，两数相等，不是相反数；
3. 选项C：$-2$与$-\frac{1}{2}$互为倒数，不是相反数；
4. 选项D：$|-2|=2$，两数相等，不是相反数。
1. 选项A：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$-2$和$2$绝对值相等、符号相反，互为相反数；
2. 选项B：$\sqrt[3]{-8}=-2$，两数相等，不是相反数；
3. 选项C：$-2$与$-\frac{1}{2}$互为倒数，不是相反数；
4. 选项D：$|-2|=2$，两数相等，不是相反数。
3. 实数$\frac{31}{7}$，$-π$，$3.14159$，$\sqrt{8}$，$-\sqrt[3]{27}$，$1^2$中无理数有().
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
A
解析
根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断各数：
1. $\frac{31}{7}$是分数，属于有理数；
2. $-π$含$π$，是无限不循环小数，为无理数；
3. $3.14159$是有限小数，属于有理数；
4. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，开方开不尽，是无理数；
5. $-\sqrt[3]{27}=-3$，是整数，属于有理数；
6. $1^2=1$，是整数，属于有理数。
可得无理数共2个。
1. $\frac{31}{7}$是分数，属于有理数；
2. $-π$含$π$，是无限不循环小数，为无理数；
3. $3.14159$是有限小数，属于有理数；
4. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，开方开不尽，是无理数；
5. $-\sqrt[3]{27}=-3$，是整数，属于有理数；
6. $1^2=1$，是整数，属于有理数。
可得无理数共2个。
4. 已知一个正数的平方根是$3x-2$和$5x+6$,则这个数是.
答案
$\frac{49}{4}$
解析
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(3x-2)+(5x+6)=0$
整理得：$8x+4=0$
解得：$x=-\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$代入$3x-2$，得：
$3×(-\frac{1}{2})-2=-\frac{7}{2}$
∴ 这个正数为$(-\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ $(3x-2)+(5x+6)=0$
整理得：$8x+4=0$
解得：$x=-\frac{1}{2}$
将$x=-\frac{1}{2}$代入$3x-2$，得：
$3×(-\frac{1}{2})-2=-\frac{7}{2}$
∴ 这个正数为$(-\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$
5. 已知$43^2 = 1\ 849,44^2 = 1\ 936,45^2 = 2\ 025,46^2 = 2\ 116$. 若$m$为整数且$n ＜ \sqrt{2\ 021} ＜ n + 1$, 则$n$的值为.
答案
解：
因为$44^2=1936$，$45^2=2025$，
且$1936 ＜ 2021 ＜ 2025$，
所以$44 ＜ \sqrt{2021} ＜ 45$。
又因为$n ＜ \sqrt{2021} ＜ n+1$，且$n$为整数，
所以$n=44$。
因为$44^2=1936$，$45^2=2025$，
且$1936 ＜ 2021 ＜ 2025$，
所以$44 ＜ \sqrt{2021} ＜ 45$。
又因为$n ＜ \sqrt{2021} ＜ n+1$，且$n$为整数，
所以$n=44$。
6. 在数轴上，点A和点B所对应的数分别是$-2\sqrt{3}$和$5\sqrt{3}$，那么A，B两点的距离为________。
答案
$\boldsymbol{7\sqrt{3}}$
解析
解：根据数轴上两点间的距离公式，得
$AB = |5\sqrt{3} - (-2\sqrt{3})|$
$= |5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}|$
$= 7\sqrt{3}$
$AB = |5\sqrt{3} - (-2\sqrt{3})|$
$= |5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}|$
$= 7\sqrt{3}$
7. 将下列各数填入相应的大括号内：
$-\dfrac{11}{12}, \sqrt[3]{2}, -\sqrt{4}, 0, -\sqrt{0.4}, \sqrt[3]{8}, -\dfrac{π}{4}, 0.\dot{2}\dot{3}, 3.14$
①有理数：$\{ \}$；
②无理数：$\{ \}$；
③负实数：$\{ \}$。
$-\dfrac{11}{12}, \sqrt[3]{2}, -\sqrt{4}, 0, -\sqrt{0.4}, \sqrt[3]{8}, -\dfrac{π}{4}, 0.\dot{2}\dot{3}, 3.14$
①有理数：$\{ \}$；
②无理数：$\{ \}$；
③负实数：$\{ \}$。
答案
解：
先化简可求值的根式：$-\sqrt{4}=-2$，$\sqrt[3]{8}=2$。
①有理数：$\{ -\dfrac{11}{12},\ -\sqrt{4},\ 0,\ \sqrt[3]{8},\ 0.\dot{2}\dot{3},\ 3.14 \}$；
②无理数：$\{ \sqrt[3]{2},\ -\sqrt{0.4},\ -\dfrac{π}{4} \}$；
③负实数：$\{ -\dfrac{11}{12},\ -\sqrt{4},\ -\sqrt{0.4},\ -\dfrac{π}{4} \}$。
先化简可求值的根式：$-\sqrt{4}=-2$，$\sqrt[3]{8}=2$。
①有理数：$\{ -\dfrac{11}{12},\ -\sqrt{4},\ 0,\ \sqrt[3]{8},\ 0.\dot{2}\dot{3},\ 3.14 \}$；
②无理数：$\{ \sqrt[3]{2},\ -\sqrt{0.4},\ -\dfrac{π}{4} \}$；
③负实数：$\{ -\dfrac{11}{12},\ -\sqrt{4},\ -\sqrt{0.4},\ -\dfrac{π}{4} \}$。
8. 如图所示，点A是数轴上表示实数a的点.
(1)在数轴上找出表示实数$\sqrt{2}$的点P；
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和a的大小，并说明理由.
(1)在数轴上找出表示实数$\sqrt{2}$的点P；
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和a的大小，并说明理由.
答案
解：
(1) 以原点为直角顶点，作两条直角边长均为1的直角三角形，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}$；再以原点为圆心，该斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示实数$\sqrt{2}$的点P。
(2) $a ＞ \sqrt{2}$，理由：数轴上的点所表示的实数，右边的数总大于左边的数，表示$\sqrt{2}$的点P位于点A的左侧，因此$a ＞ \sqrt{2}$。
(1) 以原点为直角顶点，作两条直角边长均为1的直角三角形，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为$\sqrt{2}$；再以原点为圆心，该斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示实数$\sqrt{2}$的点P。
(2) $a ＞ \sqrt{2}$，理由：数轴上的点所表示的实数，右边的数总大于左边的数，表示$\sqrt{2}$的点P位于点A的左侧，因此$a ＞ \sqrt{2}$。
