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7 如图,在平面直角坐标系中,直线$l$与$x$轴交于点$A(6,0)$,与$y$轴交于点$B(0,-6)$,抛物线经过点$A$,$B$,且对称轴是直线$x=1$.
(1) 求直线$l$对应的函数解析式.
(2) 求抛物线对应的函数解析式.
(3) $P$是直线$l$下方抛物线上的一动点,过点$P$作$PC ⊥ x$轴,垂足为$C$,交直线$l$于点$D$,作$PM ⊥ l$,垂足为$M$.请写出$PM$长的最大值及此时点$P$的坐标.
(1) 求直线$l$对应的函数解析式.
(2) 求抛物线对应的函数解析式.
(3) $P$是直线$l$下方抛物线上的一动点,过点$P$作$PC ⊥ x$轴,垂足为$C$,交直线$l$于点$D$,作$PM ⊥ l$,垂足为$M$.请写出$PM$长的最大值及此时点$P$的坐标.
答案
7. (1) 设直线$l$对应的函数解析式为$y=mx+n\ (m≠0)$.$\because$ 直线$l$与$x$轴交于点$A(6,0)$,与$y$轴交于点$B(0,-6)$,
$\therefore \begin{cases}6m+n=0,\\n=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=1,\\n=-6.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$l$对应的函数解析式为$y=x-6$
(2) 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$.$\because$ 抛物线的对称轴是直线$x=1$,$\therefore y=a(x-1)^2+k$.$\because$ 抛物线经过点$A,B$,$\therefore \begin{cases}25a+k=0,\\a+k=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{4},\\k=-\dfrac{25}{4}.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{4}(x-1)^2-\dfrac{25}{4}$
(3) $\because A(6,0),B(0,-6),\therefore OA=OB=6$.在$△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=45°$.$\because PC⊥ x$轴,$PM⊥ l$,$\therefore ∠ PCA=∠ PMD=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\because ∠ PCA=90°,∠ OAB=45°$,$\therefore ∠ ADC=45°$.$\therefore ∠ PDM=∠ ADC=45°$.在$\mathrm{Rt}△ PMD$中,$\because ∠ PMD=90°,∠ PDM=45°$,$\therefore$ 易知$PM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}PD$.$\because y=\dfrac{1}{4}(x-1)^2-\dfrac{25}{4}=\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-6$,$\therefore$ 设$P(t,\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t-6)\ (0＜t＜6)$,则$D(t,t-6)$.$\therefore PD=t-6-(\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t-6)=-\dfrac{1}{4}t^2+\dfrac{3}{2}t=-\dfrac{1}{4}(t-3)^2+\dfrac{9}{4}$.$\because -\dfrac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 当$t=3$时,$PD$长有最大值,是$\dfrac{9}{4}$,此时$PM$长有最大值,$PM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}PD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$.当$t=3$时,$\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t-6=\dfrac{1}{4}×9-\dfrac{1}{2}×3-6=-\dfrac{21}{4}$,$\therefore P(3,-\dfrac{21}{4})$.$\therefore PM$长的最大值是$\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$,此时点$P$的坐标为$(3,-\dfrac{21}{4})$
$\therefore \begin{cases}6m+n=0,\\n=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=1,\\n=-6.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$l$对应的函数解析式为$y=x-6$
(2) 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k\ (a≠0)$.$\because$ 抛物线的对称轴是直线$x=1$,$\therefore y=a(x-1)^2+k$.$\because$ 抛物线经过点$A,B$,$\therefore \begin{cases}25a+k=0,\\a+k=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{4},\\k=-\dfrac{25}{4}.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{4}(x-1)^2-\dfrac{25}{4}$
(3) $\because A(6,0),B(0,-6),\therefore OA=OB=6$.在$△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=45°$.$\because PC⊥ x$轴,$PM⊥ l$,$\therefore ∠ PCA=∠ PMD=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\because ∠ PCA=90°,∠ OAB=45°$,$\therefore ∠ ADC=45°$.$\therefore ∠ PDM=∠ ADC=45°$.在$\mathrm{Rt}△ PMD$中,$\because ∠ PMD=90°,∠ PDM=45°$,$\therefore$ 易知$PM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}PD$.$\because y=\dfrac{1}{4}(x-1)^2-\dfrac{25}{4}=\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-6$,$\therefore$ 设$P(t,\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t-6)\ (0＜t＜6)$,则$D(t,t-6)$.$\therefore PD=t-6-(\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t-6)=-\dfrac{1}{4}t^2+\dfrac{3}{2}t=-\dfrac{1}{4}(t-3)^2+\dfrac{9}{4}$.$\because -\dfrac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 当$t=3$时,$PD$长有最大值,是$\dfrac{9}{4}$,此时$PM$长有最大值,$PM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}PD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$.当$t=3$时,$\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t-6=\dfrac{1}{4}×9-\dfrac{1}{2}×3-6=-\dfrac{21}{4}$,$\therefore P(3,-\dfrac{21}{4})$.$\therefore PM$长的最大值是$\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$,此时点$P$的坐标为$(3,-\dfrac{21}{4})$
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解：第一问利用待定系数法，代入直线与坐标轴的交点坐标求直线解析式；第二问根据抛物线对称轴设顶点式，代入两点坐标求抛物线解析式；第三问先由直线倾斜角得出等腰直角三角形关系，将PM转化为PD的表达式，再设点P坐标表达PD，转化为二次函数求最值，进而得到PM的最大值及对应P点坐标。
【解析】
(1) 设直线$ l $的函数解析式为$ y=mx+n \ (m≠0) $，将$ A(6,0) $、$ B(0,-6) $代入得：
$\begin{cases}6m + n = 0 \\n = -6\end{cases}$
解得$ \begin{cases} m=1 \\ n=-6 \end{cases} $，故直线$ l $的解析式为$ y=x-6 $。
(2) 因抛物线对称轴为$ x=1 $，设抛物线解析式为$ y=a(x-1)^2 + k \ (a≠0) $，将$ A(6,0) $、$ B(0,-6) $代入得：
$\begin{cases}25a + k = 0 \\a + k = -6\end{cases}$
解得$ \begin{cases} a=\frac{1}{4} \\ k=-\frac{25}{4} \end{cases} $，故抛物线解析式为$ y=\frac{1}{4}(x-1)^2 - \frac{25}{4} $。
(3) 由$ A(6,0) $、$ B(0,-6) $得$ OA=OB=6 $，$ ∠AOB=90° $，故$ ∠OAB=45° $。
因$ PC⊥x $轴，$ PM⊥l $，所以$ ∠PCA=∠PMD=90° $，在$ Rt△ADC $中$ ∠ADC=45° $，则$ ∠PDM=45° $，$ Rt△PMD $为等腰直角三角形，故$ PM=\frac{\sqrt{2}}{2}PD $。
设点$ P $横坐标为$ t \ (0＜t＜6) $，则$ P(t, \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t -6) $，$ D(t, t-6) $，则：
$ PD=(t-6)-(\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t -6)=-\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t=-\frac{1}{4}(t-3)^2 + \frac{9}{4} $。
因$ -\frac{1}{4}＜0 $，当$ t=3 $时，$ PD $最大值为$ \frac{9}{4} $，此时$ PM=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{8} $，$ P $纵坐标为$ -\frac{21}{4} $，即$ P(3, -\frac{21}{4}) $。
【答案】
(1) $ y=x-6 $；(2) $ y=\frac{1}{4}(x-1)^2 - \frac{25}{4} $；(3) $ PM $最大值为$ \frac{9\sqrt{2}}{8} $，此时$ P(3, -\frac{21}{4}) $
【知识点】
一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数最值
【点评】
本题综合考查函数解析式求解与几何最值转化，关键是利用直线倾斜角转化线段关系，结合二次函数求最值，体现数形结合思想。
【难度系数】
0.5
本题分三小问逐步求解：第一问利用待定系数法，代入直线与坐标轴的交点坐标求直线解析式；第二问根据抛物线对称轴设顶点式，代入两点坐标求抛物线解析式；第三问先由直线倾斜角得出等腰直角三角形关系，将PM转化为PD的表达式，再设点P坐标表达PD，转化为二次函数求最值，进而得到PM的最大值及对应P点坐标。
【解析】
(1) 设直线$ l $的函数解析式为$ y=mx+n \ (m≠0) $，将$ A(6,0) $、$ B(0,-6) $代入得：
$\begin{cases}6m + n = 0 \\n = -6\end{cases}$
解得$ \begin{cases} m=1 \\ n=-6 \end{cases} $，故直线$ l $的解析式为$ y=x-6 $。
(2) 因抛物线对称轴为$ x=1 $，设抛物线解析式为$ y=a(x-1)^2 + k \ (a≠0) $，将$ A(6,0) $、$ B(0,-6) $代入得：
$\begin{cases}25a + k = 0 \\a + k = -6\end{cases}$
解得$ \begin{cases} a=\frac{1}{4} \\ k=-\frac{25}{4} \end{cases} $，故抛物线解析式为$ y=\frac{1}{4}(x-1)^2 - \frac{25}{4} $。
(3) 由$ A(6,0) $、$ B(0,-6) $得$ OA=OB=6 $，$ ∠AOB=90° $，故$ ∠OAB=45° $。
因$ PC⊥x $轴，$ PM⊥l $，所以$ ∠PCA=∠PMD=90° $，在$ Rt△ADC $中$ ∠ADC=45° $，则$ ∠PDM=45° $，$ Rt△PMD $为等腰直角三角形，故$ PM=\frac{\sqrt{2}}{2}PD $。
设点$ P $横坐标为$ t \ (0＜t＜6) $，则$ P(t, \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t -6) $，$ D(t, t-6) $，则：
$ PD=(t-6)-(\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t -6)=-\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t=-\frac{1}{4}(t-3)^2 + \frac{9}{4} $。
因$ -\frac{1}{4}＜0 $，当$ t=3 $时，$ PD $最大值为$ \frac{9}{4} $，此时$ PM=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{8} $，$ P $纵坐标为$ -\frac{21}{4} $，即$ P(3, -\frac{21}{4}) $。
【答案】
(1) $ y=x-6 $；(2) $ y=\frac{1}{4}(x-1)^2 - \frac{25}{4} $；(3) $ PM $最大值为$ \frac{9\sqrt{2}}{8} $，此时$ P(3, -\frac{21}{4}) $
【知识点】
一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数最值
【点评】
本题综合考查函数解析式求解与几何最值转化，关键是利用直线倾斜角转化线段关系，结合二次函数求最值，体现数形结合思想。
【难度系数】
0.5
8 若关于 $x$ 的二次函数 $y=\dfrac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1$ 的图象与 $x$ 轴有两个公共点,则满足条件的 $m$ 的值可以是
（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$
（
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确两个核心条件：一是题目给出的是二次函数，因此二次项系数不能为0；二是二次函数图像与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程判别式Δ＞0。先根据这两个条件确定m的取值范围，再结合选项逐一验证即可。
【解析】
1. 确定二次函数的前提条件：
因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数$\frac{1}{4}m≠0$，即$m≠0$，排除选项B。
2. 利用判别式判断与x轴交点个数：
二次函数$y=ax²+bx+c$与x轴有两个公共点时，判别式$\Delta=b²-4ac＞0$。
本题中$a=\frac{1}{4}m$，$b=m+1$，$c=m+1$，代入判别式公式计算：
$\Delta=(m+1)² -4×\frac{1}{4}m×(m+1)$
化简得：$\Delta=m²+2m+1 -m(m+1)=m²+2m+1 -m² -m=m+1$
令$\Delta＞0$，即$m+1＞0$，解得$m＞-1$。
结合二次函数条件$m≠0$，得m的取值范围为$m＞-1$且$m≠0$。
3. 逐一验证选项：
A. $m=-1$：$\Delta=-1+1=0$，图像与x轴只有1个公共点，不符合；
B. $m=0$：不是二次函数，不符合；
C. $m=1$：$1＞-1$且$1≠0$，符合条件；
D. $m=-2$：$-2＜-1$，$\Delta=-2+1=-1＜0$，图像与x轴无公共点，不符合。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与x轴的交点
【点评】
本题考查二次函数的定义及图像与x轴交点的判定，解题关键是牢记二次项系数不为0的前提，同时准确计算判别式，避免忽略二次函数的基本要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确两个核心条件：一是题目给出的是二次函数，因此二次项系数不能为0；二是二次函数图像与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程判别式Δ＞0。先根据这两个条件确定m的取值范围，再结合选项逐一验证即可。
【解析】
1. 确定二次函数的前提条件：
因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数$\frac{1}{4}m≠0$，即$m≠0$，排除选项B。
2. 利用判别式判断与x轴交点个数：
二次函数$y=ax²+bx+c$与x轴有两个公共点时，判别式$\Delta=b²-4ac＞0$。
本题中$a=\frac{1}{4}m$，$b=m+1$，$c=m+1$，代入判别式公式计算：
$\Delta=(m+1)² -4×\frac{1}{4}m×(m+1)$
化简得：$\Delta=m²+2m+1 -m(m+1)=m²+2m+1 -m² -m=m+1$
令$\Delta＞0$，即$m+1＞0$，解得$m＞-1$。
结合二次函数条件$m≠0$，得m的取值范围为$m＞-1$且$m≠0$。
3. 逐一验证选项：
A. $m=-1$：$\Delta=-1+1=0$，图像与x轴只有1个公共点，不符合；
B. $m=0$：不是二次函数，不符合；
C. $m=1$：$1＞-1$且$1≠0$，符合条件；
D. $m=-2$：$-2＜-1$，$\Delta=-2+1=-1＜0$，图像与x轴无公共点，不符合。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与x轴的交点
【点评】
本题考查二次函数的定义及图像与x轴交点的判定，解题关键是牢记二次项系数不为0的前提，同时准确计算判别式，避免忽略二次函数的基本要求。
【难度系数】
0.6
9 如果二次函数 $y=ax^{2}+bx+3$ 的图象经过点 $A(-1,0),B(3,0)$，那么一元二次方程 $ax^{2}+bx=0$ 的根为
$x_1=0,x_2=2$
.答案
9. $x_1=0,x_2=2$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用二次函数图象经过的两个点求出系数a、b的值，再代入一元二次方程求解根。具体思路：将点A(-1,0)、B(3,0)代入二次函数解析式，联立方程组解出a和b；再将a、b代入一元二次方程ax²+bx=0，通过因式分解法求解方程的根。
【解析】
把点A(-1,0)代入二次函数y=ax²+bx+3，得：
a·(-1)² + b·(-1) + 3 = 0，即a - b = -3 ①
把点B(3,0)代入二次函数y=ax²+bx+3，得：
a·3² + b·3 + 3 = 0，化简得9a + 3b = -3，即3a + b = -1 ②
联立①②，将两式相加：(a - b) + (3a + b) = -3 + (-1)，得4a = -4，解得a = -1。
把a=-1代入①，得-1 - b = -3，解得b=2。
将a=-1、b=2代入一元二次方程ax²+bx=0，得：
x² + 2x = 0，提取公因式x得：x(-x + 2) = 0，
则x=0 或 -x + 2 = 0，解得x₁=0，x₂=2。
【答案】
x₁=0，x₂=2
【知识点】
二次函数的图像与性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合二次函数图象上的点求系数，再求解对应的一元二次方程，考查了二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是正确求出a、b的值，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先利用二次函数图象经过的两个点求出系数a、b的值，再代入一元二次方程求解根。具体思路：将点A(-1,0)、B(3,0)代入二次函数解析式，联立方程组解出a和b；再将a、b代入一元二次方程ax²+bx=0，通过因式分解法求解方程的根。
【解析】
把点A(-1,0)代入二次函数y=ax²+bx+3，得：
a·(-1)² + b·(-1) + 3 = 0，即a - b = -3 ①
把点B(3,0)代入二次函数y=ax²+bx+3，得：
a·3² + b·3 + 3 = 0，化简得9a + 3b = -3，即3a + b = -1 ②
联立①②，将两式相加：(a - b) + (3a + b) = -3 + (-1)，得4a = -4，解得a = -1。
把a=-1代入①，得-1 - b = -3，解得b=2。
将a=-1、b=2代入一元二次方程ax²+bx=0，得：
x² + 2x = 0，提取公因式x得：x(-x + 2) = 0，
则x=0 或 -x + 2 = 0，解得x₁=0，x₂=2。
【答案】
x₁=0，x₂=2
【知识点】
二次函数的图像与性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合二次函数图象上的点求系数，再求解对应的一元二次方程，考查了二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是正确求出a、b的值，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
10 如图,抛物线经过 A,B,C 三点,点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 的坐标为$(2,0)$,点 C 的坐标为$(0,-2).$
(1) 求抛物线对应的函数解析式；
(2) 将抛物线向上平移$m\ (m＞0)$个单位长度后恰与坐标轴有两个公共点,求$m$的值.
(1) 求抛物线对应的函数解析式；
(2) 将抛物线向上平移$m\ (m＞0)$个单位长度后恰与坐标轴有两个公共点,求$m$的值.
答案
10. (1) 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+1)(x-2)$.将$(0,-2)$代入$y=a(x+1)(x-2)$,得$-2a=-2$,解得$a=1$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=(x+1)(x-2)=x^2-x-2$
(2) 将抛物线向上平移$m$个单位长度后,得到的抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-x-2+m$.$\because$ 此抛物线与坐标轴有两个公共点,$\therefore$ 有2种情况:① 抛物线$y=x^2-x-2+m$与$x$轴只有一个交点,即方程$x^2-x-2+m=0$有两个相等的实数根,则$(-1)^2-4×1×(-2+m)=9-4m=0$,解得$m=\dfrac{9}{4}$;② 抛物线经过原点$O$,则$0=0-0-2+m$,解得$m=2$.综上所述,$m$的值为$\dfrac{9}{4}$或$2$
(2) 将抛物线向上平移$m$个单位长度后,得到的抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-x-2+m$.$\because$ 此抛物线与坐标轴有两个公共点,$\therefore$ 有2种情况:① 抛物线$y=x^2-x-2+m$与$x$轴只有一个交点,即方程$x^2-x-2+m=0$有两个相等的实数根,则$(-1)^2-4×1×(-2+m)=9-4m=0$,解得$m=\dfrac{9}{4}$;② 抛物线经过原点$O$,则$0=0-0-2+m$,解得$m=2$.综上所述,$m$的值为$\dfrac{9}{4}$或$2$
解析
【分析】
第(1)问已知抛物线与x轴的两个交点，适合用交点式设解析式，代入点C的坐标即可求出系数得到解析式；第(2)问先写出平移后的抛物线解析式，再根据“与坐标轴有两个公共点”分两种情况讨论：一是抛物线与x轴只有一个交点（判别式为0），二是抛物线经过原点，分别计算对应m的值即可。
【解析】
(1) 因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(2,0)，设抛物线的交点式为 $ y=a(x+1)(x-2) $。
将点C(0,-2)代入得：$ -2 = a(0+1)(0-2) $，即 $ -2a=-2 $，解得 $ a=1 $。
展开得抛物线解析式：$ y=(x+1)(x-2)=x^2 -x -2 $。
(2) 将抛物线向上平移$ m(m＞0) $个单位后，新抛物线解析式为 $ y=x^2 -x -2 + m $。
平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点，分两种情况：
① 抛物线与x轴只有一个交点，即方程$ x^2 -x -2 + m=0 $有两个相等实数根，判别式$ \Delta=(-1)^2 -4×1×(-2+m)=0 $，计算得$ 1 +8 -4m=0 $，解得$ m=\frac{9}{4} $；
② 抛物线经过原点$ (0,0) $，代入解析式得$ 0=0-0-2+m $，解得$ m=2 $。
综上，$ m $的值为$ \frac{9}{4} $或$ 2 $。
【答案】
(1) $ y=x^2 -x -2 $；(2) $ m=\frac{9}{4} $或$ 2 $
【知识点】
二次函数解析式、二次函数平移、二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题考查二次函数的解析式求解和平移后的交点问题，核心是利用交点式求解析式，平移后需分类讨论与坐标轴的公共点，是二次函数的典型基础题，需注意分类的完整性。
【难度系数】
0.6
第(1)问已知抛物线与x轴的两个交点，适合用交点式设解析式，代入点C的坐标即可求出系数得到解析式；第(2)问先写出平移后的抛物线解析式，再根据“与坐标轴有两个公共点”分两种情况讨论：一是抛物线与x轴只有一个交点（判别式为0），二是抛物线经过原点，分别计算对应m的值即可。
【解析】
(1) 因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(2,0)，设抛物线的交点式为 $ y=a(x+1)(x-2) $。
将点C(0,-2)代入得：$ -2 = a(0+1)(0-2) $，即 $ -2a=-2 $，解得 $ a=1 $。
展开得抛物线解析式：$ y=(x+1)(x-2)=x^2 -x -2 $。
(2) 将抛物线向上平移$ m(m＞0) $个单位后，新抛物线解析式为 $ y=x^2 -x -2 + m $。
平移后的抛物线与坐标轴有两个公共点，分两种情况：
① 抛物线与x轴只有一个交点，即方程$ x^2 -x -2 + m=0 $有两个相等实数根，判别式$ \Delta=(-1)^2 -4×1×(-2+m)=0 $，计算得$ 1 +8 -4m=0 $，解得$ m=\frac{9}{4} $；
② 抛物线经过原点$ (0,0) $，代入解析式得$ 0=0-0-2+m $，解得$ m=2 $。
综上，$ m $的值为$ \frac{9}{4} $或$ 2 $。
【答案】
(1) $ y=x^2 -x -2 $；(2) $ m=\frac{9}{4} $或$ 2 $
【知识点】
二次函数解析式、二次函数平移、二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题考查二次函数的解析式求解和平移后的交点问题，核心是利用交点式求解析式，平移后需分类讨论与坐标轴的公共点，是二次函数的典型基础题，需注意分类的完整性。
【难度系数】
0.6
11 [2024 广西]如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点 $P$ 处)的高度 $OP$ 是$\dfrac{7}{4}\ \mathrm{m},$出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是 5 m,高度是4 m. 若实心球落地点为 $M$,则 $OM=$
$\dfrac{35}{3}$
m.答案
11. $\dfrac{35}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，利用抛物线的顶点式求解解析式，再根据落地点在x轴上的特点，代入解析式求出M点的横坐标，进而得到OM的长度。具体思路：1. 确定抛物线的顶点坐标，设出顶点式解析式；2. 代入出手点P的坐标，求出解析式中的参数；3. 令y=0，解出对应x的值，即为OM的长度。
【解析】
解：以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线的顶点坐标为(5,4)，设抛物线的解析式为$ y = a(x - 5)^2 + 4 $（$ a≠0 $）。
已知出手点P的坐标为$ (0, \frac{7}{4}) $，代入解析式得：
$ \frac{7}{4} = a(0 - 5)^2 + 4 $
计算得：$ \frac{7}{4} = 25a + 4 $
移项得：$ 25a = \frac{7}{4} - 4 = -\frac{9}{4} $
解得：$ a = -\frac{9}{100} $
因此抛物线的解析式为$ y = -\frac{9}{100}(x - 5)^2 + 4 $。
因为落地点M在x轴上，所以$ y=0 $，令$ y=0 $代入解析式：
$ 0 = -\frac{9}{100}(x - 5)^2 + 4 $
整理得：$ (x - 5)^2 = \frac{400}{9} $
开平方得：$ x - 5 = \pm \frac{20}{3} $
由于M在x轴正半轴，舍去负根，得：
$ x = 5 + \frac{20}{3} = \frac{35}{3} $
即$ OM = \frac{35}{3} \, \mathrm{m} $。
【答案】
$ \frac{35}{3} $
【知识点】
二次函数的应用；抛物线顶点式；函数与x轴交点
【点评】
本题结合投掷实心球的实际场景考查二次函数的应用，核心是利用顶点式确定抛物线解析式，再求解落地点坐标，关键在于建立正确的坐标系和准确计算，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，利用抛物线的顶点式求解解析式，再根据落地点在x轴上的特点，代入解析式求出M点的横坐标，进而得到OM的长度。具体思路：1. 确定抛物线的顶点坐标，设出顶点式解析式；2. 代入出手点P的坐标，求出解析式中的参数；3. 令y=0，解出对应x的值，即为OM的长度。
【解析】
解：以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线的顶点坐标为(5,4)，设抛物线的解析式为$ y = a(x - 5)^2 + 4 $（$ a≠0 $）。
已知出手点P的坐标为$ (0, \frac{7}{4}) $，代入解析式得：
$ \frac{7}{4} = a(0 - 5)^2 + 4 $
计算得：$ \frac{7}{4} = 25a + 4 $
移项得：$ 25a = \frac{7}{4} - 4 = -\frac{9}{4} $
解得：$ a = -\frac{9}{100} $
因此抛物线的解析式为$ y = -\frac{9}{100}(x - 5)^2 + 4 $。
因为落地点M在x轴上，所以$ y=0 $，令$ y=0 $代入解析式：
$ 0 = -\frac{9}{100}(x - 5)^2 + 4 $
整理得：$ (x - 5)^2 = \frac{400}{9} $
开平方得：$ x - 5 = \pm \frac{20}{3} $
由于M在x轴正半轴，舍去负根，得：
$ x = 5 + \frac{20}{3} = \frac{35}{3} $
即$ OM = \frac{35}{3} \, \mathrm{m} $。
【答案】
$ \frac{35}{3} $
【知识点】
二次函数的应用；抛物线顶点式；函数与x轴交点
【点评】
本题结合投掷实心球的实际场景考查二次函数的应用，核心是利用顶点式确定抛物线解析式，再求解落地点坐标，关键在于建立正确的坐标系和准确计算，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.6
