1.(2025·连云港)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 ()

A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10

1.B

【分析】
要判断三根小木棒能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，无需验证三组两边之和，只需将每组线段中较短的两条长度相加，再和最长的长度比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形；反之则不能。接下来逐一验证每个选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系的简便判断规则：比较每组中较小两边之和与最大边的大小，若较小两边之和＞最大边，则可构成三角形。
A选项：三根木棒长为1，2，3，较短两边和为1+2=3，等于最长边3，不能构成三角形；
B选项：三根木棒长为2，3，4，较短两边和为2+3=5＞4，满足三边关系，可以构成三角形；
C选项：三根木棒长为3，5，8，较短两边和为3+5=8，等于最长边8，不能构成三角形；
D选项：三根木棒长为4，5，10，较短两边和为4+5=9＜10，不满足三边关系，不能构成三角形。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法可快速解题，需特别注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B＞∠ A$,三角形三边大小关系正确的是 （）

A.$AB＞AC＞BC$
B.$BC＞AB＞AC$
C.$BC＞AC＞AB$
D.无法确定

2.A

【分析】
要判断三角形三边的大小关系，可利用三角形“大角对大边”的性质求解。首先明确思考步骤：第一步回忆同一个三角形中角和边的对应规律：角越大，它所对的边越长；第二步找准每个角对应的对边，角的对边是指不包含该角顶点的那条边；第三步将已知的角的大小关系，对应转换为边的大小关系即可得到答案。
【解析】
根据三角形的边角性质：同一个三角形中，大角对大边，小角对小边。
在△ABC中，各角的对边分别为：∠C的对边是AB，∠B的对边是AC，∠A的对边是BC。
已知∠C＞∠B＞∠A，因此对应边的大小关系为：AB＞AC＞BC。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
大角对大边、对边识别
【点评】
本题属于三角形边角关系的基础考查题，解题核心是准确匹配角和其对应的对边，再结合大角对大边的性质即可快速解题，常见错误是角与对边的对应关系混淆。
【难度系数】
0.9

3.一个三角形的两边长分别是2和7,最长边a为偶数,则这个三角形的周长为.

3.17

【分析】
要计算三角形的周长，已知两边长，需要先求出最长边a的长度。解题时首先根据三角形三边关系，结合“a是最长边”的限定条件确定a的取值范围，再结合a是偶数的条件筛选出a的取值，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：已知三角形的两边长为2和7，且a是最长边，因此可得：
$a ≥ 7$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$2 + 7 ＞ a$，即$a ＜ 9$
综上可得a的取值范围为：$7 ≤ a ＜ 9$
又因为a为偶数，因此a=8
则该三角形的周长为：$2 + 7 + 8 = 17$
【答案】
17
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是结合题干给出的“最长边”“偶数”两个限制条件准确确定第三边的长度，熟练掌握三边关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. (2025•宝应县一模)一个等腰三角形的两边长分别为2 cm,4 cm,则它的周长为________cm.

4.10

【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形两边相等的特点，分腰长为2cm和腰长为4cm两种情况讨论，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况能否构成三角形，舍去不成立的情况后，计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长为2cm和4cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2cm，则三角形的三边长为2cm，2cm，4cm
此时$2 + 2 = 4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为4cm，则三角形的三边长为4cm，4cm，2cm
此时$2 + 4 ＞ 4$，$4 + 4 ＞ 2$，满足三角形三边关系，可构成三角形
周长为$4 + 4 + 2 = 10(\mathrm{cm})$
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长相关的易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长得到错误结果，因此遇到未明确腰和底的等腰三角形边长问题时，一定要先分类讨论，再验证三边能否构成三角形。
【难度系数】
0.7

5. 在$△ ABC$中，$AC=3$，$BC=4$。当$AB=5$时，$△ ABC$是直角三角形；当$△ ABC$是钝角三角形时，$AB$的长可能是$\underline{\hspace{3em}}$。（写出一个符合要求的值）

5.6(答案不唯一)

【分析】
解题时首先要明确三角形第三边的取值范围，再结合钝角三角形的特征分情况讨论：①当AB为最长边时，钝角为∠C，此时AB的平方需大于AC与BC的平方和；②当BC为最长边时，钝角为∠A，此时BC的平方需大于AC与AB的平方和，最后结合三边关系确定AB的取值范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
首先根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$4-3 ＜ AB ＜ 4+3$，即$1 ＜ AB ＜7$。
分两种情况讨论钝角三角形的成立条件：
1. 若AB是最长边，对应钝角为∠C，根据钝角三角形的性质：钝角所对边的平方大于另外两边的平方和，可得：
$AB^2 ＞ AC^2 + BC^2 = 3^2 +4^2 =25$，即$AB＞5$，结合三边关系得此时$5＜AB＜7$；
2. 若BC是最长边，对应钝角为∠A，同理可得：
$BC^2 ＞ AC^2 + AB^2$，即$4^2 ＞ 3^2 + AB^2$，解得$AB^2 ＜7$，$AB＜\sqrt{7}\approx2.65$，结合三边关系得此时$1＜AB＜\sqrt{7}$。
综上，AB的取值在$1＜AB＜\sqrt{7}$或$5＜AB＜7$内均可，例如取5.6。
【答案】
5.6（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系；勾股定理的逆定理；钝角三角形的性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时需注意钝角所对的边一定是三角形的最长边，避免遗漏某一种情况，只要写出符合取值范围的数值即可得分。
【难度系数】
0.7

6.已知a,b,c是一个三角形的三边长.
(1)若a=3,b=5,则c的取值范围是;
(2)化简:|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|=.

6.(1)2<c<8
(2)a+b+c

【分析】
(1) 求三角形第三边的取值范围，核心用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两边长a=3、b=5，直接代入三边关系即可求出c的范围。
(2) 化简带绝对值的式子，首先要判断绝对值内表达式的正负性，同样利用三角形三边关系，分别判断三个绝对值里的式子的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，已知a=3，b=5，可得：
$5-3 ＜ c ＜ 3+5$
即$2 ＜ c ＜ 8$。
(2)
∵a、b、c是三角形的三边长
∴根据三角形三边关系可得：$b+c ＞ a$，$c+a ＞ b$，$a+b ＞ c$
∴$b+c-a ＞ 0$，$b-c-a = b-(c+a) ＜ 0$，$c-a-b = c-(a+b) ＜ 0$
根据绝对值的性质去绝对值：
原式 $= (b+c-a) + [-(b-c-a)] + [-(c-a-b)]$
去括号得：
$= b+c-a -b+c+a -c+a+b$
合并同类项得：
$= a+b+c$
【答案】
(1)$2＜c＜8$；(2)$a+b+c$
【知识点】
1.三角形三边关系
2.绝对值的性质
3.整式的加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，第一问直接考查第三边取值范围的求法，第二问结合绝对值化简考查对三边关系的灵活运用，解题关键是牢记三边关系，准确判断绝对值内表达式的正负。
【难度系数】
0.8

7. 在$△ ABC$中,三边长分别为$a,b,c$,且满足$a=b+2,b=c+1$.
(1)试说明:$b$一定大于$3$;
(2)若这个三角形的周长为$22$,求$a,b,c$的值.

7.解:(1)因为$a=b+2$,所以$b=a-2$.
因为$b=c+1$,所以$a-2=c+1$,所以$a-c=3$.
因为$a-c<b$,所以$b$一定大于3.
(2)因为$b=c+1$,所以$c=b-1$,
所以$b+2+b+b-1=22$,解得$b=7$.
所以$a=b+2=9,c=b-1=6$.

【分析】
（1）要证明$b＞3$，可利用三角形“两边之差小于第三边”的性质推导。首先根据题中给出的$a$与$b$、$b$与$c$的等量关系，求出$a$与$c$的差，再结合三边不等关系即可推出$b$的取值范围。
（2）已知三角形周长为22，即三边长之和为22，先将$a$、$c$都用含$b$的式子表示，代入周长公式得到关于$b$的一元一次方程，解方程求出$b$后，再进一步计算$a$和$c$的值即可。
【解析】
(1) 因为$a=b+2$，所以变形可得$b=a-2$。
又因为$b=c+1$，将$b=a-2$代入得$a-2=c+1$，整理得$a-c=3$。
根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，可得$a-c＜b$，代入$a-c=3$得$3＜b$，即$b$一定大于3。
(2) 由$b=c+1$，变形可得$c=b-1$。
三角形周长为三边长之和，即$a+b+c=22$，将$a=b+2$、$c=b-1$代入得：
$(b+2)+b+(b-1)=22$
合并同类项得$3b+1=22$，移项计算得$3b=21$，解得$b=7$。
因此$a=b+2=7+2=9$，$c=b-1=7-1=6$。
【答案】
(1) $b$一定大于3，证明如上；
(2) $a=9$，$b=7$，$c=6$
【知识点】
三角形三边关系、三角形周长计算、一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形边的性质的基础应用题，解题核心是将不同边长用同一个参数表示，再结合对应性质或公式列关系式求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，考察内容较为基础。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在四边形ABCD中,O是AC与BD的交点,试说明:AC与BD的和小于四边形ABCD的周长.

8.解:在$△ABD$中,$AD+AB>BD$,
在$△BCD$中,$CD+BC>BD$,
在$△ACD$中,$AD+CD>AC$,
在$△ABC$中,$AB+BC>AC$,
所以$AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC>BD+BD+AC+AC$,
所以$2(AD+AB+CD+BC)>2(AC+BD)$,
所以$AD+AB+CD+BC>AC+BD$,
所以$AC$与$BD$的和小于四边形$ABCD$的周长.

【分析】
要证明AC与BD的和小于四边形ABCD的周长，首先明确四边形周长为AB+BC+CD+DA，涉及线段和的大小比较，优先考虑三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。我们可以分别将BD、AC放入对应的三角形中，写出符合三边关系的不等式，再将多个不等式累加，化简后即可得到要证的结论。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：
在$△ ABD$中，$AD+AB＞BD$，
在$△ BCD$中，$CD+BC＞BD$，
在$△ ACD$中，$AD+CD＞AC$，
在$△ ABC$中，$AB+BC＞AC$，
将上述四个不等式左右两边分别相加，可得：
$AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC＞BD+BD+AC+AC$，
整理得$2(AD+AB+CD+BC)＞2(AC+BD)$，
不等式两边同时除以2，得$AD+AB+CD+BC＞AC+BD$，
即AC与BD的和小于四边形ABCD的周长。
【答案】
AC与BD的和小于四边形ABCD的周长。
【知识点】
三角形三边关系、不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题目，解题的核心是将待比较的两条对角线分别置于不同的三角形中，建立对应的不等关系，再通过累加不等式、化简得到结论，能够锻炼学生的几何逻辑推导和转化思维。
【难度系数】
0.8