1 对于① $x-3xy=x(1-3y)$,② $(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$ 从左到右的变形,表述正确的是（）

A.都是因式分解
B.都是整式乘法运算
C.①是因式分解,②是整式乘法运算
D.①是整式乘法运算,②是因式分解

C

【分析】首先明确因式分解和整式乘法的核心定义：因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式；整式乘法是将几个整式相乘得到一个多项式的过程。接下来分别判断两个变形：①的左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义；②的左边是两个整式的积，右边是多项式，符合整式乘法的定义，据此选出正确选项。
【解析】根据定义逐一判断：
1. 对于①：左边是多项式$x - 3xy$，右边化为了整式$x$与整式$(1 - 3y)$的乘积，满足“把多项式转化为几个整式的积”的因式分解定义，因此①是因式分解；
2. 对于②：左边是整式$(x + 3)$与整式$(x - 1)$的乘积，右边是多项式$x^2 + 2x - 3$，满足“几个整式相乘得到多项式”的整式乘法定义，因此②是整式乘法运算。
综上，正确选项为C。
【答案】C
【知识点】因式分解、整式乘法
【点评】本题考查因式分解与整式乘法的概念区分，属于基础概念题，只需准确掌握两个概念的核心特征即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8

2 下列各式由左边到右边的变形,属于分解因式的是（）

A.$a(x+y)=ax+ay$
B.$x^{2}-4x+4=x(x-4)+4$
C.$10x^{2}-5x=5x(2x-1)$
D.$(a+3)(a-3)=a^{2}-9$

C

【分析】首先明确分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式，需注意与整式乘法（将几个整式的积转化为多项式）区分。接下来逐一分析选项，判断变形是否符合“多项式→几个整式的积”的核心特征。
【解析】根据分解因式的定义逐一判断：
选项A：左边是多项式，右边是两个单项式的和（ax+ay），属于整式乘法（单项式乘多项式），不符合分解因式要求；
选项B：右边是x(x-4)+4，本质是两个整式的和，不是几个整式的积，不符合分解因式要求；
选项C：左边是多项式10x²-5x，右边是5x与(2x-1)的积，符合“多项式化为几个整式的积”的形式，属于分解因式；
选项D：左边是两个整式的积，右边是多项式a²-9，属于整式乘法（平方差公式），不符合分解因式要求。
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查因式分解的基础概念，核心是区分整式乘法与因式分解，判断变形后是否为几个整式的积，属于概念类基础题，需准确掌握定义。
【难度系数】0.6

3 下列多项式可以提取公因式的是（）

A.$x^{2}-y^{2}$
B.$x^{2}+x$
C.$x^{2}-y$
D.$x^{2}+2xy+y^{2}$

B

【分析】要判断多项式能否提取公因式，需依据公因式的定义，即多项式各项都含有的公共因式，对每个选项逐一分析：A选项为平方差形式，无公共因式；B选项两项存在公共因式；C选项两项无公共因式；D选项为完全平方式，无公共因式，据此选出正确选项。
【解析】依次分析各选项：
A. $x^2 - y^2$：两项没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意；
B. $x^2 + x$：两项都含有因式$x$，公共因式为$x$，可提取公因式得$x(x+1)$，符合题意；
C. $x^2 - y$：两项没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意；
D. $x^2 + 2xy + y^2$：是完全平方式，无公共因式，无法提取公因式，不符合题意；
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】提取公因式、多项式因式分解
【点评】本题考查多项式提取公因式的判断，属于因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的定义，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7

4 (1) [2025 南通]$am+a=$；(2) [2025 上海]$a^{2}b+ab^{2}=$.

(1) $a(m+1)$ (2) $ab(a+b)$

【分析】本题考查因式分解中的提公因式法，解题思路是先确定多项式各项的公因式，再将公因式提取出来，剩余部分组成另一个因式。第(1)题中，式子$am+a$的两项都含公因式$a$；第(2)题中，式子$a^2b+ab^2$的两项都含公因式$ab$，分别提取公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 对$am+a$因式分解，提取公因式$a$，得：$am+a = a(m+1)$；
(2) 对$a^2b+ab^2$因式分解，提取公因式$ab$，得：$a^2b+ab^2 = ab(a+b)$。
【答案】(1) $a(m+1)$；(2) $ab(a+b)$
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题是基础因式分解题，直接考查提公因式法的基本应用，准确找出公因式即可完成分解，属于初中数学基础题型。
【难度系数】0.7

5 把多项式$a^{2}-4a$分解因式得（）

A.$a(a-4)$
B.$(a+2)(a-2)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$(a-2)^{2}-4$

A

【分析】
要分解多项式$a^2 - 4a$，需先回忆因式分解的常用方法：提公因式法、公式法等。观察多项式的两项，$a^2$和$-4a$都含有公因式$a$，因此优先使用提公因式法，提取公因式后即可得到结果，再对应选项判断即可。
【解析】
对多项式$a^2 - 4a$分解因式：
1. 确定公因式：$a^2$和$-4a$的公因式为$a$；
2. 提取公因式：将多项式转化为“公因式×另一个因式”的乘积形式，即$a^2 - 4a = a(a - 4)$；
对比选项：B是$a^2 - 4$的分解结果，C多乘了因式，D不是乘积形式（不属于因式分解），仅A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题考查基础的因式分解，核心是掌握提公因式法的应用，属于因式分解的基础题型，需注意区分不同因式分解方法的适用场景。
【难度系数】
0.8

6 如图所示为甲、乙两名同学分解因式 $-x^2+x$ 的结果,下列判断正确的是（）

A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确

A

【分析】要判断甲、乙同学分解因式的结果是否正确，需对原式$-x^2 + x$进行因式分解，分解时可通过提取公因式的方式，分别验证提取不同公因式后的结果是否与甲、乙的结果一致，进而得出结论。
【解析】对原式$-x^2 + x$因式分解：
1. 提取公因式$-x$：
$-x^2 + x = -x · x + (-x) · (-1) = -x(x - 1)$，与甲同学的结果一致；
2. 提取公因式$x$：
$-x^2 + x = x · (-x) + x · 1 = x(1 - x)$，与乙同学的结果一致；
因此甲、乙的结果都正确。
【答案】A
【知识点】因式分解（提取公因式）
【点评】本题考查提取公因式法分解因式，核心是掌握公因式的选择规则，公因式的符号可根据分解需求灵活选取，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

7 分解因式：
(1) $mp - mq$；
(2) $p^2 - 7p$；
(3) $p^2 + pq^2$；
(4) $2ab - b^2 + 3bc$。

(1) $m(p-q)$ (2) $p(p-7)$ (3) $p(p+q^2)$ (4) $b(2a-b+3c)$

【分析】本题考查用提公因式法分解因式，解题思路是先找出每个多项式各项的公因式，再将公因式提取出来，把多项式转化为公因式与另一个多项式的乘积形式，提取时要注意各项的符号，确保分解彻底。
【解析】
(1) 多项式$mp - mq$中，各项的公因式为$m$，提取公因式得：$mp - mq = m(p - q)$；
(2) 多项式$p^2 - 7p$中，各项的公因式为$p$，提取公因式得：$p^2 - 7p = p(p - 7)$；
(3) 多项式$p^2 + pq^2$中，各项的公因式为$p$，提取公因式得：$p^2 + pq^2 = p(p + q^2)$；
(4) 多项式$2ab - b^2 + 3bc$中，各项的公因式为$b$，提取公因式得：$2ab - b^2 + 3bc = b(2a - b + 3c)$；
【答案】(1) $m(p-q)$；(2) $p(p-7)$；(3) $p(p+q^2)$；(4) $b(2a-b+3c)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题型，聚焦提公因式法的应用，考查学生对公因式的识别能力，属于因式分解的入门内容，难度较低。
【难度系数】0.9