8 (1) 已知 $a^{2}-3 a+1=0$, 则 $a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}-1$ 的值为；
(2) 已知 $\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{4}$, 则 $\dfrac{x^{2}-x y+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}$ 的值为.

8. (1) 6 (2) $\dfrac{13}{15}$

【分析】
（1）已知等式含a²项，先判断a≠0（否则原式不成立），将等式两边除以a得到a与1/a的和，再利用完全平方公式变形求a²+1/a²，最后计算目标式；（2）已知x与y的比值，设参数k表示x和y，代入分式化简计算即可。
【解析】
（1）因为a² -3a +1=0，若a=0，代入得1=0不成立，故a≠0。等式两边同除以a得：a -3 + 1/a =0，即a + 1/a =3。根据完全平方公式：a² +1/a²=(a +1/a)² -2=3² -2=7，所以a² +1/a² -1=7-1=6。
（2）由x/y=1/4，设x=k（k≠0），则y=4k。代入分式：分子=k² -k·4k + (4k)²=k² -4k² +16k²=13k²；分母=(4k)² -k²=16k² -k²=15k²。所以原式=13k²/15k²=13/15（k≠0，k²可约去）。
【答案】
(1)6；(2)13/15
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式、比例的性质
【点评】
本题考查分式化简求值，核心是利用已知条件通过变形简化计算，涉及完全平方公式和比例的灵活运用，属于基础题型，需掌握参数法和公式变形技巧。
【难度系数】
0.6

9 对于分式$\dfrac{x^{2}-12x+36}{2x-12}$，有下列三种说法：① 它的值可以是正数；② 它的值可以是负数；③ 它的值可以是0.其中，正确的是（填序号）.

9. ①② 【解析】$\dfrac{x^2-12x+36}{2x-12}=\dfrac{(x-6)^2}{2(x-6)}.\because 2(x-6)$在分母上,$\therefore x-6≠0. \therefore x≠6. \therefore \dfrac{x^2-12x+36}{2x-12}=\dfrac{x-6}{2}≠0. \because x-6$可以是正数,也可以是负数,$\therefore$ 分式$\dfrac{x^2-12x+36}{2x-12}$的值可以是正数,也可以是负数. $\therefore$ 正确的是①②.

【分析】
要判断分式的三种说法是否正确，首先需对分式进行因式分解化简，同时注意分式有意义的条件（分母不为0），再根据化简后的式子分析其值的正负性和是否为0。
【解析】
先对分式化简：
分子$x^2 -12x +36=(x-6)^2$，分母$2x-12=2(x-6)$，
因为分式分母不能为0，所以$x-6≠0$，即$x≠6$，
此时约分得：$\dfrac{(x-6)^2}{2(x-6)}=\dfrac{x-6}{2}$（$x≠6$）。
当$x＞6$时，$x-6＞0$，则$\dfrac{x-6}{2}＞0$，分式的值为正数，故①正确；
当$x＜6$时，$x-6＜0$，则$\dfrac{x-6}{2}＜0$，分式的值为负数，故②正确；
因为$x≠6$，所以$x-6≠0$，则$\dfrac{x-6}{2}≠0$，分式的值不可能为0，故③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
分式化简、分式的值的判断
【点评】
本题考查分式的化简及分式值的分析，核心是利用因式分解化简分式，同时牢记分母不为0的限制条件，通过化简后的式子分析取值情况即可判断各说法，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

10 通分：
（1）$\dfrac{2}{4-9m^{2}}$与$\dfrac{3}{9m^{2}-12m+4}$；
（2）$\dfrac{x+1}{3x}$，$\dfrac{x}{2x+6}$，$\dfrac{x-1}{x^{2}-9}$。

10. (1) $\dfrac{4-6m}{(2+3m)(2-3m)^2}$与$\dfrac{6+9m}{(2+3m)(2-3m)^2}$
(2) $\dfrac{2(x+1)(x+3)(x-3)}{6x(x+3)(x-3)}$,$\dfrac{3x^2(x-3)}{6x(x+3)(x-3)}$,$\dfrac{6x(x-1)}{6x(x+3)(x-3)}$

【分析】
通分的核心是先对各分式分母因式分解，确定最简公分母，再将各分式分子、分母同乘适当整式，使分母统一为最简公分母。本题分两组分式处理：（1）先分解两个分母的因式，找最简公分母；（2）分解三个分母的因式，确定最简公分母后逐一转化分式。
【解析】
（1）① 分解分母因式：
$\dfrac{2}{4-9m^2}$的分母：$4-9m^2=(2+3m)(2-3m)$（平方差公式）；
$\dfrac{3}{9m^2-12m+4}$的分母：$9m^2-12m+4=(2-3m)^2$（完全平方公式）；
② 最简公分母为$(2+3m)(2-3m)^2$；
③ 转化分式：
$\dfrac{2}{(2+3m)(2-3m)}=\dfrac{2·(2-3m)}{(2+3m)(2-3m)·(2-3m)}=\dfrac{4-6m}{(2+3m)(2-3m)^2}$；
$\dfrac{3}{(2-3m)^2}=\dfrac{3·(2+3m)}{(2-3m)^2·(2+3m)}=\dfrac{6+9m}{(2+3m)(2-3m)^2}$；
（2）① 分解分母因式：
$\dfrac{x+1}{3x}$的分母为$3x$；
$\dfrac{x}{2x+6}$的分母：$2x+6=2(x+3)$；
$\dfrac{x-1}{x^2-9}$的分母：$x^2-9=(x+3)(x-3)$（平方差公式）；
② 最简公分母为$6x(x+3)(x-3)$；
③ 转化分式：
$\dfrac{x+1}{3x}=\dfrac{(x+1)·2(x+3)(x-3)}{3x·2(x+3)(x-3)}=\dfrac{2(x+1)(x+3)(x-3)}{6x(x+3)(x-3)}$；
$\dfrac{x}{2(x+3)}=\dfrac{x·3x(x-3)}{2(x+3)·3x(x-3)}=\dfrac{3x^2(x-3)}{6x(x+3)(x-3)}$；
$\dfrac{x-1}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{(x-1)·6x}{(x+3)(x-3)·6x}=\dfrac{6x(x-1)}{6x(x+3)(x-3)}$；
【答案】
(1) $\dfrac{4-6m}{(2+3m)(2-3m)^2}$，$\dfrac{6+9m}{(2+3m)(2-3m)^2}$；
(2) $\dfrac{2(x+1)(x+3)(x-3)}{6x(x+3)(x-3)}$，$\dfrac{3x^2(x-3)}{6x(x+3)(x-3)}$，$\dfrac{6x(x-1)}{6x(x+3)(x-3)}$；
【知识点】
分式通分、因式分解
【点评】
本题考查分式通分的基础运算，关键是正确分解分母因式、确定最简公分母，运算时需注意符号和因式的完整性，属于分式学习的核心基础题型。
【难度系数】
0.3

11 先化简分式$\dfrac{3x-3}{x^{2}-2x+1}$，再判断:当整数$x$取何值时,分式的值是正整数?

11. $\dfrac{3x-3}{x^2-2x+1}=\dfrac{3(x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{3}{x-1}.$当$x=2$时,原式$=3$;当$x=4$时,原式$=1. \therefore$ 当$x=2$或$4$时,分式的值是正整数

【分析】
首先对分式的分子、分母进行因式分解，通过约分得到最简分式；再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，最后结合“分式的值为正整数”的要求，分析最简分式分母需满足的正约数条件，进而求出符合要求的整数x。
【解析】
1. 化简分式：
分子因式分解：$3x - 3 = 3(x - 1)$；
分母因式分解：$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$；
约分（注意$x≠1$，否则分母为0，分式无意义）：
$\dfrac{3x - 3}{x^2 - 2x + 1} = \dfrac{3(x - 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{3}{x - 1}$。
2. 求使分式值为正整数的整数x：
要使$\dfrac{3}{x - 1}$为正整数，则$x - 1$必须是3的正约数，3的正约数为1和3，因此：
当$x - 1 = 1$时，$x = 2$，此时$\dfrac{3}{2 - 1} = 3$，是正整数，符合条件；
当$x - 1 = 3$时，$x = 4$，此时$\dfrac{3}{4 - 1} = 1$，是正整数，符合条件；
若$x - 1$取负约数，分式值为负，不符合“正整数”要求，故仅上述两个解。
【答案】
当整数$x=2$或$4$时，分式的值是正整数。
【知识点】
分式的化简、分式的值的确定
【点评】
本题考查分式的化简和约分，以及根据分式值的条件求整数解，关键是化简后需牢记分式有意义的条件（$x≠1$），同时准确分析分母的正约数取值，避免遗漏或错误判断。
【难度系数】
0.5

12 已知$|a-4|+b^{2}+\dfrac{1}{4}=b$，求$\dfrac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b+4ab^{2}}$的值.

12. $\because |a-4|+b^2+\dfrac{1}{4}=b, \therefore |a-4|+(b-\dfrac{1}{2})^2=0.$
$\because |a-4|≥0,(b-\dfrac{1}{2})^2≥0, \therefore a=4,b=\dfrac{1}{2}.$ 又$\because$ 原式$=\dfrac{a(a^2-4b^2)}{a(a^2-4ab+4b^2)}=\dfrac{a+2b}{a-2b}, \therefore$ 把$a=4,b=\dfrac{1}{2}$代入,得原式$=\dfrac{5}{3}$

【分析】
首先，题目给出的等式包含绝对值和平方项，需利用非负数的性质求解a、b的值；其次，要求的分式需先通过因式分解化简，再代入a、b的值计算，简化运算。具体步骤：1. 对已知等式移项、配方，转化为两个非负数的和为0的形式，求出a和b；2. 对所求分式的分子、分母分别因式分解，约分得到最简形式；3. 将a、b代入最简分式计算结果。
【解析】
解：已知$|a - 4| + b^2 + \dfrac{1}{4} = b$，移项得：
$|a - 4| + b^2 - b + \dfrac{1}{4} = 0$
对$b^2 - b + \dfrac{1}{4}$配方，得$(b - \dfrac{1}{2})^2$，原式变形为：
$|a - 4| + (b - \dfrac{1}{2})^2 = 0$
因为$|a - 4| ≥ 0$，$(b - \dfrac{1}{2})^2 ≥ 0$，非负数和为0则各自为0，故：
$a - 4 = 0$，$b - \dfrac{1}{2} = 0$，解得$a = 4$，$b = \dfrac{1}{2}$。
化简所求分式：
原式$\dfrac{a^3 - 4ab^2}{a^3 - 4a^2b + 4ab^2}$
分子因式分解：$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a - 2b)(a + 2b)$
分母因式分解：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a - 2b)^2$
约去公因式$a(a - 2b)$（满足$a≠0$、$a≠2b$），得：
原式$= \dfrac{a + 2b}{a - 2b}$
代入$a=4$，$b=\dfrac{1}{2}$：
$\dfrac{4 + 2×\dfrac{1}{2}}{4 - 2×\dfrac{1}{2}} = \dfrac{5}{3}$
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
非负数的性质、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题综合考查非负数性质与分式化简运算，核心是通过配方求a、b的值，再因式分解约分简化计算，需掌握配方法和因式分解技巧，属于代数基础综合题。
【难度系数】
0.5

13 某人种植了$x$公顷的棉花,总产量为$y\ \mathrm{kg}$,小麦的种植面积比棉花的种植面积少$m$公顷,小麦的总产量比棉花总产量的3倍多$n\ \mathrm{kg}$.写出表示棉花和小麦的单位面积产量(单位:$\mathrm{kg}/$公顷)的式子;如果两式的分母不同,那么请将两式通分.

13. 棉花: $\dfrac{y}{x}\ \mathrm{kg/公顷}$,小麦: $\dfrac{3y+n}{x-m}\ \mathrm{kg/公顷}$ $\dfrac{y}{x}=\dfrac{xy-my}{x^2-mx}$,
$\dfrac{3y+n}{x-m}=\dfrac{3xy+nx}{x^2-mx}$

【分析】
要解决这个问题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量 = 总产量 ÷ 种植面积。先分别提取棉花和小麦的总产量、种植面积，代入公式得到两者的单位面积产量；再根据分式通分的规则，先确定两个分式分母的最简公分母，再将两个分式化为同分母的分式。
【解析】
1. 计算单位面积产量：
棉花：已知棉花种植面积为$x$公顷，总产量为$y\ \mathrm{kg}$，根据单位面积产量公式，棉花的单位面积产量为$\dfrac{y}{x}\ \mathrm{kg/公顷}$。
小麦：小麦种植面积比棉花少$m$公顷，即种植面积为$(x - m)$公顷；总产量比棉花的3倍多$n\ \mathrm{kg}$，即总产量为$(3y + n)\ \mathrm{kg}$，因此小麦的单位面积产量为$\dfrac{3y + n}{x - m}\ \mathrm{kg/公顷}$。
2. 通分：
两个分式的分母分别为$x$和$x - m$，最简公分母为$x(x - m) = x^2 - mx$。
对$\dfrac{y}{x}$，分子分母同乘$(x - m)$，得：$\dfrac{y}{x} = \dfrac{y(x - m)}{x(x - m)} = \dfrac{xy - my}{x^2 - mx}$。
对$\dfrac{3y + n}{x - m}$，分子分母同乘$x$，得：$\dfrac{3y + n}{x - m} = \dfrac{x(3y + n)}{x(x - m)} = \dfrac{3xy + nx}{x^2 - mx}$。
【答案】
棉花的单位面积产量为$\dfrac{y}{x}\ \mathrm{kg/公顷}$，小麦的单位面积产量为$\dfrac{3y + n}{x - m}\ \mathrm{kg/公顷}$；通分后：$\dfrac{y}{x} = \dfrac{xy - my}{x^2 - mx}$，$\dfrac{3y + n}{x - m} = \dfrac{3xy + nx}{x^2 - mx}$。
【知识点】
分式的应用，分式的通分
【点评】
本题结合实际问题考查分式的应用与通分，核心是先根据题意正确列出两个单位面积产量的分式，再依据分式通分的规则完成计算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6