6. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD交于点O,$AB ⊥ AC$,$AB = 1$,$BC = \sqrt{5}$.(1)求$□ ABCD$的面积$S_{□ ABCD}$.(2)求对角线BD的长度.

解：
(1) ∵ AB⊥AC，
∴ ∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=1，BC=√5，由勾股定理得：
AC = √(BC² - AB²) = √[(√5)² - 1²] = √(5-1) = 2。
∴ $S_{□ABCD} = AB · AC = 1 × 2 = 2$。
(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ $OA = \frac{1}{2}AC = 1$，BD=2BO。
在Rt△ABO中，AB=1，OA=1，∠BAO=90°，由勾股定理得：
$BO = \sqrt{AB^2 + OA^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
∴ $BD = 2BO = 2\sqrt{2}$。
答：(1) 平行四边形ABCD的面积为2；(2) 对角线BD的长度为$2\sqrt{2}$。

7. 甲、乙两位采购员去同一家饲料公司都购买了两次饲料.两次饲料的价格有变化,第1次单价为a千克/元,第2次单价为b千克/元.两位采购员的购货方式不同,甲每次购买1 000千克,乙每次用去800元而不管购买多少饲料.
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元?
(2)谁的购货方式合算?

解：
(1) 甲两次购买饲料的总质量为$1000+1000=2000$千克，总费用为$(1000a+1000b)$元，
则甲的平均单价为：
$\frac{1000a + 1000b}{2000} = \frac{a + b}{2} \quad (\mathrm{元/千克})$
乙两次购买饲料的总费用为$800+800=1600$元，两次购买的总质量为$(\frac{800}{a}+\frac{800}{b})$千克，
则乙的平均单价为：
$\frac{1600}{\frac{800}{a} + \frac{800}{b}} = \frac{1600}{800(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})} = \frac{2ab}{a + b} \quad (\mathrm{元/千克})$
(2) 作差比较甲乙的平均单价：
$\begin{aligned}\frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} &= \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} \\&= \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2(a + b)} \\&= \frac{(a - b)^2}{2(a + b)}\end{aligned}$
由题意可知$a＞0$，$b＞0$，且两次单价有变化即$a ≠ b$，因此$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，可得$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)}＞0$，即$\frac{a + b}{2} ＞ \frac{2ab}{a + b}$。
答：(1) 甲所购饲料的平均单价是$\frac{a+b}{2}$元/千克，乙所购饲料的平均单价是$\frac{2ab}{a+b}$元/千克；(2) 乙的购货方式合算。

8. 合宁铁路是我国第1条城际铁路.
该铁路建成后,合肥至南京的铁路运行里程由原来的312 km缩短至154 km,设计时速是原来时速的2.5倍,旅客列车运行时间缩短约3.13 h.求合宁铁路的设计时速.

解：设旅客列车原来的时速为$ x \, \mathrm{km/h} $，则合宁铁路的设计时速为$ 2.5x \, \mathrm{km/h} $。
根据题意列方程：
$\frac{312}{x} - \frac{154}{2.5x} = 3.13$
方程两边同乘$ 2.5x $，得：
$312 × 2.5 - 154 = 3.13 × 2.5x$
化简计算：
$780 - 154 = 7.825x$
$626 = 7.825x$
解得：$ x = 80 $
检验：当$ x=80 $时，$ 2.5x ≠ 0 $，$ x=80 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则设计时速为$ 2.5x = 2.5 × 80 = 200 \, \mathrm{km/h} $。
答：合宁铁路的设计时速为200 km/h。

9. 某工厂有100名职工,他们分别生产A,B两种产品.A,B两种产品的成本分别为3.5元和5元,有关数据如下表：
| | 每人每天生产个数 |
| A | 14个 |
| B | 11个 |
| | 每个的售价 |
| A | 4.5元 |
| B | 7.5元 |
(1)若使每天生产的产品总数不低于1393个,应如何安排工人进行生产?
(2)在满足第(1)问的前提下,如何安排工人进行生产才能使利润最多?

解：
(1) 设安排x名工人生产A产品，则安排(100 - x)名工人生产B产品，x为非负整数。
根据题意列不等式：
$14x + 11(100 - x) \ge 1393$
展开整理得：
$3x \ge 293$
解得：
$x \ge 97\frac{2}{3}$
∵ x是整数，且$0 \le x \le 100$，
∴ x可取98、99、100，对应生产B产品的工人数为2、1、0。
即共有三种安排方案：
方案1：安排98名工人生产A产品，2名工人生产B产品；
方案2：安排99名工人生产A产品，1名工人生产B产品；
方案3：安排100名工人全部生产A产品。
(2) 单个A产品利润为$4.5 - 3.5 = 1$元，单个B产品利润为$7.5 - 5 = 2.5$元。
设每天总利润为y元，可得：
$y = 14x × 1 + 11(100 - x) × 2.5$
整理得：
$y = -13.5x + 2750$
∵ $-13.5 ＜ 0$，y随x的增大而减小，
∴ 当x取最小值98时，y取得最大值。
答：(1) 可选择三种安排方式：98人生产A、2人生产B，或99人生产A、1人生产B，或100人全部生产A；(2) 安排98名工人生产A产品，2名工人生产B产品时，每天获得的利润最多。