6.展现的作品中有一幅作品如图1所示，目光如炬的小悦从中提取出部分图案，并稍加修改.
平面图如图2所示，四边形ABCD是矩形，点E是DC的中点，延长DC至点G，使得CG= $\frac{1}{2}$CD，连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接BG，FG.
(1)求证:四边形BEFG是菱形；
(2)若BE平分∠AEG，AB=4，求四边形BEFG的面积.

6.(1)证明:略；
(2)解:
∵BE 平分$∠AEG$,
∴$∠AEB=∠GEB$.
∵$AB// CD,∴∠ABE=∠BEG$.
∴$∠ABE=∠AEB. ∴AB=AE=4$.
∵$DE=EC=\frac{1}{2}CD=2$,
∴$AD=\sqrt{AE^2-DE^2}=2\sqrt{3}$.
∴$BC=2\sqrt{3}. ∴BF=4\sqrt{3}$.
∵$EG=2EC=4$,
∴四边形 BEFG 的面积=$\frac{BF·EG}{2}=8\sqrt{3}$.

7.小悦从本次大赛负责人处得知，本次剪纸艺术大赛有105人参赛，他们的参赛成绩各不相同，前53名将获奖.小悦已经知道了自己的成绩，她想知道自己是否获奖，只需要知道这105人成绩的（选填“平均数”“中位数”“众数”或“方差”）.

7.中位数

8.此次剪纸艺术大赛,举办方需要定制某种特别的礼品作为奖品,这种特别的礼品可以通过两种方案获得.在好奇心的驱使下,小悦询问本次大赛某负责人,了解到如下信息:
方案一:从生产厂直接定制,每个礼品a元;
方案二:从机械厂租赁机器自己加工制作,但需要一次性投入机器安装等费用10 000元,每加工一个礼品还需支付一定的成本费(总费用包括投入机器安装等费用和成本费).
设需要该种礼品x个,方案一,二的总费用分别为$y_1$元,$y_2$元,且$y_1$,$y_2$关于x的函数图象分别对应直线$l_1$,$l_2$,如图所示.
(1)求a的值及$y_1$,$y_2$关于x的函数表达式;
(2)假设你是该举办方的决策者,你认为如何选择方案更省钱?并说明理由.

8.解:(过程略)(1)a 的值为 400,$y_1=400x$,
$y_2=200x+10\ 000$；
(2)当 $0≤ x＜50$ 时,选择方案一更省钱;当
$x=50$ 时,方案一,方案二的总费用一样
多;当$x＞50$ 时,选择方案二更省钱.