17.计算：
(1)$6x^2 · 3xy$；
(2)$(3x+2)(3x-2)$。

解：
(1) 原式 = (6×3)·(x²·x)·y
= 18x³y
(2) 原式 = (3x)² - 2²
= 9x² - 4

18.计算:$(x-2)(x-4)-6x(x-3)+5x^2$。

解：
原式 = $x^2 -4x -2x +8 -6x^2 +18x +5x^2$
$=(1-6+5)x^2 + (-6+18)x +8$
$=12x +8$

19.已知$(x-5)^2+(x-7)^2=30$，则$(x-6)^2$的值是（）

A.13
B.14
C.15
D.16

B

将$x-5$变形为$(x-6)+1$，$x-7$变形为$(x-6)-1$，设$a=x-6$，代入已知等式得：$(a+1)^2+(a-1)^2=30$。利用完全平方公式展开得$a^2+2a+1+a^2-2a+1=30$，合并同类项化简得$2a^2+2=30$，进一步计算得$a^2=14$，即$(x-6)^2=14$。

20.若$a,b,c$满足$a^2 + 2b = 7$，$b^2 - 2c = -1$，$c^2 - 6a = -17$，则$a + b - c$的值是（）

A.1
B.$-5$
C.$-6$
D.$-7$

A

将三个已知等式左右两边分别相加，得：
$a^2+2b + b^2-2c + c^2-6a = 7-1-17$
整理得：$a^2-6a + b^2+2b + c^2-2c = -11$
利用完全平方公式对式子配方变形：
$(a-3)^2 + (b+1)^2 + (c-1)^2 = 0$
由平方数的非负性可知，三个非负项的和为0，则每一项都为0，因此$a-3=0$，$b+1=0$，$c-1=0$，解得$a=3$，$b=-1$，$c=1$。
代入得$a+b-c=3+(-1)-1=1$。

21.已知$|x+3|+|x-2|+|y-1|+|y+2|$有最小值，则$2x^2+y^2+8x-6y+25$的最大值为。

$\boldsymbol{65}$

解：
根据绝对值的几何意义：
$|x+3|+|x-2|$表示数轴上点$x$到$-3$和$2$的距离之和，当$-3≤ x≤ 2$时，该式取得最小值$5$；
$|y-1|+|y+2|$表示数轴上点$y$到$1$和$-2$的距离之和，当$-2≤ y≤ 1$时，该式取得最小值$3$。
因此原式$|x+3|+|x-2|+|y-1|+|y+2|$取最小值时，满足$-3≤ x≤ 2$，$-2≤ y≤ 1$。
对所求代数式配方变形：
$\begin{aligned}2x^2+y^2+8x-6y+25&=2(x^2+4x)+(y^2-6y)+25\\&=2(x^2+4x+4-4)+(y^2-6y+9-9)+25\\&=2(x+2)^2 -8 + (y-3)^2 -9 +25\\&=2(x+2)^2 + (y-3)^2 +8\end{aligned}$
在$-3≤ x≤ 2$范围内，当$x=2$时，$(x+2)^2$取得最大值$16$，$2(x+2)^2$的最大值为$32$；
在$-2≤ y≤ 1$范围内，当$y=-2$时，$(y-3)^2$取得最大值$25$。
因此$2x^2+y^2+8x-6y+25$的最大值为$32+25+8=65$。

22.如果多项式$x^2 - mx + 25$是一个完全平方式，则$m=$。

$\boldsymbol{\pm10}$

解：
完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，
多项式$x^2 - mx + 25 = x^2 - mx + 5^2$，对应完全平方式可得：
$-mx = \pm 2· x · 5$
即 $-m = \pm 10$
解得 $m = \pm 10$
最终

23.若$3^m ÷ 3^n =27,(9^m)^n=3$,则$m^2 +n^2=$。

$\boldsymbol{10}$

解：
由同底数幂的除法法则，得
$3^m ÷ 3^n = 3^{m-n} = 27 = 3^3$
因此 $m - n = 3$。
由幂的乘方法则，得
$(9^m)^n = 9^{mn} = (3^2)^{mn} = 3^{2mn} = 3$
因此 $2mn = 1$，即 $mn = \frac{1}{2}$。
由完全平方公式变形可得：
$m^2 + n^2 = (m-n)^2 + 2mn$
将$m-n=3$，$mn=\frac{1}{2}$代入，得
$m^2 + n^2 = 3^2 + 2×\frac{1}{2} = 9 + 1 = 10$

24.(1)若多项式$x^2 -12x +k$是一个完全平方式，则k的值为。
(2)若多项式$x^2 +2ax +9$是一个完全平方式，则a的值为。

(1) $\boldsymbol{36}$；(2) $\boldsymbol{\pm3}$

解：
(1) 因为$x^2 -12x +k$是完全平方式，
对比完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得中间项$-12x=-2· x·6$，
因此$k=6^2=36$。
(2) 因为$x^2 +2ax +9$是完全平方式，
对比完全平方公式$(x\pm b)^2=x^2\pm2bx+b^2$，可得$9=3^2$，即$2a=\pm2×3=\pm6$，
解得$a=\pm3$。

25. 已知$m^2 -4m +1=0$，则代数式$m^2 + \frac{1}{m^2}=$。

$\boldsymbol{14}$

解：
∵ $m^2 - 4m + 1 = 0$，
∴ $m ≠ 0$，
将等式两边同时除以$m$，得：
$m - 4 + \frac{1}{m} = 0$，
整理得：$m + \frac{1}{m} = 4$，
将等式两边同时平方，得：
$(m + \frac{1}{m})^2 = 4^2$，
展开完全平方公式得：$m^2 + 2· m· \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2} = 16$，
即 $m^2 + 2 + \frac{1}{m^2} = 16$，
移项计算得：$m^2 + \frac{1}{m^2} = 16 - 2 = 14$。