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1. 下列各式:①$-5＜2$;②$4x+7＞0$;③$x=5$;④$x^2 - xy + y^2$;⑤$x - 4 ＞ y + 1$. 其中是不等式的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断：
①$-5＜2$，含不等号“＜”，是不等式；
②$4x+7＞0$，含不等号“＞”，是不等式；
③$x=5$是等式，不含不等号，不是不等式；
④$x^2 - xy + y^2$是代数式，不含不等号，不是不等式；
⑤$x-4＞y+1$，含不等号“＞”，是不等式。
综上，不等式共有3个。
①$-5＜2$，含不等号“＜”，是不等式；
②$4x+7＞0$，含不等号“＞”，是不等式；
③$x=5$是等式，不含不等号，不是不等式；
④$x^2 - xy + y^2$是代数式，不含不等号，不是不等式；
⑤$x-4＞y+1$，含不等号“＞”，是不等式。
综上，不等式共有3个。
2. 已知$a ＜ b$，则下列不等式中不正确的是 （）
A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
答案
C
解析
根据不等式的基本性质逐一判断：
1. 性质2：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边乘3得$3a＜3b$，A正确；
2. 性质1：不等式两边加同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边加3得$a+3＜b+3$，B正确；
3. 性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，已知$a＜b$，两边乘$-3$得$-3a＞-3b$，因此$-3a＜-3b$不成立，C不正确；
4. 性质1：不等式两边减同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边减3得$a-3＜b-3$，D正确。
1. 性质2：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边乘3得$3a＜3b$，A正确；
2. 性质1：不等式两边加同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边加3得$a+3＜b+3$，B正确；
3. 性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，已知$a＜b$，两边乘$-3$得$-3a＞-3b$，因此$-3a＜-3b$不成立，C不正确；
4. 性质1：不等式两边减同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边减3得$a-3＜b-3$，D正确。
3. 下列不等式组：①$\begin{cases} x ＞ -2, \\ x ＜ 3; \end{cases}$ ②$\begin{cases} x ＞ 0, \\ x + 2 ＞ 4; \end{cases}$ ③$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ y - 4 ＜ 0; \end{cases}$ ④$\begin{cases} x + 3 ＞ 0, \\ x ＜ -7; \end{cases}$ ⑤$\begin{cases} x^2 + 1 ＜ x, \\ x^2 + 2 ＞ 4. \end{cases}$
其中是一元一次不等式组的个数是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
其中是一元一次不等式组的个数是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组，逐个判断：
1. ①组：两个不等式都只含未知数x，且次数为1，是一元一次不等式组；
2. ②组：两个不等式都只含未知数x，且次数为1，是一元一次不等式组；
3. ③组：含有x、y两个未知数，不是一元一次不等式组；
4. ④组：两个不等式都只含未知数x，且次数为1，是一元一次不等式组；
5. ⑤组：不等式中x的最高次数为2，是一元二次不等式，不是一元一次不等式组。
综上，一元一次不等式组共3个。
1. ①组：两个不等式都只含未知数x，且次数为1，是一元一次不等式组；
2. ②组：两个不等式都只含未知数x，且次数为1，是一元一次不等式组；
3. ③组：含有x、y两个未知数，不是一元一次不等式组；
4. ④组：两个不等式都只含未知数x，且次数为1，是一元一次不等式组；
5. ⑤组：不等式中x的最高次数为2，是一元二次不等式，不是一元一次不等式组。
综上，一元一次不等式组共3个。
4.不等式$2x＞4$的解集在数轴上表示正确的是 （）
答案
B
解析
解：
解不等式 $2x ＞ 4$，
不等式两边同时除以2，得 $x ＞ 2$。
在数轴上表示$x＞2$时，数字2的位置画空心圆圈，线条向右延伸，符合该特征的是选项B。
解不等式 $2x ＞ 4$，
不等式两边同时除以2，得 $x ＞ 2$。
在数轴上表示$x＞2$时，数字2的位置画空心圆圈，线条向右延伸，符合该特征的是选项B。
5.若关于$x$的方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$的解是非负数，则$k$的取值范围是 （）
A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
答案
D
解析
先解关于x的一元一次方程：
1. 去分母，两边同乘6得：$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号得：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项、合并同类项得：$x = 8k - 12$
由方程的解是非负数，可得$x≥0$，即$8k - 12 ≥ 0$，解得$k≥\frac{3}{2}$。
1. 去分母，两边同乘6得：$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号得：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项、合并同类项得：$x = 8k - 12$
由方程的解是非负数，可得$x≥0$，即$8k - 12 ≥ 0$，解得$k≥\frac{3}{2}$。
6.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少答对的题数为 （）
A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
答案
C
解析
设答对的题数为$ x $道，则答错或不答的题数为$ (30-x) $道。
根据总分不低于70分，列不等式：
$10x - 3(30 - x) ≥ 70$
展开整理得：
$10x - 90 + 3x ≥ 70$
$13x ≥ 160$
解得：
$x ≥ \frac{160}{13} \approx 12.3$
因为题数$ x $是正整数，所以满足条件的最小整数为13，即至少答对13道题。
根据总分不低于70分，列不等式：
$10x - 3(30 - x) ≥ 70$
展开整理得：
$10x - 90 + 3x ≥ 70$
$13x ≥ 160$
解得：
$x ≥ \frac{160}{13} \approx 12.3$
因为题数$ x $是正整数，所以满足条件的最小整数为13，即至少答对13道题。
7.实数$a$使得关于$x$的不等式组$\begin{cases}6-2x＞0, \\2(x+a)≥ x+3\end{cases}$至少有4个整数解，则$a$的取值范围是（ ）
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
答案
A
解析
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$6-2x＞0$，移项得$-2x＞-6$，系数化为1得$x＜3$；
2. 解不等式$2(x+a)≥ x+3$，展开得$2x+2a≥ x+3$，移项合并得$x≥ 3-2a$；
因此不等式组的解集为$3-2a≤ x＜3$。
要使不等式组至少有4个整数解，小于3的连续整数从大到小为2、1、0、-1，共4个，因此需要$3-2a≤ -1$，解该不等式得$a≥ 2$。
1. 解不等式$6-2x＞0$，移项得$-2x＞-6$，系数化为1得$x＜3$；
2. 解不等式$2(x+a)≥ x+3$，展开得$2x+2a≥ x+3$，移项合并得$x≥ 3-2a$；
因此不等式组的解集为$3-2a≤ x＜3$。
要使不等式组至少有4个整数解，小于3的连续整数从大到小为2、1、0、-1，共4个，因此需要$3-2a≤ -1$，解该不等式得$a≥ 2$。
