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1.(教材P14T1变式)如下三图，根据图形所给条件，求证：∠1=∠2.
(1)
(3)
(1)
(3)
答案
1.证明:(1)
∵∠1+∠3=90°,
∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2;
(2)
∵∠1+∠ACD=90°,
∠2+∠ACD=90°,
∴∠1=∠2;
(3)
∵∠1+∠B=90°,
∠2+∠B=90°,
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°,
∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2;
(2)
∵∠1+∠ACD=90°,
∠2+∠ACD=90°,
∴∠1=∠2;
(3)
∵∠1+∠B=90°,
∠2+∠B=90°,
∴∠1=∠2.
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，可利用“同角的余角相等”的性质推导。首先观察图形特征，找到和∠1、∠2都互余的公共角：(1)中∠1和∠2都与∠3互余；(2)中∠1和∠2都与∠ACD互余；(3)中∠1和∠2都与∠B互余，结合余角的性质即可证得两角相等。
【解析】
(1) 由图可得∠ECB=∠D=90°，因此平角DCA中∠1+∠3=180°-90°=90°，Rt△EDC中直角三角形两锐角互余，故∠2+∠3=90°，因此∠1=∠2；
(2) 由图可得∠ACB=∠ADC=90°，因此Rt△ACB中∠1+∠ACD=90°，Rt△ADC中直角三角形两锐角互余，故∠2+∠ACD=90°，因此∠1=∠2；
(3) 由图可得CD⊥AB、AE⊥BC，因此Rt△AEB中∠1+∠B=90°，Rt△CDB中直角三角形两锐角互余，故∠2+∠B=90°，因此∠1=∠2。
【答案】
证明:
(1)
∵∠1+∠3=90°,
∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2;
(2)
∵∠1+∠ACD=90°,
∠2+∠ACD=90°,
∴∠1=∠2;
(3)
∵∠1+∠B=90°,
∠2+∠B=90°,
∴∠1=∠2.
【知识点】
直角三角形两锐角互余、同角的余角相等、垂直的性质
【点评】
本题是几何中证明角相等的基础题型，核心是识别“同角的余角相等”的应用模型，要求学生能通过观察图形找到两个角公共的余角，掌握该类基础证明方法对后续复杂几何推导有重要作用。
【难度系数】
0.85
要证明∠1=∠2，可利用“同角的余角相等”的性质推导。首先观察图形特征，找到和∠1、∠2都互余的公共角：(1)中∠1和∠2都与∠3互余；(2)中∠1和∠2都与∠ACD互余；(3)中∠1和∠2都与∠B互余，结合余角的性质即可证得两角相等。
【解析】
(1) 由图可得∠ECB=∠D=90°，因此平角DCA中∠1+∠3=180°-90°=90°，Rt△EDC中直角三角形两锐角互余，故∠2+∠3=90°，因此∠1=∠2；
(2) 由图可得∠ACB=∠ADC=90°，因此Rt△ACB中∠1+∠ACD=90°，Rt△ADC中直角三角形两锐角互余，故∠2+∠ACD=90°，因此∠1=∠2；
(3) 由图可得CD⊥AB、AE⊥BC，因此Rt△AEB中∠1+∠B=90°，Rt△CDB中直角三角形两锐角互余，故∠2+∠B=90°，因此∠1=∠2。
【答案】
证明:
(1)
∵∠1+∠3=90°,
∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2;
(2)
∵∠1+∠ACD=90°,
∠2+∠ACD=90°,
∴∠1=∠2;
(3)
∵∠1+∠B=90°,
∠2+∠B=90°,
∴∠1=∠2.
【知识点】
直角三角形两锐角互余、同角的余角相等、垂直的性质
【点评】
本题是几何中证明角相等的基础题型，核心是识别“同角的余角相等”的应用模型，要求学生能通过观察图形找到两个角公共的余角，掌握该类基础证明方法对后续复杂几何推导有重要作用。
【难度系数】
0.85
2.将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O,E,F在直线l上，点B在DE边上，∠1=20°,∠A=45°,∠AOB=∠DEF=90°.则∠ABE的度数为(
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
B
)A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
答案
B
解析
【分析】
要求∠ABE的度数，可将其拆分为∠ABO与∠OBE的和分别求解。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，在Rt△AOB中求出∠ABO的度数；再根据已知的∠1和∠AOB的度数求出∠BOE的度数，接着在Rt△BOE中利用直角三角形两锐角互余求出∠OBE的度数，最后将两个角相加即可得到∠ABE的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=45°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ ABO=90°-∠ A=90°-45°=45°$。
2. 已知$∠ 1=20°$，结合$∠ AOB=90°$，可得$∠ BOE=∠ AOB-∠ 1=90°-20°=70°$。
3. 由$∠ DEF=90°$可知$DE⊥$直线$l$，即$∠ BEO=90°$，在$Rt△ BOE$中，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ OBE=90°-∠ BOE=90°-70°=20°$。
4. 因此$∠ ABE=∠ ABO+∠ OBE=45°+20°=65°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角的和差计算，垂直的定义
【点评】
本题是典型的三角板叠放角度计算问题，解题的核心是结合图形理清各个角的位置关系，将未知角拆分为可求角的和或差，再利用直角三角形的性质逐步推导即可，难度不大，需要注意不要混淆各角的位置。
【难度系数】
0.7
要求∠ABE的度数，可将其拆分为∠ABO与∠OBE的和分别求解。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，在Rt△AOB中求出∠ABO的度数；再根据已知的∠1和∠AOB的度数求出∠BOE的度数，接着在Rt△BOE中利用直角三角形两锐角互余求出∠OBE的度数，最后将两个角相加即可得到∠ABE的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=45°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ ABO=90°-∠ A=90°-45°=45°$。
2. 已知$∠ 1=20°$，结合$∠ AOB=90°$，可得$∠ BOE=∠ AOB-∠ 1=90°-20°=70°$。
3. 由$∠ DEF=90°$可知$DE⊥$直线$l$，即$∠ BEO=90°$，在$Rt△ BOE$中，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ OBE=90°-∠ BOE=90°-70°=20°$。
4. 因此$∠ ABE=∠ ABO+∠ OBE=45°+20°=65°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角的和差计算，垂直的定义
【点评】
本题是典型的三角板叠放角度计算问题，解题的核心是结合图形理清各个角的位置关系，将未知角拆分为可求角的和或差，再利用直角三角形的性质逐步推导即可，难度不大，需要注意不要混淆各角的位置。
【难度系数】
0.7
3.如图,在直角△ACB中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AB交AD的延长线于点E.求证:∠BED=∠BDE.
答案
3.证明:设∠CAD=α,
在△ACD中,∠CDA=90°−α,
在△ABE中,∠BED=90°−α,
又
∵∠BDE=∠CDA,
∴∠BED=∠BDE.
在△ACD中,∠CDA=90°−α,
在△ABE中,∠BED=90°−α,
又
∵∠BDE=∠CDA,
∴∠BED=∠BDE.
解析
【分析】
要证明∠BED=∠BDE，可通过等量代换推导：首先观察到∠BDE与∠CDA是对顶角，二者相等，因此只需证明∠BED=∠CDA即可。结合已知条件：AD平分∠BAC可得两个相等的小角，图中有两个直角三角形，可利用直角三角形两锐角互余的性质，分别用同一个参数表示出∠CDA和∠BED，即可推出二者相等，最终通过等量代换得到待证结论。
【解析】
证明：设∠CAD=α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=α，
在Rt△ACD中，∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余，得∠CDA=90°−α，
在Rt△ABE中，BE⊥AB即∠ABE=90°，同理得∠BED=90°−α，
又
∵∠BDE与∠CDA是对顶角，
∴∠BDE=∠CDA，
∴∠BED=∠BDE。
【答案】
证明:设∠CAD=α,
在△ACD中,∠CDA=90°−α,
在△ABE中,∠BED=90°−α,
又
∵∠BDE=∠CDA,
∴∠BED=∠BDE.
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是利用角平分线得到相等的角，再结合直角三角形的性质和对顶角的性质完成等量代换，解题时也可通过设参数的方法简化角的关系推导。
【难度系数】
0.8
要证明∠BED=∠BDE，可通过等量代换推导：首先观察到∠BDE与∠CDA是对顶角，二者相等，因此只需证明∠BED=∠CDA即可。结合已知条件：AD平分∠BAC可得两个相等的小角，图中有两个直角三角形，可利用直角三角形两锐角互余的性质，分别用同一个参数表示出∠CDA和∠BED，即可推出二者相等，最终通过等量代换得到待证结论。
【解析】
证明：设∠CAD=α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=α，
在Rt△ACD中，∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余，得∠CDA=90°−α，
在Rt△ABE中，BE⊥AB即∠ABE=90°，同理得∠BED=90°−α，
又
∵∠BDE与∠CDA是对顶角，
∴∠BDE=∠CDA，
∴∠BED=∠BDE。
【答案】
证明:设∠CAD=α,
在△ACD中,∠CDA=90°−α,
在△ABE中,∠BED=90°−α,
又
∵∠BDE=∠CDA,
∴∠BED=∠BDE.
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是利用角平分线得到相等的角，再结合直角三角形的性质和对顶角的性质完成等量代换，解题时也可通过设参数的方法简化角的关系推导。
【难度系数】
0.8
4.在$△ ABC$中，$∠ A=50°,BD,CE$是高，直线$BD,CE$交于点$H$，求$∠ BHC$的度数.
答案
4.解:(1)若是锐角三角形
,则∠BHC=180°−50°=130°.
(2)若是钝角三角形,
则∠BHC=180°−90°−40°=50°.
综上,∠BHC=50°或130°.
解析
【分析】
题目未明确△ABC的形状，三角形的高的交点（垂心）位置随三角形形状不同而改变：锐角三角形的垂心在三角形内部，钝角三角形的垂心在三角形外部，因此需分两种情况讨论求解。①当△ABC为锐角三角形时，可结合高的直角性质、四边形内角和或对顶角相等计算∠BHC；②当△ABC为钝角三角形时，可利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠BHC。
【解析】
分两种情况讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEH=∠ADH=90°，
在四边形AEHD中，内角和为360°，已知∠A=50°，
∴∠EHD=360°-∠AEH-∠ADH-∠A=360°-90°-90°-50°=130°，
∵∠BHC与∠EHD是对顶角，
∴∠BHC=∠EHD=130°。
（2）当△ABC为钝角三角形时：
∵CE是AB边上的高，
∴∠AEC=90°，在Rt△AEC中，∠A+∠ACE=90°，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=90°-50°=40°，
又
∵BD是AC边上的高，
∴∠HDC=90°，在Rt△HDC中，∠BHC+∠HCD=90°，其中∠HCD=∠ACE=40°，
∴∠BHC=90°-40°=50°。
综上，∠BHC的度数为50°或130°。
【答案】
(1)若是锐角三角形,
则∠BHC=180°−50°=130°.
(2)若是钝角三角形,
则∠BHC=180°−90°−40°=50°.
综上,∠BHC=50°或130°。
【知识点】
三角形高的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形形状的分类，仅考虑锐角三角形的情况导致漏解。解题时需结合垂心的位置特点分情况分析，同时考查了直角三角形两锐角互余、四边形内角和等基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6
题目未明确△ABC的形状，三角形的高的交点（垂心）位置随三角形形状不同而改变：锐角三角形的垂心在三角形内部，钝角三角形的垂心在三角形外部，因此需分两种情况讨论求解。①当△ABC为锐角三角形时，可结合高的直角性质、四边形内角和或对顶角相等计算∠BHC；②当△ABC为钝角三角形时，可利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠BHC。
【解析】
分两种情况讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEH=∠ADH=90°，
在四边形AEHD中，内角和为360°，已知∠A=50°，
∴∠EHD=360°-∠AEH-∠ADH-∠A=360°-90°-90°-50°=130°，
∵∠BHC与∠EHD是对顶角，
∴∠BHC=∠EHD=130°。
（2）当△ABC为钝角三角形时：
∵CE是AB边上的高，
∴∠AEC=90°，在Rt△AEC中，∠A+∠ACE=90°，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=90°-50°=40°，
又
∵BD是AC边上的高，
∴∠HDC=90°，在Rt△HDC中，∠BHC+∠HCD=90°，其中∠HCD=∠ACE=40°，
∴∠BHC=90°-40°=50°。
综上，∠BHC的度数为50°或130°。
【答案】
(1)若是锐角三角形
,则∠BHC=180°−50°=130°.
(2)若是钝角三角形,
则∠BHC=180°−90°−40°=50°.
综上,∠BHC=50°或130°。
【知识点】
三角形高的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形形状的分类，仅考虑锐角三角形的情况导致漏解。解题时需结合垂心的位置特点分情况分析，同时考查了直角三角形两锐角互余、四边形内角和等基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6
5.如图，AF，AD分别是$△ ABC$的高和角平分线.
(1)若$∠ B=36°$，$∠ C=76°$，求$∠ DAF$的度数；
(2)若$∠ B=α$，$∠ C=β$，且$α＜β$，则$∠ DAF$的度数为
(1)若$∠ B=36°$，$∠ C=76°$，求$∠ DAF$的度数；
(2)若$∠ B=α$，$∠ C=β$，且$α＜β$，则$∠ DAF$的度数为
$\frac{β-α}{2}$
.答案
5.解:(1)在△ABC中,∠BAC=180°−36°−76°=68°,
又
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=34°,
∴∠ADF=70°,
∴∠DAF=20°;
(2)在△ABC中,∠BAC=180°−α−β,
∴∠BAD=90°−$\frac{α+β}{2}$,
∴∠BAF=90°−α,
∴∠DAF=90°−α−(90°−$\frac{α+β}{2}$)=$\frac{β-α}{2}$.
又
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=34°,
∴∠ADF=70°,
∴∠DAF=20°;
(2)在△ABC中,∠BAC=180°−α−β,
∴∠BAD=90°−$\frac{α+β}{2}$,
∴∠BAF=90°−α,
∴∠DAF=90°−α−(90°−$\frac{α+β}{2}$)=$\frac{β-α}{2}$.
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用三角形内角和定理求出△ABC的顶角∠BAC的度数，结合角平分线的定义得到∠BAD的度数；再根据高的性质，在直角△ABF中求出∠BAF的度数，最后通过两个角的差计算出∠DAF的度数。第二问将具体角度替换为字母，按照相同的逻辑推导即可得到通用表达式。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-36°-76°=68°$
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×68°=34°$
∵AF是△ABC的高，
∴$∠ AFB=90°$，在Rt△ABF中，$∠ BAF=90°-∠ B=90°-36°=54°$
∴$∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=54°-34°=20°$
(2) 同理，在△ABC中，$∠ BAC=180°-α-β$
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-α-β)=90°-\frac{α+β}{2}$
∵AF是高，在Rt△ABF中，$∠ BAF=90°-α$
∴$∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=(90°-α)-(90°-\frac{α+β}{2})=\frac{β-α}{2}$
【答案】
(1) $20°$；(2) $\frac{β-α}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题，解题核心是理清角平分线、高对应的角的数量关系，既可以通过直角三角形锐角关系计算，也可借助三角形外角性质推导，能锻炼从特殊数值到一般表达式的推导能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用三角形内角和定理求出△ABC的顶角∠BAC的度数，结合角平分线的定义得到∠BAD的度数；再根据高的性质，在直角△ABF中求出∠BAF的度数，最后通过两个角的差计算出∠DAF的度数。第二问将具体角度替换为字母，按照相同的逻辑推导即可得到通用表达式。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-36°-76°=68°$
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×68°=34°$
∵AF是△ABC的高，
∴$∠ AFB=90°$，在Rt△ABF中，$∠ BAF=90°-∠ B=90°-36°=54°$
∴$∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=54°-34°=20°$
(2) 同理，在△ABC中，$∠ BAC=180°-α-β$
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-α-β)=90°-\frac{α+β}{2}$
∵AF是高，在Rt△ABF中，$∠ BAF=90°-α$
∴$∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=(90°-α)-(90°-\frac{α+β}{2})=\frac{β-α}{2}$
【答案】
(1) $20°$；(2) $\frac{β-α}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题，解题核心是理清角平分线、高对应的角的数量关系，既可以通过直角三角形锐角关系计算，也可借助三角形外角性质推导，能锻炼从特殊数值到一般表达式的推导能力。
【难度系数】
0.7
