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1. 小明和爸爸妈妈准备参加旅行团外出旅行. 甲旅行社告知“大人买全票，儿童按半价优惠”，乙旅行社告知“家庭旅行可按团体计价，即每人均按全票的8折优惠”. 若这两家旅行社每人的原票价相同，那么(
A.甲比乙更优惠
B.乙比甲更优惠
C.甲与乙同等优惠
D.哪家更优惠要看原价
B
).A.甲比乙更优惠
B.乙比甲更优惠
C.甲与乙同等优惠
D.哪家更优惠要看原价
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪家旅行社更优惠，只需计算两家旅行社的总费用再比较大小即可。由于两家旅行社的原票价相同，我们可以先设每人原票价为字母参数，再根据两家的优惠规则分别列出总费用的代数式，最后比较两个代数式的大小就能得出结论，因为票价为正数，参数不会影响最终的比较结果。
【解析】
设每人的原票价为$a$元（$a＞0$）：
1. 计算甲旅行社总费用：两个大人购买全票，儿童享受半价优惠，总费用为$2a + 0.5a = 2.5a$；
2. 计算乙旅行社总费用：3人均按全票的8折优惠，总费用为$3×0.8a = 2.4a$；
因为$a＞0$，所以$2.5a ＞ 2.4a$，即乙旅行社的总花费更低，乙比甲更优惠。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；代数式大小比较；方案优化选择
【点评】
本题是贴近生活的方案选择类应用题，解题核心是通过设参数表示不同方案的花费再比较大小，无需计算原票价的具体数值即可判断出最优方案。
【难度系数】
0.8
要判断哪家旅行社更优惠，只需计算两家旅行社的总费用再比较大小即可。由于两家旅行社的原票价相同，我们可以先设每人原票价为字母参数，再根据两家的优惠规则分别列出总费用的代数式，最后比较两个代数式的大小就能得出结论，因为票价为正数，参数不会影响最终的比较结果。
【解析】
设每人的原票价为$a$元（$a＞0$）：
1. 计算甲旅行社总费用：两个大人购买全票，儿童享受半价优惠，总费用为$2a + 0.5a = 2.5a$；
2. 计算乙旅行社总费用：3人均按全票的8折优惠，总费用为$3×0.8a = 2.4a$；
因为$a＞0$，所以$2.5a ＞ 2.4a$，即乙旅行社的总花费更低，乙比甲更优惠。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；代数式大小比较；方案优化选择
【点评】
本题是贴近生活的方案选择类应用题，解题核心是通过设参数表示不同方案的花费再比较大小，无需计算原票价的具体数值即可判断出最优方案。
【难度系数】
0.8
2. 如果某商品进价降低5%而售价不变，利润率可由目前的$a\%$增加到$(a+15)\%$，则$a$的值为(
A.185
B.175
C.155
D.145
A
). $( 利润率=\frac{利润}{成本}×100\% )$A.185
B.175
C.155
D.145
答案
2. A
解析
【分析】
解题的核心是抓住“售价不变”这一等量关系。我们可以先设原进价为一个辅助未知数（因为进价在后续计算中会被约去，不需要求具体值），再分别根据利润率公式表示出降价前后的售价，令两个售价相等建立方程，最后解方程求出a的值即可。
【解析】
设该商品原来的进价为$m$（$m≠0$）。
1. 原来的售价：根据售价=进价×(1+利润率)，可得原售价为 $m(1+a\%)$。
2. 进价降低5%后，新进价为 $m(1-5\%)=0.95m$，此时利润率为$(a+15)\%$，所以新售价为 $0.95m×[1+(a+15)\%]$。
3. 因为售价不变，所以列方程：
$m(1+a\%)=0.95m×[1+(a+15)\%]$
因为$m≠0$，两边同时除以$m$得：
$1+a\%=0.95×[1+(a+15)\%]$
将百分数转化为小数计算：
$1+0.01a=0.95×(1+0.01a+0.15)$
化简右边：
$1+0.01a=0.95×(1.15+0.01a)$
$1+0.01a=1.0925+0.0095a$
移项合并同类项：
$0.01a-0.0095a=1.0925-1$
$0.0005a=0.0925$
解得：
$a=185$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，利润率计算
【点评】
本题的解题关键是找准售价不变的等量关系，引入的进价作为辅助未知数不需要求解具体数值，在计算过程中可直接约去，重点考查对利润率公式的理解和运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题的核心是抓住“售价不变”这一等量关系。我们可以先设原进价为一个辅助未知数（因为进价在后续计算中会被约去，不需要求具体值），再分别根据利润率公式表示出降价前后的售价，令两个售价相等建立方程，最后解方程求出a的值即可。
【解析】
设该商品原来的进价为$m$（$m≠0$）。
1. 原来的售价：根据售价=进价×(1+利润率)，可得原售价为 $m(1+a\%)$。
2. 进价降低5%后，新进价为 $m(1-5\%)=0.95m$，此时利润率为$(a+15)\%$，所以新售价为 $0.95m×[1+(a+15)\%]$。
3. 因为售价不变，所以列方程：
$m(1+a\%)=0.95m×[1+(a+15)\%]$
因为$m≠0$，两边同时除以$m$得：
$1+a\%=0.95×[1+(a+15)\%]$
将百分数转化为小数计算：
$1+0.01a=0.95×(1+0.01a+0.15)$
化简右边：
$1+0.01a=0.95×(1.15+0.01a)$
$1+0.01a=1.0925+0.0095a$
移项合并同类项：
$0.01a-0.0095a=1.0925-1$
$0.0005a=0.0925$
解得：
$a=185$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，利润率计算
【点评】
本题的解题关键是找准售价不变的等量关系，引入的进价作为辅助未知数不需要求解具体数值，在计算过程中可直接约去，重点考查对利润率公式的理解和运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
3. 有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1. 若将此数个位数与百位数字对调，所得的新数比原数的2倍少49，则原数为
3. 有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1. 若将此数个位数与百位数字对调，所得的新数比原数的2倍少49，则原数为
346
.答案
3. 346
解析
【分析】
这是一道数位类的一元一次方程应用题，解题思路如下：1. 个位、十位数字都和百位数字相关，所以优先设百位数字为未知数x，用x表示出十位和个位数字；2. 牢记三位数的表示规则：三位数=百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字，分别写出原数和个位、百位对调后的新数的表达式；3. 找准题目等量关系“新数 = 原数×2 - 49”，列出一元一次方程；4. 解方程求出x后，结合数位数字的取值要求（百位为1~9的整数，其余数位为0~9的整数）验证解的合理性，最终求出原数。
【解析】
设原数的百位数字为x，则十位数字为$(x+1)$，个位数字为$2x$。
原数可表示为：
$100x + 10(x+1) + 2x = 112x + 10$
将个位与百位数字对调后，新数的百位为$2x$，十位为$(x+1)$，个位为$x$，新数可表示为：
$100×2x + 10(x+1) + x = 211x + 10$
根据题意列方程：
$211x + 10 = 2×(112x + 10) - 49$
展开并整理得：
$211x + 10 = 224x - 29$
移项计算得：
$13x = 39$
解得$x=3$。
验证：$x=3$符合百位数字取值要求，此时十位数字为$3+1=4$，个位数字为$2×3=6$，均符合数位取值要求。
所以原数为$3×100 + 4×10 + 6 = 346$。
【答案】
346
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 数位的表示方法
【点评】
本题是典型的数位类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的表示方法，结合各数位数字的关联设未知数，找准等量关系列方程求解，求解后要注意结合数位数字的取值范围验证解是否合理。
【难度系数】
0.7
这是一道数位类的一元一次方程应用题，解题思路如下：1. 个位、十位数字都和百位数字相关，所以优先设百位数字为未知数x，用x表示出十位和个位数字；2. 牢记三位数的表示规则：三位数=百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字，分别写出原数和个位、百位对调后的新数的表达式；3. 找准题目等量关系“新数 = 原数×2 - 49”，列出一元一次方程；4. 解方程求出x后，结合数位数字的取值要求（百位为1~9的整数，其余数位为0~9的整数）验证解的合理性，最终求出原数。
【解析】
设原数的百位数字为x，则十位数字为$(x+1)$，个位数字为$2x$。
原数可表示为：
$100x + 10(x+1) + 2x = 112x + 10$
将个位与百位数字对调后，新数的百位为$2x$，十位为$(x+1)$，个位为$x$，新数可表示为：
$100×2x + 10(x+1) + x = 211x + 10$
根据题意列方程：
$211x + 10 = 2×(112x + 10) - 49$
展开并整理得：
$211x + 10 = 224x - 29$
移项计算得：
$13x = 39$
解得$x=3$。
验证：$x=3$符合百位数字取值要求，此时十位数字为$3+1=4$，个位数字为$2×3=6$，均符合数位取值要求。
所以原数为$3×100 + 4×10 + 6 = 346$。
【答案】
346
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 数位的表示方法
【点评】
本题是典型的数位类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的表示方法，结合各数位数字的关联设未知数，找准等量关系列方程求解，求解后要注意结合数位数字的取值范围验证解是否合理。
【难度系数】
0.7
4. 某机关有三个部门，A部门有84人，B部门有56人，C部门有60人。如果每个部门按相同比例裁减人员，使这个机关仅留150人，那么C部门留下
45
人。答案
4. 45
解析
【分析】
解题时首先抓住“每个部门按相同比例裁减人员”这一关键条件，说明各部门留下人数占本部门原人数的比例一致，且该比例等于机关总留下人数占原总人数的比例。我们可以先计算三个部门的原总人数，再通过总留存人数求出留存比例，最后用C部门原人数乘留存比例即可得到结果，也可以通过设未知数列一元一次方程求解。
【解析】
第一步：计算三个部门原总人数
$ 84 + 56 + 60 = 200 $（人）
第二步：设人员留存比例为$ x $，根据总留存人数列方程
$ 200x = 150 $
解得：$ x = 150÷200 = 0.75 $
第三步：计算C部门留下的人数
$ 60×0.75 = 45 $（人）
【答案】
45
【知识点】
比例的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题的关键是理解“相同比例裁减”的含义，明确各部门的留存比例与整体留存比例相等，解题思路清晰，难度不大，计算时注意准确率即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“每个部门按相同比例裁减人员”这一关键条件，说明各部门留下人数占本部门原人数的比例一致，且该比例等于机关总留下人数占原总人数的比例。我们可以先计算三个部门的原总人数，再通过总留存人数求出留存比例，最后用C部门原人数乘留存比例即可得到结果，也可以通过设未知数列一元一次方程求解。
【解析】
第一步：计算三个部门原总人数
$ 84 + 56 + 60 = 200 $（人）
第二步：设人员留存比例为$ x $，根据总留存人数列方程
$ 200x = 150 $
解得：$ x = 150÷200 = 0.75 $
第三步：计算C部门留下的人数
$ 60×0.75 = 45 $（人）
【答案】
45
【知识点】
比例的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题的关键是理解“相同比例裁减”的含义，明确各部门的留存比例与整体留存比例相等，解题思路清晰，难度不大，计算时注意准确率即可。
【难度系数】
0.8
5. 某工程队共有 55 人，每人每天平均挖土 $2.5\ \mathrm{m}^3$ 或运土 $3\ \mathrm{m}^3$. 为合理安排劳力，要使挖出的土能及时运走，则分配
30
人挖土.答案
5. 30
解析
【分析】
这是一道劳力调配类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系：要使挖出的土及时运走，说明每天挖土的总方量等于每天运土的总方量。思考步骤如下：第一步，设分配x人挖土，根据总人数可表示出运土的人数为(55-x)人；第二步，分别用人数乘每人每天的工作量，表示出每天挖土总量和运土总量；第三步，根据两个总量相等列方程，求解即可得到挖土的人数。
【解析】
解：设分配x人挖土，则运土的人数为$(55-x)$人。
根据“挖土总方量=运土总方量”的等量关系，列方程得：
$2.5x = 3(55 - x)$
展开右边得：$2.5x = 165 - 3x$
移项得：$2.5x + 3x = 165$
合并同类项得：$5.5x = 165$
系数化为1得：$x = 30$
检验：当$x=30$时，每天挖土总量为$30×2.5=75\ \mathrm{m}^3$，运土人数为$55-30=25$人，每天运土总量为$25×3=75\ \mathrm{m}^3$，两者相等，符合题意。
【答案】
30
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系分析；一元一次方程求解
【点评】
本题属于典型的配套类实际应用题，解题的关键是从题干描述中挖掘出隐含的等量关系，即两种工作量相等，按照设未知数、列方程、解方程、检验的步骤解答即可，计算时注意小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
这是一道劳力调配类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系：要使挖出的土及时运走，说明每天挖土的总方量等于每天运土的总方量。思考步骤如下：第一步，设分配x人挖土，根据总人数可表示出运土的人数为(55-x)人；第二步，分别用人数乘每人每天的工作量，表示出每天挖土总量和运土总量；第三步，根据两个总量相等列方程，求解即可得到挖土的人数。
【解析】
解：设分配x人挖土，则运土的人数为$(55-x)$人。
根据“挖土总方量=运土总方量”的等量关系，列方程得：
$2.5x = 3(55 - x)$
展开右边得：$2.5x = 165 - 3x$
移项得：$2.5x + 3x = 165$
合并同类项得：$5.5x = 165$
系数化为1得：$x = 30$
检验：当$x=30$时，每天挖土总量为$30×2.5=75\ \mathrm{m}^3$，运土人数为$55-30=25$人，每天运土总量为$25×3=75\ \mathrm{m}^3$，两者相等，符合题意。
【答案】
30
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系分析；一元一次方程求解
【点评】
本题属于典型的配套类实际应用题，解题的关键是从题干描述中挖掘出隐含的等量关系，即两种工作量相等，按照设未知数、列方程、解方程、检验的步骤解答即可，计算时注意小数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
三、解答题
6. 某场体育比赛的入场券为30元一张，若降价后观众增加50%，收入增加$\frac{1}{4}$，则每张入场券应降价多少元？
6. 某场体育比赛的入场券为30元一张，若降价后观众增加50%，收入增加$\frac{1}{4}$，则每张入场券应降价多少元？
答案
6. 每张入场券应降价5元
解析
【分析】
这是一道实际应用类的一元一次方程问题，解题核心是抓住“收入=入场券单价×观众人数”的等量关系。题中没有给出原来的观众人数，我们可以将原来的观众人数设为单位“1”（该辅助量最后会在计算中消去，不影响结果）。首先分别表示出降价前的收入、降价后的单价、降价后的观众人数、降价后的收入，再根据降价后收入比原来增加$\frac{1}{4}$的关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每张入场券应降价$x$元，把原来的观众人数看作单位“1”。
降价前的收入：$30×1=30$（元）
降价后的入场券单价：$(30-x)$元
降价后的观众人数：$1×(1+50\%)=1.5$
降价后的收入：$30×(1+\frac{1}{4})=37.5$（元）
根据“降价后收入=降价后单价×降价后观众人数”列方程：
$\begin{aligned}(30-x)×1.5&=37.5\\45-1.5x&=37.5\\1.5x&=45-37.5\\1.5x&=7.5\\x&=5\end{aligned}$
【答案】
每张入场券应降价5元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 百分数的实际应用
3. 收入问题等量关系
【点评】
本题属于常见的销售类实际应用题，解题的关键是梳理清楚单价、人数、收入三者之间的关系，当题中缺少某个基础量时，可将其设为单位“1”简化计算，无需算出该量的具体数值，重点考察学生对实际问题中等量关系的提取和方程应用能力。
【难度系数】
0.6
这是一道实际应用类的一元一次方程问题，解题核心是抓住“收入=入场券单价×观众人数”的等量关系。题中没有给出原来的观众人数，我们可以将原来的观众人数设为单位“1”（该辅助量最后会在计算中消去，不影响结果）。首先分别表示出降价前的收入、降价后的单价、降价后的观众人数、降价后的收入，再根据降价后收入比原来增加$\frac{1}{4}$的关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每张入场券应降价$x$元，把原来的观众人数看作单位“1”。
降价前的收入：$30×1=30$（元）
降价后的入场券单价：$(30-x)$元
降价后的观众人数：$1×(1+50\%)=1.5$
降价后的收入：$30×(1+\frac{1}{4})=37.5$（元）
根据“降价后收入=降价后单价×降价后观众人数”列方程：
$\begin{aligned}(30-x)×1.5&=37.5\\45-1.5x&=37.5\\1.5x&=45-37.5\\1.5x&=7.5\\x&=5\end{aligned}$
【答案】
每张入场券应降价5元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 百分数的实际应用
3. 收入问题等量关系
【点评】
本题属于常见的销售类实际应用题，解题的关键是梳理清楚单价、人数、收入三者之间的关系，当题中缺少某个基础量时，可将其设为单位“1”简化计算，无需算出该量的具体数值，重点考察学生对实际问题中等量关系的提取和方程应用能力。
【难度系数】
0.6
7. 某校学生列队以8 km/h的速度前进，在队尾校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达一个通知，然后立即返回队尾，这位学生的速度是12 km/h，从队尾赶到排头又回到队尾共用了7.2 min，则队伍的长为多少千米？
答案
7. 0.4 km
解析
【分析】
解题时先拆分运动过程：第一阶段学生从队尾到排头，属于同向追及问题，学生与队伍的相对速度为学生速度减队伍速度，追及路程等于队伍长度；第二阶段学生从排头返回队尾，属于相向相遇问题，相对速度为学生速度加队伍速度，相遇路程也等于队伍长度。我们可以设队伍长为x千米，将总时间的单位换算为小时后，根据“追及时间+相遇时间=总用时”列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先进行单位换算：$7.2\ \mathrm{min}=7.2÷60=0.12\ \mathrm{h}$
设队伍的长度为$x\ \mathrm{km}$。
学生从队尾到排头的追及时间为：$\frac{x}{12-8}\ \mathrm{h}$
学生从排头返回队尾的相遇时间为：$\frac{x}{12+8}\ \mathrm{h}$
根据总用时列方程：
$\frac{x}{12-8}+\frac{x}{12+8}=0.12$
化简得：$\frac{x}{4}+\frac{x}{20}=0.12$
通分计算：$\frac{5x+x}{20}=0.12$
即 $\frac{6x}{20}=0.12$
解得 $x=0.4$
答：队伍的长为0.4 km。
【答案】
0.4 km
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
3. 行程相遇问题
【点评】
本题是追及与相遇结合的经典行程题型，解题核心是准确区分两个阶段的运动类型，正确计算相对速度，同时要注意运动过程中各物理量的单位统一，避免单位不匹配导致计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时先拆分运动过程：第一阶段学生从队尾到排头，属于同向追及问题，学生与队伍的相对速度为学生速度减队伍速度，追及路程等于队伍长度；第二阶段学生从排头返回队尾，属于相向相遇问题，相对速度为学生速度加队伍速度，相遇路程也等于队伍长度。我们可以设队伍长为x千米，将总时间的单位换算为小时后，根据“追及时间+相遇时间=总用时”列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先进行单位换算：$7.2\ \mathrm{min}=7.2÷60=0.12\ \mathrm{h}$
设队伍的长度为$x\ \mathrm{km}$。
学生从队尾到排头的追及时间为：$\frac{x}{12-8}\ \mathrm{h}$
学生从排头返回队尾的相遇时间为：$\frac{x}{12+8}\ \mathrm{h}$
根据总用时列方程：
$\frac{x}{12-8}+\frac{x}{12+8}=0.12$
化简得：$\frac{x}{4}+\frac{x}{20}=0.12$
通分计算：$\frac{5x+x}{20}=0.12$
即 $\frac{6x}{20}=0.12$
解得 $x=0.4$
答：队伍的长为0.4 km。
【答案】
0.4 km
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
3. 行程相遇问题
【点评】
本题是追及与相遇结合的经典行程题型，解题核心是准确区分两个阶段的运动类型，正确计算相对速度，同时要注意运动过程中各物理量的单位统一，避免单位不匹配导致计算错误。
【难度系数】
0.6
