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知识点 勾股定理
直角三角形
直角三角形
两直角边的平方和
等于斜边的 平方
。如果用 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^2+b^2=c^2$
。答案
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^2+b^2=c^2$。
解析
【分析】
本题考查勾股定理的基础概念，解题时只需回忆勾股定理的文字表述和符号表示即可。首先明确勾股定理针对直角三角形，核心是两条直角边的平方和与斜边平方的等量关系，再对应转化为字母表达式就能完成填空。
【解析】
根据勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，那么对应的等量关系式为$a^2+b^2=c^2$，据此完成对应填空即可。
【答案】
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对勾股定理核心内容的记忆，是运用勾股定理解决后续几何问题的基础，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的基础概念，解题时只需回忆勾股定理的文字表述和符号表示即可。首先明确勾股定理针对直角三角形，核心是两条直角边的平方和与斜边平方的等量关系，再对应转化为字母表达式就能完成填空。
【解析】
根据勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，那么对应的等量关系式为$a^2+b^2=c^2$，据此完成对应填空即可。
【答案】
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对勾股定理核心内容的记忆，是运用勾股定理解决后续几何问题的基础，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$AB=15$，$AC:BC=3:4$，求这个直角三角形的周长。
[点拨] 本题考查勾股定理的知识，难度适中。设$AC=3x$，则$BC=4x$，然后根据勾股定理得到$AC^2+BC^2=AB^2$，求出$x$的值，再根据三角形的周长公式求出答案。
[解] 设$AC=3x$，则$BC=4x$。
根据勾股定理，得$AC^2+BC^2=AB^2$，
即$(3x)^2+(4x)^2=15^2$，解得$x=3$，
则$AC=9$，$BC=12$。
所以$△ ABC$的周长$=AC+BC+AB$
$=9+12+15=36$。
[点拨] 本题考查勾股定理的知识，难度适中。设$AC=3x$，则$BC=4x$，然后根据勾股定理得到$AC^2+BC^2=AB^2$，求出$x$的值，再根据三角形的周长公式求出答案。
[解] 设$AC=3x$，则$BC=4x$。
根据勾股定理，得$AC^2+BC^2=AB^2$，
即$(3x)^2+(4x)^2=15^2$，解得$x=3$，
则$AC=9$，$BC=12$。
所以$△ ABC$的周长$=AC+BC+AB$
$=9+12+15=36$。
答案
解：
设$AC=3x$，则$BC=4x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理，得
$AC^2+BC^2=AB^2$
即$(3x)^2+(4x)^2=15^2$
化简得$25x^2=225$，
由边长为正，解得$x=3$，
则$AC=9$，$BC=12$。
$△ ABC$的周长$=AC+BC+AB=9+12+15=36$。
答：这个直角三角形的周长为36。
设$AC=3x$，则$BC=4x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理，得
$AC^2+BC^2=AB^2$
即$(3x)^2+(4x)^2=15^2$
化简得$25x^2=225$，
由边长为正，解得$x=3$，
则$AC=9$，$BC=12$。
$△ ABC$的周长$=AC+BC+AB=9+12+15=36$。
答：这个直角三角形的周长为36。
解析
【分析】
题目要求直角三角形的周长，需要先求出两条直角边的长度。已知两条直角边的比为3:4，我们可以采用设参数的方法简化计算：设AC=3x，BC=4x，既符合比例关系，也能避免出现分数运算。因为△ABC是直角三角形，∠C=90°，可直接利用勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，求解得到正的x值（边长为正数，负值需舍去），再代入求出AC、BC的长度，最后将三条边的长度相加即可得到周长。
【解析】
设$AC=3x$，则$BC=4x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理，得
$AC^2+BC^2=AB^2$
即$(3x)^2+(4x)^2=15^2$
化简得$25x^2=225$，
由边长为正，解得$x=3$，
则$AC=9$，$BC=12$。
$△ ABC$的周长$=AC+BC+AB=9+12+15=36$。
【答案】
这个直角三角形的周长为36。
【知识点】
勾股定理；按比例设元；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，结合比例关系考查直角三角形的边长计算，解题关键是根据边长比例合理设未知数，再利用勾股定理建立方程求解，掌握这类题型能为后续直角三角形相关的综合计算打下基础。
【难度系数】
0.7
题目要求直角三角形的周长，需要先求出两条直角边的长度。已知两条直角边的比为3:4，我们可以采用设参数的方法简化计算：设AC=3x，BC=4x，既符合比例关系，也能避免出现分数运算。因为△ABC是直角三角形，∠C=90°，可直接利用勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，求解得到正的x值（边长为正数，负值需舍去），再代入求出AC、BC的长度，最后将三条边的长度相加即可得到周长。
【解析】
设$AC=3x$，则$BC=4x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理，得
$AC^2+BC^2=AB^2$
即$(3x)^2+(4x)^2=15^2$
化简得$25x^2=225$，
由边长为正，解得$x=3$，
则$AC=9$，$BC=12$。
$△ ABC$的周长$=AC+BC+AB=9+12+15=36$。
【答案】
这个直角三角形的周长为36。
【知识点】
勾股定理；按比例设元；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，结合比例关系考查直角三角形的边长计算，解题关键是根据边长比例合理设未知数，再利用勾股定理建立方程求解，掌握这类题型能为后续直角三角形相关的综合计算打下基础。
【难度系数】
0.7
|变式训练1| 如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD=3，AB=4，BC=13，求四边形ABCD的面积。
答案
解:因为 $AD⊥AB,BD⊥CD$,
所以$∠A=∠BDC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,根据勾股定理得
$AB^2+AD^2=BD^2$,
即 $4^2+3^2=BD^2$。
解得 $BD=5$。
在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,根据勾股定理得
$BD^2+CD^2=BC^2$,
即 $5^2+CD^2=13^2$。
解得 $CD=12$。
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=36$。
所以$∠A=∠BDC=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,根据勾股定理得
$AB^2+AD^2=BD^2$,
即 $4^2+3^2=BD^2$。
解得 $BD=5$。
在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,根据勾股定理得
$BD^2+CD^2=BC^2$,
即 $5^2+CD^2=13^2$。
解得 $CD=12$。
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=36$。
解析
【分析】
要求四边形ABCD的面积，该四边形为不规则图形，可分割为Rt△ABD和Rt△BCD两个规则直角三角形，分别计算面积后求和即可。首先在已知两条直角边的Rt△ABD中，利用勾股定理算出两个三角形的公共边BD的长度；再在Rt△BCD中，结合已知的斜边BC和刚求出的BD，再次运用勾股定理算出另一条直角边CD的长度；最后分别计算两个直角三角形的面积，相加就能得到四边形的总面积。
【解析】
解：$\because AD⊥ AB,BD⊥ CD$，
$\therefore ∠ A=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理得：
$AB^2+AD^2=BD^2$，
代入$AB=4,AD=3$，得$4^2+3^2=BD^2$，
解得$BD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理得：
$BD^2+CD^2=BC^2$，
代入$BD=5,BC=13$，得$5^2+CD^2=13^2$，
解得$CD=12$。
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36$。
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；分割法求面积
【点评】
本题是勾股定理在几何面积计算中的典型应用，解题关键是将不规则四边形合理分割为两个直角三角形，以公共边BD为桥梁求出未知边长，再结合面积公式求解，难度不大，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要求四边形ABCD的面积，该四边形为不规则图形，可分割为Rt△ABD和Rt△BCD两个规则直角三角形，分别计算面积后求和即可。首先在已知两条直角边的Rt△ABD中，利用勾股定理算出两个三角形的公共边BD的长度；再在Rt△BCD中，结合已知的斜边BC和刚求出的BD，再次运用勾股定理算出另一条直角边CD的长度；最后分别计算两个直角三角形的面积，相加就能得到四边形的总面积。
【解析】
解：$\because AD⊥ AB,BD⊥ CD$，
$\therefore ∠ A=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理得：
$AB^2+AD^2=BD^2$，
代入$AB=4,AD=3$，得$4^2+3^2=BD^2$，
解得$BD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理得：
$BD^2+CD^2=BC^2$，
代入$BD=5,BC=13$，得$5^2+CD^2=13^2$，
解得$CD=12$。
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36$。
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；分割法求面积
【点评】
本题是勾股定理在几何面积计算中的典型应用，解题关键是将不规则四边形合理分割为两个直角三角形，以公共边BD为桥梁求出未知边长，再结合面积公式求解，难度不大，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
例2 如图，点E在正方形ABCD的边AB上。若EB=1，EC=2，则正方形ABCD的面积为
[点拨] 首先根据勾股定理求出$BC^2$，然后根据正方形的面积公式计算即可。
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是$a,b$，斜边长为$c$，那么$a^2 + b^2 = c^2$。
[解] 由勾股定理，得
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 3$，
所以正方形ABCD的面积为3。
3
。[点拨] 首先根据勾股定理求出$BC^2$，然后根据正方形的面积公式计算即可。
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是$a,b$，斜边长为$c$，那么$a^2 + b^2 = c^2$。
[解] 由勾股定理，得
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 3$，
所以正方形ABCD的面积为3。
答案
3
解析
【分析】
解题时首先观察图形，正方形ABCD的内角∠B为直角，因此△EBC是直角三角形。我们要求正方形的面积，而正方形的面积等于边长BC的平方，所以不需要求出BC的具体长度，只需利用勾股定理，在Rt△EBC中用已知的斜边EC和直角边EB的长度计算出BC²即可得到正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，即△EBC为直角三角形。
根据勾股定理，在Rt△EBC中：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$
将EB=1，EC=2代入得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
∵正方形ABCD的面积$S = BC^2$，
∴正方形ABCD的面积为3。
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合正方形的性质判断出直角三角形，同时注意到正方形的面积就是边长的平方，无需开方计算边长，可直接利用勾股定理的结果得到答案，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形，正方形ABCD的内角∠B为直角，因此△EBC是直角三角形。我们要求正方形的面积，而正方形的面积等于边长BC的平方，所以不需要求出BC的具体长度，只需利用勾股定理，在Rt△EBC中用已知的斜边EC和直角边EB的长度计算出BC²即可得到正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，即△EBC为直角三角形。
根据勾股定理，在Rt△EBC中：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$
将EB=1，EC=2代入得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
∵正方形ABCD的面积$S = BC^2$，
∴正方形ABCD的面积为3。
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合正方形的性质判断出直角三角形，同时注意到正方形的面积就是边长的平方，无需开方计算边长，可直接利用勾股定理的结果得到答案，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.9
