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变式训练1 某电信公司推出两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，两种收费方式的通话时间x(单位:min)与收费y(单位:元)之间的函数关系如图所示。
(1)无月租费的收费方式是
(2)求有月租费的收费方式中y与x之间的函数表达式；
(3)若图中两个函数图象的交点坐标为(300,60)，请解释这个交点坐标的实际意义；
(4)当每月通话时间
(1)无月租费的收费方式是
②
（选填“①”或“②”），其通话1 min收费是0.2
元；(2)求有月租费的收费方式中y与x之间的函数表达式；
(3)若图中两个函数图象的交点坐标为(300,60)，请解释这个交点坐标的实际意义；
(4)当每月通话时间
超过300
min时，选择方式①比较优惠；当每月通话时间少于300
min时，选择方式②比较优惠。答案
解:(1)② 0.2
(2)$y=\dfrac{1}{10}x+30$
(3)通话300 min时,两种收费方式均收费60元。
(4)超过300 少于300
(2)$y=\dfrac{1}{10}x+30$
(3)通话300 min时,两种收费方式均收费60元。
(4)超过300 少于300
解析
【分析】
(1) 首先明确无月租费的含义：通话时间为0时收费为0，对应图象过原点，据此判断无月租的收费方式；再选取图象上已知的通话时间和对应费用，用总费用除以通话时间得到每分钟收费。
(2) 有月租费的收费方式对应一次函数图象，采用待定系数法求解：先设函数表达式为$y=kx+b$，再从图象中找到两个点的坐标代入，求解$k$和$b$的值即可得到解析式。
(3) 两个函数图象交点的横坐标表示通话时间，纵坐标表示收费，交点处两个函数的$y$值相等，即两种收费方式费用相同，结合坐标数值解释实际意义即可。
(4) 收费优惠即相同通话时间下费用更低，对应图象上函数位置更靠下，以交点横坐标为分界点，分别判断交点左右两侧哪个函数图象更靠下，即可得到对应的通话时间范围。
【解析】
(1) 无月租费时，通话时间为0时收费为0，对应图象②，因此无月租费的收费方式是②；
由图象可知，通话500min时，方式②收费100元，因此通话1min收费为$100÷500=0.2$元。
(2) 设有月租费的收费方式（方式①）的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知，函数过点$(0,30)$和$(500,80)$，
将$(0,30)$代入得：$b=30$，
将$b=30$和点$(500,80)$代入得：$80=500k+30$，
解得$k=\frac{1}{10}$，
因此函数表达式为$y=\frac{1}{10}x+30$。
(3) 交点坐标$(300,60)$的实际意义为：当通话时间为300min时，两种收费方式的费用相同，均为60元。
(4) 由图象可知，当通话时间超过300min时，方式①的图象在方式②下方，即方式①费用更低，更优惠；当通话时间少于300min时，方式②的图象在方式①下方，即方式②费用更低，更优惠。
【答案】
(1)②；0.2
(2)$y=\dfrac{1}{10}x+30$
(3)通话300 min时,两种收费方式均收费60元
(4)超过300；少于300
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数的图象性质
【点评】
本题结合通讯收费的实际场景考查一次函数的相关知识，解题的关键是读懂函数图象的横、纵坐标含义，结合一次函数的性质分析计费规则，能够很好地锻炼读图分析能力和运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确无月租费的含义：通话时间为0时收费为0，对应图象过原点，据此判断无月租的收费方式；再选取图象上已知的通话时间和对应费用，用总费用除以通话时间得到每分钟收费。
(2) 有月租费的收费方式对应一次函数图象，采用待定系数法求解：先设函数表达式为$y=kx+b$，再从图象中找到两个点的坐标代入，求解$k$和$b$的值即可得到解析式。
(3) 两个函数图象交点的横坐标表示通话时间，纵坐标表示收费，交点处两个函数的$y$值相等，即两种收费方式费用相同，结合坐标数值解释实际意义即可。
(4) 收费优惠即相同通话时间下费用更低，对应图象上函数位置更靠下，以交点横坐标为分界点，分别判断交点左右两侧哪个函数图象更靠下，即可得到对应的通话时间范围。
【解析】
(1) 无月租费时，通话时间为0时收费为0，对应图象②，因此无月租费的收费方式是②；
由图象可知，通话500min时，方式②收费100元，因此通话1min收费为$100÷500=0.2$元。
(2) 设有月租费的收费方式（方式①）的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知，函数过点$(0,30)$和$(500,80)$，
将$(0,30)$代入得：$b=30$，
将$b=30$和点$(500,80)$代入得：$80=500k+30$，
解得$k=\frac{1}{10}$，
因此函数表达式为$y=\frac{1}{10}x+30$。
(3) 交点坐标$(300,60)$的实际意义为：当通话时间为300min时，两种收费方式的费用相同，均为60元。
(4) 由图象可知，当通话时间超过300min时，方式①的图象在方式②下方，即方式①费用更低，更优惠；当通话时间少于300min时，方式②的图象在方式①下方，即方式②费用更低，更优惠。
【答案】
(1)②；0.2
(2)$y=\dfrac{1}{10}x+30$
(3)通话300 min时,两种收费方式均收费60元
(4)超过300；少于300
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数的图象性质
【点评】
本题结合通讯收费的实际场景考查一次函数的相关知识，解题的关键是读懂函数图象的横、纵坐标含义，结合一次函数的性质分析计费规则，能够很好地锻炼读图分析能力和运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
例2 已知甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同。春节期间，两家采摘园推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠。优惠期间，设某游客的草莓采摘量为$x$(单位：kg)，在甲园所需总费用为$y_甲$(单位：元)，在乙园所需总费用为$y_乙$(单位：元)，$y_甲$、$y_乙$与$x$之间的函数关系如图所示。
(1)甲采摘园的门票是元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克元；
(2)当$x＞10$时，求$y_乙$与$x$的函数表达式；
(3)游客在春节期间采摘多少千克草莓，甲、乙两家采摘园的总费用相同？
[点拨] 本题考查一次函数的应用，根据题意正确理解图象信息是解题的关键。
(1)根据“单价＝总价÷数量”即可解决问题。
(2)结合图象，利用待定系数法可求$y_乙$与$x$的函数表达式。
(3)根据图象可得$y_甲$的函数表达式，分别讨论$x＜10$和$x＞10$时$y_甲＝y_乙$，求出$x$的值即可。
[解] (1)由图象可知，甲采摘园的门票是60元。
在乙采摘园采摘10 kg草莓的费用为300元，且超过10 kg的部分打折，
所以优惠前的草莓单价是$300÷10＝30$(元/千克)。
(2)因为当$x＞10$时，在乙采摘园采摘25 kg草莓的费用为480元，超过10 kg部分的单价为$(480－300)÷(25－10)＝180÷15＝12$(元/千克)，
所以$y_乙＝300＋12(x－10)$。
所以当$x＞10$时，$y_乙＝12x＋180$。
(3)$y_甲＝30×0.6x＋60＝18x＋60$。
当$0＜x≤10$时，$y_乙＝30x$。
由$30x＝18x＋60$，解得$x＝5$；
当$x＞10$时，由$12x＋180＝18x＋60$，
解得$x＝20$。
所以采摘5 kg或20 kg草莓，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
(1)甲采摘园的门票是元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克元；
(2)当$x＞10$时，求$y_乙$与$x$的函数表达式；
(3)游客在春节期间采摘多少千克草莓，甲、乙两家采摘园的总费用相同？
[点拨] 本题考查一次函数的应用，根据题意正确理解图象信息是解题的关键。
(1)根据“单价＝总价÷数量”即可解决问题。
(2)结合图象，利用待定系数法可求$y_乙$与$x$的函数表达式。
(3)根据图象可得$y_甲$的函数表达式，分别讨论$x＜10$和$x＞10$时$y_甲＝y_乙$，求出$x$的值即可。
[解] (1)由图象可知，甲采摘园的门票是60元。
在乙采摘园采摘10 kg草莓的费用为300元，且超过10 kg的部分打折，
所以优惠前的草莓单价是$300÷10＝30$(元/千克)。
(2)因为当$x＞10$时，在乙采摘园采摘25 kg草莓的费用为480元，超过10 kg部分的单价为$(480－300)÷(25－10)＝180÷15＝12$(元/千克)，
所以$y_乙＝300＋12(x－10)$。
所以当$x＞10$时，$y_乙＝12x＋180$。
(3)$y_甲＝30×0.6x＋60＝18x＋60$。
当$0＜x≤10$时，$y_乙＝30x$。
由$30x＝18x＋60$，解得$x＝5$；
当$x＞10$时，由$12x＋180＝18x＋60$，
解得$x＝20$。
所以采摘5 kg或20 kg草莓，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
答案
解：
(1) 由图象可知，甲采摘园的门票是60元。
在乙采摘园采摘10 kg草莓的费用为300元，且超过10 kg的部分打折，
所以优惠前的草莓单价是 $300÷10=30$ 元/千克。
答案依次为：$\boldsymbol{60}$，$\boldsymbol{30}$。
(2) 当$x＞10$时，设$y_乙$与$x$的函数表达式为$y_乙=kx+b$（$k≠0$），
将$(10,300)$、$(25,480)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=300\\25k+b=480\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=12\\b=180\end{cases}$
所以当$x＞10$时，$y_乙$与$x$的函数表达式为 $y_乙=12x+180$。
(3) 由题意得$y_甲 = 30×0.6x + 60 = 18x + 60$。
当$0＜x≤10$时，$y_乙=30x$，
令$y_甲=y_乙$，即$30x=18x+60$，解得$x=5$，符合取值范围；
当$x＞10$时，令$y_甲=y_乙$，即$12x+180=18x+60$，解得$x=20$，符合取值范围。
答：游客在春节期间采摘5 kg或20 kg草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
(1) 由图象可知，甲采摘园的门票是60元。
在乙采摘园采摘10 kg草莓的费用为300元，且超过10 kg的部分打折，
所以优惠前的草莓单价是 $300÷10=30$ 元/千克。
答案依次为：$\boldsymbol{60}$，$\boldsymbol{30}$。
(2) 当$x＞10$时，设$y_乙$与$x$的函数表达式为$y_乙=kx+b$（$k≠0$），
将$(10,300)$、$(25,480)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=300\\25k+b=480\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=12\\b=180\end{cases}$
所以当$x＞10$时，$y_乙$与$x$的函数表达式为 $y_乙=12x+180$。
(3) 由题意得$y_甲 = 30×0.6x + 60 = 18x + 60$。
当$0＜x≤10$时，$y_乙=30x$，
令$y_甲=y_乙$，即$30x=18x+60$，解得$x=5$，符合取值范围；
当$x＞10$时，令$y_甲=y_乙$，即$12x+180=18x+60$，解得$x=20$，符合取值范围。
答：游客在春节期间采摘5 kg或20 kg草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
解析
【分析】
(1) 观察函数图像，甲园总费用在采摘量为0时的数值就是门票费用；乙园采摘10kg时总费用300元，此时还未到打折阶段，用总价除以数量即可求出优惠前的单价。
(2) 当x＞10时，y乙是一次函数，图像过点(10,300)和(25,480)，用待定系数法设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标得到二元一次方程组，求解即可得到对应函数式。
(3) 先根据甲园的优惠规则写出y甲的函数表达式，再分两种情况讨论：采摘量不超过10kg时，乙园按原价收费，列等式求解；采摘量超过10kg时，用第二问得到的y乙表达式列等式求解，注意验证解是否符合对应取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，x=0时y甲=60元，即甲采摘园的门票是60元。
乙采摘园采摘10kg草莓的费用为300元，此时未进入打折阶段，因此优惠前的草莓单价为$300÷10=30$（元/千克）。
(2) 当$x＞10$时，设$y_乙$与$x$的函数表达式为$y_乙=kx+b$（$k≠0$），
将点$(10,300)$、$(25,480)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=300\\25k+b=480\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=12\\b=180\end{cases}$
因此当$x＞10$时，$y_乙$与$x$的函数表达式为$y_乙=12x+180$。
(3) 甲园采摘的草莓打六折，优惠后单价为$30×0.6=18$元/千克，加60元门票，因此$y_甲=18x+60$。
分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，乙园无优惠，$y_乙=30x$，令$y_甲=y_乙$，得$30x=18x+60$，解得$x=5$，符合取值范围；
② 当$x＞10$时，令$y_甲=y_乙$，即$12x+180=18x+60$，解得$x=20$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$，$\boldsymbol{30}$
(2) $\boldsymbol{y_乙=12x+180(x＞10)}$
(3) 采摘$\boldsymbol{5\mathrm{kg}}$或$\boldsymbol{20\mathrm{kg}}$草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活实际场景，考查学生从函数图像提取信息、运用一次函数和方程解决实际问题的能力，解题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 观察函数图像，甲园总费用在采摘量为0时的数值就是门票费用；乙园采摘10kg时总费用300元，此时还未到打折阶段，用总价除以数量即可求出优惠前的单价。
(2) 当x＞10时，y乙是一次函数，图像过点(10,300)和(25,480)，用待定系数法设函数表达式为y=kx+b，代入两点坐标得到二元一次方程组，求解即可得到对应函数式。
(3) 先根据甲园的优惠规则写出y甲的函数表达式，再分两种情况讨论：采摘量不超过10kg时，乙园按原价收费，列等式求解；采摘量超过10kg时，用第二问得到的y乙表达式列等式求解，注意验证解是否符合对应取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，x=0时y甲=60元，即甲采摘园的门票是60元。
乙采摘园采摘10kg草莓的费用为300元，此时未进入打折阶段，因此优惠前的草莓单价为$300÷10=30$（元/千克）。
(2) 当$x＞10$时，设$y_乙$与$x$的函数表达式为$y_乙=kx+b$（$k≠0$），
将点$(10,300)$、$(25,480)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=300\\25k+b=480\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=12\\b=180\end{cases}$
因此当$x＞10$时，$y_乙$与$x$的函数表达式为$y_乙=12x+180$。
(3) 甲园采摘的草莓打六折，优惠后单价为$30×0.6=18$元/千克，加60元门票，因此$y_甲=18x+60$。
分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，乙园无优惠，$y_乙=30x$，令$y_甲=y_乙$，得$30x=18x+60$，解得$x=5$，符合取值范围；
② 当$x＞10$时，令$y_甲=y_乙$，即$12x+180=18x+60$，解得$x=20$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$，$\boldsymbol{30}$
(2) $\boldsymbol{y_乙=12x+180(x＞10)}$
(3) 采摘$\boldsymbol{5\mathrm{kg}}$或$\boldsymbol{20\mathrm{kg}}$草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活实际场景，考查学生从函数图像提取信息、运用一次函数和方程解决实际问题的能力，解题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
