3.已知函数$y=x^2 - 2x - 3$，若$-3≤ x≤ m$，求该函数的最值。

$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$.
当$m≤1$时,函数在$x=-3$处取得最大值$y_{\mathrm{max}}=(-3-1)^2-4=12$,在$x=m$处取得最小值$y_{\mathrm{min}}=m^2-2m-3$;
当$1＜m≤5$时,函数在$x=1$处取得最小值$y_{\mathrm{min}}=(1-1)^2-4=-4$,在$x=-3$处取得最大值$y_{\mathrm{max}}=(-3-1)^2-4=12$;
当$m＞5$时,函数在$x=1$处取得最小值$y_{\mathrm{min}}=-4$,在$x=m$处取得最大值$y_{\mathrm{max}}=m^2-2m-3$.

【分析】
解决这类二次函数在含参数区间的最值问题，首先将二次函数配方为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标；本题中二次函数开口向上，对称轴为x=1，区间左端点固定为x=-3，右端点m为变量，因此需结合对称轴与区间的位置关系分类讨论：①当区间在对称轴左侧（m≤1）时，函数在区间上单调递减，最值在区间端点处取得；②当区间包含对称轴时，最小值固定在顶点处，再根据“开口向上时离对称轴越远函数值越大”的规律，比较两个端点到对称轴的距离，进一步分1＜m≤5和m＞5两种情况讨论最大值的位置。
【解析】
先将函数配方为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
可知函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，先计算左端点$x=-3$处的函数值：$y=(-3-1)^2-4=12$。
分三种情况讨论：
1. 当$m≤1$时，区间$[-3,m]$在对称轴左侧，函数在区间上单调递减：
最大值在$x=-3$处取得，$y_{\mathrm{max}}=12$；最小值在$x=m$处取得，$y_{\mathrm{min}}=m^2-2m-3$。
2. 当$1＜m≤5$时，区间包含对称轴，且$x=-3$到对称轴的距离大于等于$x=m$到对称轴的距离：
最小值在顶点$x=1$处取得，$y_{\mathrm{min}}=-4$；最大值在$x=-3$处取得，$y_{\mathrm{max}}=12$。
3. 当$m＞5$时，区间包含对称轴，且$x=m$到对称轴的距离大于$x=-3$到对称轴的距离：
最小值在顶点$x=1$处取得，$y_{\mathrm{min}}=-4$；最大值在$x=m$处取得，$y_{\mathrm{max}}=m^2-2m-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$.
当$m≤1$时,函数在$x=-3$处取得最大值$y_{\mathrm{max}}=(-3-1)^2-4=12$,在$x=m$处取得最小值$y_{\mathrm{min}}=m^2-2m-3$;
当$1＜m≤5$时,函数在$x=1$处取得最小值$y_{\mathrm{min}}=(1-1)^2-4=-4$,在$x=-3$处取得最大值$y_{\mathrm{max}}=(-3-1)^2-4=12$;
当$m＞5$时,函数在$x=1$处取得最小值$y_{\mathrm{min}}=-4$,在$x=m$处取得最大值$y_{\mathrm{max}}=m^2-2m-3$.
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数动区间最值的典型题型，解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，需熟练掌握开口方向确定的二次函数“离对称轴越远，对应函数值绝对值越大”的规律，分类时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6

4. 阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若$1≤x≤m$，求二次函数$y=x^2 -6x +7$的最大值.他画图研究后发现，$x=1$和$x=5$时的函数值相等，于是他认为需要对$m$进行分类讨论.
他的解答过程如下：
∵二次函数$y=x^2 -6x +7$的对称轴为直线$x=3$，
由对称性可知，当$x=1$和$x=5$时的函数值相等，
∴若$1≤m＜5$，则当$x=1$时，$y$的最大值为2，
若$m≥5$，则当$x=m$时，$y$的最大值为$m^2 -6m +7$.

请你参考小明的思路，解答下列问题：
(1)当$-3≤x≤1$时，二次函数$y=x^2 +4x -5$的最大值为；
(2)若$p≤x≤2$，求二次函数$y=x^2 +4x -5$的最大值；
(3)若$t≤x≤t+1$时，二次函数$y=x^2 +4x -5$的最大值为10，则$t$的值为.

(1)0
(2)由对称性可知,当$x=-6$和$x=2$时函数值相等,
若$p≤-6$,则当$x=p$时,$y$的最大值为$p^2+4p-5$;
若$-6＜p≤2$,则当$x=2$时,$y$的最大值为7.
(3)$-2-\sqrt{19}$或$-3+\sqrt{19}$

【分析】
首先将二次函数配方得到其基本性质：$y=x^2+4x-5=(x+2)^2-9$，开口向上，对称轴为直线$x=-2$，开口向上的二次函数在区间上的最大值出现在离对称轴更远的区间端点处。
(1) 给定定区间$[-3,1]$，比较两个端点到对称轴的距离，确定最大值点后代入计算即可；
(2) 给定区间右端点为2，先找到$x=2$关于对称轴的对称点$x=-6$（两点函数值相等），再分类讨论左端点$p$和$-6$的大小关系，确定哪个端点离对称轴更远，进而求出最大值；
(3) 先解方程$x^2+4x-5=10$得到函数值为10时对应的两个$x$值，再根据最大值出现在区间$[t,t+1]$的端点，分两种情况求解$t$，验证符合条件即可。
【解析】
先整理二次函数：$y=x^2+4x-5=(x+2)^2-9$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
(1) 当$-3\le x\le1$时：
计算两端点到对称轴的距离：$|1-(-2)|=3$，$|-3-(-2)|=1$，$3＞1$，即$x=1$离对称轴更远，代入$x=1$得$y=1^2+4×1-5=0$。
(2) 求$x=2$关于对称轴$x=-2$的对称点：设对称点横坐标为$a$，则$\frac{a+2}{2}=-2$，解得$a=-6$，即$x=-6$和$x=2$时函数值相等，代入$x=2$得$y=2^2+4×2-5=7$。
分类讨论：
① 若$p\le-6$：左端点$p$到对称轴的距离大于等于右端点2到对称轴的距离，最大值在$x=p$处取得，为$p^2+4p-5$；
② 若$-6＜p\le2$：右端点2到对称轴的距离更远，最大值在$x=2$处取得，为7。
(3) 解方程$x^2+4x-5=10$，整理得$x^2+4x-15=0$，由求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4×15}}{2}=-2\pm\sqrt{19}$。
因函数开口向上，区间$[t,t+1]$的最大值在端点处取得，分两种情况：
① 最大值在左端点$x=t$处取得：$t=-2-\sqrt{19}$，验证得$t$到对称轴的距离大于$t+1$到对称轴的距离，符合条件；
② 最大值在右端点$x=t+1$处取得：$t+1=-2+\sqrt{19}$，解得$t=-3+\sqrt{19}$，验证得$t+1$到对称轴的距离大于$t$到对称轴的距离，符合条件。
【答案】
(1) $\boxed{0}$
(2) 若$p\le-6$，最大值为$\boxed{p^2+4p-5}$；若$-6＜p\le2$，最大值为$\boxed{7}$
(3) $\boxed{-2-\sqrt{19}}$或$\boxed{-3+\sqrt{19}}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用开口向上的二次函数“离对称轴越远函数值越大”的性质求解区间最值，解题时先确定对称轴，再通过对称点明确分类讨论的分界点，动区间最值问题要注意验证所求结果是否符合对应分类的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

5. 已知二次函数的表达式为$y=-x^2+2hx-h$，当$-1≤ x≤1$时，函数有最大值$n$，则$n$的最小值是.

$-\frac{1}{4}$

【分析】
本题是动轴定区间的二次函数最值问题，解题思路如下：第一步先确定二次函数的开口方向和对称轴，本题函数开口向下，对称轴为直线x=h；第二步根据对称轴与给定区间[-1,1]的位置关系分三类讨论：①对称轴在区间左侧（h＜-1），②对称轴在区间内（-1≤h≤1），③对称轴在区间右侧（h＞1）；第三步分别求出每类情形下函数最大值n的表达式；第四步分别求解各表达式的最小值，比较后得到n的最小值。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+2hx-h$，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2h}{2×(-1)}=h$
分三种情况讨论：
1. 当$h＜-1$时，区间$[-1,1]$在对称轴右侧，y随x的增大而减小，因此$x=-1$时取最大值：
$n=-(-1)^2+2h×(-1)-h=-1-3h$
因为$h＜-1$，所以$-3h＞3$，则$n=-1-3h＞2$；
2. 当$-1≤ h≤1$时，对称轴在区间内，函数在顶点$x=h$处取最大值：
$n=-h^2+2h· h-h=h^2-h$
该式是开口向上的关于h的二次函数，对称轴为$h=\frac{1}{2}\in[-1,1]$，因此当$h=\frac{1}{2}$时，n取得最小值：
$n_{\mathrm{min}}=(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$
3. 当$h＞1$时，区间$[-1,1]$在对称轴左侧，y随x的增大而增大，因此$x=1$时取最大值：
$n=-1^2+2h×1-h=h-1$
因为$h＞1$，所以$n=h-1＞0$。
对比三种情况的n的取值范围，可得n的最小值为$-\frac{1}{4}$。
【答案】
$-\frac{1}{4}$
【知识点】
二次函数图象与性质；分类讨论思想；二次函数最值求解
【点评】
本题重点考察动轴定区间的二次函数最值处理方法，需要学生熟练掌握二次函数单调性与对称轴、区间的关系，通过分类讨论拆解问题，同时需要具备对二次函数最值的二次求解能力，综合性较强。
【难度系数】
0.3

6.若二次函数$y=-x^2+mx$在$-2≤ x≤1$时的最大值为3,求实数$m$的值.

对称轴为直线$x=-\frac{m}{2×(-1)}=\frac{m}{2}$.
当$\frac{m}{2}≤-2$,即$m≤-4$时,当$x=-2$时,$y$取得最大值3,
$\therefore -(-2)^2+m×(-2)=3$,即$-4-2m=3$,解得$m=-\frac{7}{2}$,不合题意,舍去.
当$-2＜\frac{m}{2}＜1$,即$-4＜m＜2$时,函数在对称轴$x=\frac{m}{2}$处取得最大值3,
$\therefore -(\frac{m}{2})^2+m×\frac{m}{2}=3$,解得$m=-2\sqrt{3}$或$m=2\sqrt{3}$(舍去).
当$\frac{m}{2}≥1$,即$m≥2$时,当$x=1$时,$y$取得最大值3,
$\therefore -1^2+m×1=3$,解得$m=4$.
综上所述,实数$m$的值为$-2\sqrt{3}$或4.

【分析】
这是一道含参数的二次函数闭区间最值问题，解题思路如下：首先二次函数$y=-x^2+mx$的二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，函数最大值的位置由对称轴和给定区间$[-2,1]$的位置关系决定，需分三类讨论：①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内部；③对称轴在区间右侧。每种情况先确定取最大值时对应的$x$值，再代入最大值为3的条件列方程求解，最后检验解是否符合对应分类的$m$的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
先求二次函数的对称轴：直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m}{2×(-1)}=\frac{m}{2}$。
1. 当$\frac{m}{2}≤-2$，即$m≤-4$时：
区间$[-2,1]$在对称轴右侧，函数在区间内单调递减，$x=-2$时$y$取最大值3，代入得：
$-(-2)^2+m×(-2)=3$，即$-4-2m=3$，解得$m=-\frac{7}{2}$。
$\because -\frac{7}{2}=-3.5＞-4$，不符合$m≤-4$的前提，故舍去。
2. 当$-2＜\frac{m}{2}＜1$，即$-4＜m＜2$时：
对称轴在区间内部，开口向下的抛物线在对称轴处取最大值，$x=\frac{m}{2}$时$y=3$，代入得：
$-(\frac{m}{2})^2+m×\frac{m}{2}=3$，化简得$\frac{m^2}{4}=3$，$m^2=12$，解得$m=2\sqrt{3}$或$m=-2\sqrt{3}$。
$\because 2\sqrt{3}≈3.46＞2$，不符合$-4＜m＜2$的前提，故舍去$2\sqrt{3}$，保留$m=-2\sqrt{3}$。
3. 当$\frac{m}{2}≥1$，即$m≥2$时：
区间$[-2,1]$在对称轴左侧，函数在区间内单调递增，$x=1$时$y$取最大值3，代入得：
$-1^2+m×1=3$，解得$m=4$，符合$m≥2$的前提，保留。
【答案】
$m=-2\sqrt{3}$或$m=4$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系确定最值点，求解后要注意验证解是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.5