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1. AI智能家居已经悄悄融入我们的日常生活,人脸识别门锁就是AI智能家居产品中常见的一种。某商家销售一款人脸识别门锁(如图),每套进价为1 200元,调查发现,当销售价为1 600元时,平均每天能售出8套;当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4套。该商家要使这款人脸识别门锁平均每天的销售利润为5 000元,每套应降价多少元?
答案
设每套应降价 x 元,由题意,得(1 600 - x - 1 200)(8 + x/50 ×4) = 5 000。整理,得 x² - 300x + 22 500 = 0,解得 x₁ = x₂ = 150。因此,每套应降价 150 元
解析
【分析】
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售数量”这个等量关系。首先设降价金额为未知数x，再推导单件利润：原售价1600元，降价x元后单件售价为(1600-x)元，减去进价1200元即可得到单件利润；接着推导销售数量：原销量是8套，每降价50元多卖4套，降价x元里包含$\frac{x}{50}$个50元，多卖出的数量为$\frac{x}{50}×4$套，加上原销量8套就是总销量；最后将单件利润和总销量相乘等于目标总利润5000元，列方程求解即可。
【解析】
解：设每套应降价x元，由题意得：
$(1600 - x - 1200)(8 + \frac{x}{50}×4) = 5000$
化简整理方程：
$(400-x)(8+\frac{2x}{25})=5000$
$x^2 - 300x + 22500 = 0$
因式分解得$(x-150)^2=0$
解得$x_1=x_2=150$，经检验该结果符合实际销售情况。
【答案】
每套应降价150元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题关键是准确梳理单价、销量随降价金额变化的规律，找准总利润的等量关系列方程，求解后要注意验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售数量”这个等量关系。首先设降价金额为未知数x，再推导单件利润：原售价1600元，降价x元后单件售价为(1600-x)元，减去进价1200元即可得到单件利润；接着推导销售数量：原销量是8套，每降价50元多卖4套，降价x元里包含$\frac{x}{50}$个50元，多卖出的数量为$\frac{x}{50}×4$套，加上原销量8套就是总销量；最后将单件利润和总销量相乘等于目标总利润5000元，列方程求解即可。
【解析】
解：设每套应降价x元，由题意得：
$(1600 - x - 1200)(8 + \frac{x}{50}×4) = 5000$
化简整理方程：
$(400-x)(8+\frac{2x}{25})=5000$
$x^2 - 300x + 22500 = 0$
因式分解得$(x-150)^2=0$
解得$x_1=x_2=150$，经检验该结果符合实际销售情况。
【答案】
每套应降价150元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题关键是准确梳理单价、销量随降价金额变化的规律，找准总利润的等量关系列方程，求解后要注意验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
2.【探究】在一次聚会上,规定每两人见面必须握手,且只握手1次。
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手3次;若参加聚会的人数为5,则共握手
(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手
(3)若参加聚会的人共握手28次,求参加聚会的人数。
【拓展】小嘉给小琪出题:“若线段AB上共有m个点(含端点A,B),线段的总条数为30,求m的值。”小琪的思考:“在这个问题上,线段总条数不可能为30。”小琪的思考对吗?为什么?
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手3次;若参加聚会的人数为5,则共握手
10
次。(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手
n(n-1)/2
次。(3)若参加聚会的人共握手28次,求参加聚会的人数。
【拓展】小嘉给小琪出题:“若线段AB上共有m个点(含端点A,B),线段的总条数为30,求m的值。”小琪的思考:“在这个问题上,线段总条数不可能为30。”小琪的思考对吗?为什么?
答案
2. (1) 10
(2) n(n-1)/2
(3) 依题意,得n(n-1)/2 = 28。整理,得n² - n - 56 = 0。解得n₁=8,n₂=-7(舍去)。因此,参加聚会的人数为8
【拓展】小琪的思考是对的。理由如下:若线段总条数为30,则由题意,得m(m-1)/2 = 30。整理,得m² - m - 60 = 0。解得m₁ = (1 + √241)/2, m₂ = (1 - √241)/2。
∵m为正整数,
∴没有符合题意的解。
∴线段总条数不可能为30
(2) n(n-1)/2
(3) 依题意,得n(n-1)/2 = 28。整理,得n² - n - 56 = 0。解得n₁=8,n₂=-7(舍去)。因此,参加聚会的人数为8
【拓展】小琪的思考是对的。理由如下:若线段总条数为30,则由题意,得m(m-1)/2 = 30。整理,得m² - m - 60 = 0。解得m₁ = (1 + √241)/2, m₂ = (1 - √241)/2。
∵m为正整数,
∴没有符合题意的解。
∴线段总条数不可能为30
解析
【分析】
这道题是计数规律结合一元二次方程的应用类题目，解题核心是掌握“两两组合不重复”的计数逻辑：
1. 握手问题中，每个人会和其余所有人握手1次，但每一次握手会被重复计算2次，因此总握手次数=总人数×(总人数-1)÷2；
2. 前两问可直接套用上述规律计算数值、推导通用公式；
3. 第三问将总握手次数代入公式列一元二次方程，求解后根据“人数为正整数”的实际要求舍去不符合的根；
4. 拓展部分的线段计数和握手问题是同类型模型：两点确定1条线段，总线段数的计数规律和握手次数完全一致，代入数值列方程后判断解是否为正整数，即可验证小琪的说法是否正确。
【解析】
(1) 当参加聚会的人数为5时，去掉重复计算的部分，总握手次数为：$\frac{5×(5-1)}{2}=10$；
(2) 当参加聚会的人数为n时，同理可得总握手次数为$\frac{n(n-1)}{2}$；
(3) 已知总握手次数为28，代入计数公式列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=28$
整理得：$n^2 - n - 56 = 0$
因式分解得：$(n-8)(n+7)=0$
解得$n_1=8$，$n_2=-7$
∵人数为正整数，
∴舍去$n=-7$，即参加聚会的人数为8。
【拓展】
线段计数与握手问题为同个计数模型：m个点中任意两点确定1条线段，总线段数为$\frac{m(m-1)}{2}$。
若总线段数为30，列方程：
$\frac{m(m-1)}{2}=30$
整理得：$m^2 - m - 60 = 0$
由求根公式得：$m=\frac{1\pm\sqrt{1+240}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{241}}{2}$
∵m为正整数，$\sqrt{241}$不是整数，两个根均不符合要求，没有符合题意的解，因此线段总条数不可能为30，小琪的思考正确。
【答案】
(1) 10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
(3) 参加聚会的人数为8
【拓展】小琪的思考是对的，因为解得的m不是正整数，没有符合题意的解，所以线段总条数不可能为30
【知识点】
1. 握手计数模型
2. 一元二次方程解法
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题考查了同类型计数规律的迁移应用，解题关键是总结出“两两不重复组合”的通用计数公式，列方程求解后要注意结合实际意义检验根的合理性，是方程应用的典型考法，能有效锻炼学生的规律总结和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
这道题是计数规律结合一元二次方程的应用类题目，解题核心是掌握“两两组合不重复”的计数逻辑：
1. 握手问题中，每个人会和其余所有人握手1次，但每一次握手会被重复计算2次，因此总握手次数=总人数×(总人数-1)÷2；
2. 前两问可直接套用上述规律计算数值、推导通用公式；
3. 第三问将总握手次数代入公式列一元二次方程，求解后根据“人数为正整数”的实际要求舍去不符合的根；
4. 拓展部分的线段计数和握手问题是同类型模型：两点确定1条线段，总线段数的计数规律和握手次数完全一致，代入数值列方程后判断解是否为正整数，即可验证小琪的说法是否正确。
【解析】
(1) 当参加聚会的人数为5时，去掉重复计算的部分，总握手次数为：$\frac{5×(5-1)}{2}=10$；
(2) 当参加聚会的人数为n时，同理可得总握手次数为$\frac{n(n-1)}{2}$；
(3) 已知总握手次数为28，代入计数公式列方程：
$\frac{n(n-1)}{2}=28$
整理得：$n^2 - n - 56 = 0$
因式分解得：$(n-8)(n+7)=0$
解得$n_1=8$，$n_2=-7$
∵人数为正整数，
∴舍去$n=-7$，即参加聚会的人数为8。
【拓展】
线段计数与握手问题为同个计数模型：m个点中任意两点确定1条线段，总线段数为$\frac{m(m-1)}{2}$。
若总线段数为30，列方程：
$\frac{m(m-1)}{2}=30$
整理得：$m^2 - m - 60 = 0$
由求根公式得：$m=\frac{1\pm\sqrt{1+240}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{241}}{2}$
∵m为正整数，$\sqrt{241}$不是整数，两个根均不符合要求，没有符合题意的解，因此线段总条数不可能为30，小琪的思考正确。
【答案】
(1) 10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
(3) 参加聚会的人数为8
【拓展】小琪的思考是对的，因为解得的m不是正整数，没有符合题意的解，所以线段总条数不可能为30
【知识点】
1. 握手计数模型
2. 一元二次方程解法
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题考查了同类型计数规律的迁移应用，解题关键是总结出“两两不重复组合”的通用计数公式，列方程求解后要注意结合实际意义检验根的合理性，是方程应用的典型考法，能有效锻炼学生的规律总结和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
