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多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
每一项
，再把所得的积相加
。答案
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的基本运算法则，属于概念识记类题目。解题时首先回忆多项式乘多项式的运算推导逻辑：其本质是乘法分配律的应用，先将其中一个多项式的每一项作为单独的项，分别与另一个多项式的所有项相乘，再将得到的所有乘积合并，即可完成运算，对应法则内容直接填写空缺即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。因此第一个空缺处填“每一项”，第二个空缺处填“相加”。
【答案】
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
多项式乘多项式运算法则
【点评】
本题是基础概念考察题，侧重对基础运算规则的记忆掌握，熟练掌握该法则是后续开展复杂整式运算、化简求值等题型的前提，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式乘多项式的基本运算法则，属于概念识记类题目。解题时首先回忆多项式乘多项式的运算推导逻辑：其本质是乘法分配律的应用，先将其中一个多项式的每一项作为单独的项，分别与另一个多项式的所有项相乘，再将得到的所有乘积合并，即可完成运算，对应法则内容直接填写空缺即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。因此第一个空缺处填“每一项”，第二个空缺处填“相加”。
【答案】
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
多项式乘多项式运算法则
【点评】
本题是基础概念考察题，侧重对基础运算规则的记忆掌握，熟练掌握该法则是后续开展复杂整式运算、化简求值等题型的前提，难度较低。
【难度系数】
0.9
典例 计算：
(1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$；
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$；
(3)$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$。
温馨提示 (1)多项式与多项式相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
典例解析
(1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$；
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$；
(3)$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$。
温馨提示 (1)多项式与多项式相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
典例解析
答案
解：
(1) 原式 = $2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1$
$= 8x^3 + 4x^2 + 2x + 4x^2 + 2x + 1$
$= 8x^3 + 8x^2 + 4x + 1$
(2) 原式 = $3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2$
$= 27 - 18y + 12y^2 + 18y - 12y^2 + 8y^3$
$= 8y^3 + 27$
(3) 原式 = $5x·25x^2 + 5x·\frac{5}{2}xy + 5x·\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2}y·25x^2 - \frac{1}{2}y·\frac{5}{2}xy - \frac{1}{2}y·\frac{1}{4}y^2$
$= 125x^3 + \frac{25}{2}x^2y + \frac{5}{4}xy^2 - \frac{25}{2}x^2y - \frac{5}{4}xy^2 - \frac{1}{8}y^3$
$= 125x^3 - \frac{1}{8}y^3$
(1) 原式 = $2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1$
$= 8x^3 + 4x^2 + 2x + 4x^2 + 2x + 1$
$= 8x^3 + 8x^2 + 4x + 1$
(2) 原式 = $3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2$
$= 27 - 18y + 12y^2 + 18y - 12y^2 + 8y^3$
$= 8y^3 + 27$
(3) 原式 = $5x·25x^2 + 5x·\frac{5}{2}xy + 5x·\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2}y·25x^2 - \frac{1}{2}y·\frac{5}{2}xy - \frac{1}{2}y·\frac{1}{4}y^2$
$= 125x^3 + \frac{25}{2}x^2y + \frac{5}{4}xy^2 - \frac{25}{2}x^2y - \frac{5}{4}xy^2 - \frac{1}{8}y^3$
$= 125x^3 - \frac{1}{8}y^3$
解析
【分析】
这三道题都是多项式乘多项式的基础运算题，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，相乘时要带上每一项前面的符号，做到不重复、不遗漏；再把所有乘得的积相加，最后合并同类项即可得到最终结果。运算时也可观察式子结构，若符合特殊乘法公式特征可辅助验证结果，但优先按基本法则逐步计算避免出错。
【解析】
(1) 原式 = $2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1$
$= 8x^3 + 4x^2 + 2x + 4x^2 + 2x + 1$
$= 8x^3 + 8x^2 + 4x + 1$
(2) 原式 = $3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2$
$= 27 - 18y + 12y^2 + 18y - 12y^2 + 8y^3$
$= 8y^3 + 27$
(3) 原式 = $5x·25x^2 + 5x·\frac{5}{2}xy + 5x·\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2}y·25x^2 - \frac{1}{2}y·\frac{5}{2}xy - \frac{1}{2}y·\frac{1}{4}y^2$
$= 125x^3 + \frac{25}{2}x^2y + \frac{5}{4}xy^2 - \frac{25}{2}x^2y - \frac{5}{4}xy^2 - \frac{1}{8}y^3$
$= 125x^3 - \frac{1}{8}y^3$
【答案】
(1)$8x^3 + 8x^2 + 4x + 1$；(2)$8y^3 + 27$；(3)$125x^3 - \dfrac{1}{8}y^3$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察多项式乘多项式的运算规则，运算时要注意按顺序相乘避免漏乘，同时要留意每一项的符号，防止符号错误。熟练掌握运算规则后，可记忆特殊乘法公式进一步提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.85
这三道题都是多项式乘多项式的基础运算题，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，相乘时要带上每一项前面的符号，做到不重复、不遗漏；再把所有乘得的积相加，最后合并同类项即可得到最终结果。运算时也可观察式子结构，若符合特殊乘法公式特征可辅助验证结果，但优先按基本法则逐步计算避免出错。
【解析】
(1) 原式 = $2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1$
$= 8x^3 + 4x^2 + 2x + 4x^2 + 2x + 1$
$= 8x^3 + 8x^2 + 4x + 1$
(2) 原式 = $3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2$
$= 27 - 18y + 12y^2 + 18y - 12y^2 + 8y^3$
$= 8y^3 + 27$
(3) 原式 = $5x·25x^2 + 5x·\frac{5}{2}xy + 5x·\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2}y·25x^2 - \frac{1}{2}y·\frac{5}{2}xy - \frac{1}{2}y·\frac{1}{4}y^2$
$= 125x^3 + \frac{25}{2}x^2y + \frac{5}{4}xy^2 - \frac{25}{2}x^2y - \frac{5}{4}xy^2 - \frac{1}{8}y^3$
$= 125x^3 - \frac{1}{8}y^3$
【答案】
(1)$8x^3 + 8x^2 + 4x + 1$；(2)$8y^3 + 27$；(3)$125x^3 - \dfrac{1}{8}y^3$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察多项式乘多项式的运算规则，运算时要注意按顺序相乘避免漏乘，同时要留意每一项的符号，防止符号错误。熟练掌握运算规则后，可记忆特殊乘法公式进一步提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.85
典例
解 (1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
(2)多项式与多项式相乘,结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
举一反三 计算:
(1)$(x-1)(x^2+x+1);$
(2)$(x+3)(x-2)-x(x-1).$
(3)$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\dfrac{25}{2}x^2y+\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{25}{2}x^2y-\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\dfrac{1}{8}y^3.$
解 (1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
(2)多项式与多项式相乘,结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
举一反三 计算:
(1)$(x-1)(x^2+x+1);$
(2)$(x+3)(x-2)-x(x-1).$
(3)$(5x-\dfrac{1}{2}y)(25x^2+\dfrac{5}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\dfrac{25}{2}x^2y+\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{25}{2}x^2y-\dfrac{5}{4}xy^2-\dfrac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\dfrac{1}{8}y^3.$
答案
【举一反三】解 (1)原式$=x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1.$
(2)原式$=x^2-2x+3x-6-x^2+x=2x-6.$
(2)原式$=x^2-2x+3x-6-x^2+x=2x-6.$
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式相关运算，解题思路如下：1. 明确运算顺序：仅含多项式乘法时直接用对应法则计算，同时包含乘法和减法时，先算乘法再算减法；2. 计算多项式乘法时，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，注意不要漏乘，同时要准确判断每一项的符号；3. 展开所有项后，识别同类项并按规则合并，得到最简结果。
【解析】
(1) 按照多项式乘多项式法则展开计算：
原式$=x· x^2 + x· x + x· 1 - 1· x^2 - 1· x - 1· 1$
$=x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1$
合并同类项后得：$x^3 - 1$
(2) 先分别计算乘法部分，再计算减法：
① 计算$(x+3)(x-2)$：
$=x· x + x· (-2) + 3· x + 3· (-2)$
$=x^2 - 2x + 3x - 6$
$=x^2 + x - 6$
② 计算$x(x-1)$：
$=x· x - x· 1 = x^2 - x$
③ 代入原式去括号并合并同类项：
原式$=(x^2 + x - 6) - (x^2 - x)$
$=x^2 + x - 6 - x^2 + x$
$=2x - 6$
【答案】
(1) $x^3-1$；(2) $2x-6$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题核心是严格遵循多项式乘法运算规则，运算过程中要注意不要漏乘项，去括号时注意符号变化，合并同类项要准确，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式乘多项式相关运算，解题思路如下：1. 明确运算顺序：仅含多项式乘法时直接用对应法则计算，同时包含乘法和减法时，先算乘法再算减法；2. 计算多项式乘法时，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，注意不要漏乘，同时要准确判断每一项的符号；3. 展开所有项后，识别同类项并按规则合并，得到最简结果。
【解析】
(1) 按照多项式乘多项式法则展开计算：
原式$=x· x^2 + x· x + x· 1 - 1· x^2 - 1· x - 1· 1$
$=x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1$
合并同类项后得：$x^3 - 1$
(2) 先分别计算乘法部分，再计算减法：
① 计算$(x+3)(x-2)$：
$=x· x + x· (-2) + 3· x + 3· (-2)$
$=x^2 - 2x + 3x - 6$
$=x^2 + x - 6$
② 计算$x(x-1)$：
$=x· x - x· 1 = x^2 - x$
③ 代入原式去括号并合并同类项：
原式$=(x^2 + x - 6) - (x^2 - x)$
$=x^2 + x - 6 - x^2 + x$
$=2x - 6$
【答案】
(1) $x^3-1$；(2) $2x-6$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题核心是严格遵循多项式乘法运算规则，运算过程中要注意不要漏乘项，去括号时注意符号变化，合并同类项要准确，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
