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9.如图，$∠ AOC=90°$，$∠ BOC=90°$，$∠1=∠2$，则图中互为余角的角共有（
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
C
）A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
9.C
解析
【分析】
要找出图中互为余角的角，首先明确余角的定义：两个角的和等于90°，则这两个角互为余角。首先结合已知∠AOC=90°、∠BOC=90°，先找出直接相加等于90°的角对，再根据∠1=∠2的条件，利用等角的余角相等，找出剩余的互余角对，注意不要漏数也不要重复计数。
【解析】
设左侧射线与AO的夹角为∠3，右侧射线与OC的夹角为∠4：
1. 因为∠AOC=90°，所以$∠ 2 + ∠ 3 = 90°$，即∠2和∠3互为余角，是第1对；
2. 因为∠BOC=90°，所以$∠ 1 + ∠ 4 = 90°$，即∠1和∠4互为余角，是第2对；
3. 已知∠1=∠2，结合$∠ 2 + ∠ 3=90°$，可得$∠ 1 + ∠ 3=90°$，即∠1和∠3互为余角，是第3对；
4. 已知∠1=∠2，结合$∠ 1 + ∠ 4=90°$，可得$∠ 2 + ∠ 4=90°$，即∠2和∠4互为余角，是第4对。
综上，共有4对互为余角的角。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；直角的性质；等角的余角相等
【点评】
本题考查余角的识别，解题的关键是熟记余角的定义，结合已知条件按顺序找全互余的角对，避免漏数或者多数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要找出图中互为余角的角，首先明确余角的定义：两个角的和等于90°，则这两个角互为余角。首先结合已知∠AOC=90°、∠BOC=90°，先找出直接相加等于90°的角对，再根据∠1=∠2的条件，利用等角的余角相等，找出剩余的互余角对，注意不要漏数也不要重复计数。
【解析】
设左侧射线与AO的夹角为∠3，右侧射线与OC的夹角为∠4：
1. 因为∠AOC=90°，所以$∠ 2 + ∠ 3 = 90°$，即∠2和∠3互为余角，是第1对；
2. 因为∠BOC=90°，所以$∠ 1 + ∠ 4 = 90°$，即∠1和∠4互为余角，是第2对；
3. 已知∠1=∠2，结合$∠ 2 + ∠ 3=90°$，可得$∠ 1 + ∠ 3=90°$，即∠1和∠3互为余角，是第3对；
4. 已知∠1=∠2，结合$∠ 1 + ∠ 4=90°$，可得$∠ 2 + ∠ 4=90°$，即∠2和∠4互为余角，是第4对。
综上，共有4对互为余角的角。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；直角的性质；等角的余角相等
【点评】
本题考查余角的识别，解题的关键是熟记余角的定义，结合已知条件按顺序找全互余的角对，避免漏数或者多数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,已知O是直线AB上的一点,∠AOE = ∠FOD = 90°, OB平分∠DOC,则图中与∠DOE互余的角有
3
个,与∠DOE互补的角有2
个。答案
10.3 2
解析
【分析】
要解决本题，首先明确互余是指两个角的和为90°，互补是指两个角的和为180°。先利用直角、平角的性质得到相等的角，再结合角平分线的性质，逐一排查和∠DOE满足和为90°、180°的角即可。
【解析】
一、找与∠DOE互余的角
1. 已知∠AOE=90°，AB为直线，因此∠EOB=180°-∠AOE=90°，可得∠DOE + ∠DOB = 90°，即∠DOB是∠DOE的余角。
2. 已知∠FOD=90°，可得∠DOE + ∠EOF = 90°，即∠EOF是∠DOE的余角。
3. 因为OB平分∠DOC，所以∠DOB=∠BOC，代入∠DOE + ∠DOB = 90°，可得∠DOE + ∠BOC = 90°，即∠BOC是∠DOE的余角。
综上，与∠DOE互余的角共3个。
二、找与∠DOE互补的角
1. 由∠AOE=∠FOD=90°，可得∠AOF + ∠EOF = 90°，∠DOE + ∠EOF = 90°，根据同角的余角相等，得∠AOF=∠DOE。又因为∠AOF + ∠FOB=180°，所以∠DOE + ∠FOB=180°，即∠FOB是∠DOE的补角。
2. 计算∠EOC + ∠DOE：∠EOC=∠EOB + ∠BOC=90°+∠DOB，∠DOE=90°-∠DOB，因此∠EOC + ∠DOE=90°+∠DOB+90°-∠DOB=180°，即∠EOC是∠DOE的补角。
综上，与∠DOE互补的角共2个。
【答案】3；2
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题属于角的基础运算题，解题核心是熟练掌握余角、补角的定义，结合已知的直角和角平分线条件推导角的等量关系，排查时注意不要漏算符合要求的角。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确互余是指两个角的和为90°，互补是指两个角的和为180°。先利用直角、平角的性质得到相等的角，再结合角平分线的性质，逐一排查和∠DOE满足和为90°、180°的角即可。
【解析】
一、找与∠DOE互余的角
1. 已知∠AOE=90°，AB为直线，因此∠EOB=180°-∠AOE=90°，可得∠DOE + ∠DOB = 90°，即∠DOB是∠DOE的余角。
2. 已知∠FOD=90°，可得∠DOE + ∠EOF = 90°，即∠EOF是∠DOE的余角。
3. 因为OB平分∠DOC，所以∠DOB=∠BOC，代入∠DOE + ∠DOB = 90°，可得∠DOE + ∠BOC = 90°，即∠BOC是∠DOE的余角。
综上，与∠DOE互余的角共3个。
二、找与∠DOE互补的角
1. 由∠AOE=∠FOD=90°，可得∠AOF + ∠EOF = 90°，∠DOE + ∠EOF = 90°，根据同角的余角相等，得∠AOF=∠DOE。又因为∠AOF + ∠FOB=180°，所以∠DOE + ∠FOB=180°，即∠FOB是∠DOE的补角。
2. 计算∠EOC + ∠DOE：∠EOC=∠EOB + ∠BOC=90°+∠DOB，∠DOE=90°-∠DOB，因此∠EOC + ∠DOE=90°+∠DOB+90°-∠DOB=180°，即∠EOC是∠DOE的补角。
综上，与∠DOE互补的角共2个。
【答案】3；2
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题属于角的基础运算题，解题核心是熟练掌握余角、补角的定义，结合已知的直角和角平分线条件推导角的等量关系，排查时注意不要漏算符合要求的角。
【难度系数】
0.7
11.如图，O是直线AC上一点，OC平分∠BOD，∠AOB = 160°，∠AOE = ∠COE=90°，求∠DOE的度数。
答案
11.$70°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知O是直线AC上一点，可得∠AOC是平角，度数为180°，结合已知∠AOB的度数，就能算出∠BOC的度数；接下来根据角平分线的定义，OC平分∠BOD，可推出∠COD和∠BOC度数相等；最后已知∠COE是90°，用∠COE减去∠COD的度数，即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵ O是直线AC上一点（已知）
∴ ∠AOC = 180°（平角的定义），即∠AOB + ∠BOC = 180°
已知∠AOB = 160°
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 160° = 20°
∵ OC平分∠BOD（已知）
∴ ∠COD = ∠BOC = 20°（角平分线的定义）
又
∵ ∠COE = 90°（已知）
∴ ∠DOE = ∠COE - ∠COD = 90° - 20° = 70°
【答案】
$70°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，核心是梳理清楚图中各角的位置关系和数量关系，结合平角、角平分线的性质逐步推导即可，解题时要注意步骤规范，不要跳步。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据已知O是直线AC上一点，可得∠AOC是平角，度数为180°，结合已知∠AOB的度数，就能算出∠BOC的度数；接下来根据角平分线的定义，OC平分∠BOD，可推出∠COD和∠BOC度数相等；最后已知∠COE是90°，用∠COE减去∠COD的度数，即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵ O是直线AC上一点（已知）
∴ ∠AOC = 180°（平角的定义），即∠AOB + ∠BOC = 180°
已知∠AOB = 160°
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 160° = 20°
∵ OC平分∠BOD（已知）
∴ ∠COD = ∠BOC = 20°（角平分线的定义）
又
∵ ∠COE = 90°（已知）
∴ ∠DOE = ∠COE - ∠COD = 90° - 20° = 70°
【答案】
$70°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，核心是梳理清楚图中各角的位置关系和数量关系，结合平角、角平分线的性质逐步推导即可，解题时要注意步骤规范，不要跳步。
【难度系数】
0.8
12. 如图，$0° ＜ ∠ AOB ＜ 180°$，OC，OD，OE，OF均在$∠ AOB$内部，$∠ AOC = ∠ BOD = ∠ EOF$，$∠ COE = ∠ DOF$，$∠ COD = 2∠ EOF$。
（1）若$∠ COE = 20°$，求$∠ EOF$的度数。
（2）若$∠ EOF$与$∠ COD$互余，找出图中所有互补的角，并说明理由。
（1）若$∠ COE = 20°$，求$∠ EOF$的度数。
（2）若$∠ EOF$与$∠ COD$互余，找出图中所有互补的角，并说明理由。
答案
12.(1)$40°$。
(2)互补的角为$∠AOB$与$∠COD$，$∠COB$与$∠AOD$，理由略。
(2)互补的角为$∠AOB$与$∠COD$，$∠COB$与$∠AOD$，理由略。
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：先根据已知的∠COE=∠DOF得到∠DOF的度数，再结合∠COD的构成（∠COE+∠EOF+∠DOF）和∠COD=2∠EOF的等量关系，建立关于∠EOF的等式即可求解。
（2）第二问解题思路：首先根据互余的定义（两角和为90°），结合∠COD=2∠EOF求出∠EOF和∠COD的度数，再利用∠AOC=∠BOD=∠EOF的条件计算出其余相关角的度数，最后根据互补的定义（两角和为180°）找出所有互补的角。
【解析】
（1）已知∠COE=20°，且∠COE=∠DOF，因此∠DOF=20°。
根据角的和差关系可得：$∠ COD = ∠ COE + ∠ EOF + ∠ DOF$
又因为$∠ COD=2∠ EOF$，代入得：
$2∠ EOF = 20° + ∠ EOF + 20°$
移项计算得$∠ EOF=40°$。
（2）互补的角为$∠ AOB$与$∠ COD$，$∠ COB$与$∠ AOD$，理由如下：
因为$∠ EOF$与$∠ COD$互余，所以$∠ EOF + ∠ COD=90°$。
又因为$∠ COD=2∠ EOF$，代入得$∠ EOF+2∠ EOF=90°$，解得$∠ EOF=30°$，$∠ COD=60°$。
由题意得$∠ AOC=∠ BOD=∠ EOF=30°$，因此：
$∠ AOB=∠ AOC+∠ COD+∠ BOD=30°+60°+30°=120°$，$120°+60°=180°$，故$∠ AOB$与$∠ COD$互补。
$∠ COB=∠ COD+∠ BOD=60°+30°=90°$，$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=30°+60°=90°$，$90°+90°=180°$，故$∠ COB$与$∠ AOD$互补。
【答案】
（1）$\boldsymbol{40°}$
（2）$\boldsymbol{∠AOB}$与$\boldsymbol{∠COD}$互补，$\boldsymbol{∠COB}$与$\boldsymbol{∠AOD}$互补
【知识点】
余角和补角，角的和差计算，等量代换
【点评】
本题重点考查角的基础运算和余角、补角的概念，解题的核心是梳理清楚图中各角的数量关系，结合已知条件逐步推导，能够有效锻炼对基础概念的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问解题思路：先根据已知的∠COE=∠DOF得到∠DOF的度数，再结合∠COD的构成（∠COE+∠EOF+∠DOF）和∠COD=2∠EOF的等量关系，建立关于∠EOF的等式即可求解。
（2）第二问解题思路：首先根据互余的定义（两角和为90°），结合∠COD=2∠EOF求出∠EOF和∠COD的度数，再利用∠AOC=∠BOD=∠EOF的条件计算出其余相关角的度数，最后根据互补的定义（两角和为180°）找出所有互补的角。
【解析】
（1）已知∠COE=20°，且∠COE=∠DOF，因此∠DOF=20°。
根据角的和差关系可得：$∠ COD = ∠ COE + ∠ EOF + ∠ DOF$
又因为$∠ COD=2∠ EOF$，代入得：
$2∠ EOF = 20° + ∠ EOF + 20°$
移项计算得$∠ EOF=40°$。
（2）互补的角为$∠ AOB$与$∠ COD$，$∠ COB$与$∠ AOD$，理由如下：
因为$∠ EOF$与$∠ COD$互余，所以$∠ EOF + ∠ COD=90°$。
又因为$∠ COD=2∠ EOF$，代入得$∠ EOF+2∠ EOF=90°$，解得$∠ EOF=30°$，$∠ COD=60°$。
由题意得$∠ AOC=∠ BOD=∠ EOF=30°$，因此：
$∠ AOB=∠ AOC+∠ COD+∠ BOD=30°+60°+30°=120°$，$120°+60°=180°$，故$∠ AOB$与$∠ COD$互补。
$∠ COB=∠ COD+∠ BOD=60°+30°=90°$，$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=30°+60°=90°$，$90°+90°=180°$，故$∠ COB$与$∠ AOD$互补。
【答案】
（1）$\boldsymbol{40°}$
（2）$\boldsymbol{∠AOB}$与$\boldsymbol{∠COD}$互补，$\boldsymbol{∠COB}$与$\boldsymbol{∠AOD}$互补
【知识点】
余角和补角，角的和差计算，等量代换
【点评】
本题重点考查角的基础运算和余角、补角的概念，解题的核心是梳理清楚图中各角的数量关系，结合已知条件逐步推导，能够有效锻炼对基础概念的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
