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7.若在等式$3a + 5 = 2a + 6$的两边同时减去一个多项式可以得到等式$a = 1$，则这个多项式为
$2a+5$
。答案
7.$2a+5$
解析
【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立。我们可以设要求的多项式为x，根据题意，原等式两边同时减x后得到a=1，因此可以通过左边原表达式减x等于a，求解出x，再代入右边验证是否符合结果即可；也可以直接观察原等式左右两边的项，思考左边3a+5变成a需要减去的部分，同时验证右边减去相同部分后是否等于1。
【解析】
设这个多项式为$x$，根据等式的基本性质1，原等式两边同时减去$x$后等式仍然成立，且得到的等式为$a=1$。
从等式左边看：$3a + 5 - x = a$
移项计算得：$x = 3a + 5 - a = 2a + 5$
代入右边验证：原等式右边减去$x$为$2a + 6 - (2a + 5) = 2a + 6 - 2a - 5 = 1$，刚好符合等式右边的结果，因此这个多项式是$2a+5$。
【答案】
$2a+5$
【知识点】
等式的基本性质，整式的加减
【点评】
本题核心考查等式基本性质的灵活应用，既可以通过设未知数列式求解，也可以通过观察等式两边项的特征直接推导，解题时注意验证结果，避免漏项出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等式的基本性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立。我们可以设要求的多项式为x，根据题意，原等式两边同时减x后得到a=1，因此可以通过左边原表达式减x等于a，求解出x，再代入右边验证是否符合结果即可；也可以直接观察原等式左右两边的项，思考左边3a+5变成a需要减去的部分，同时验证右边减去相同部分后是否等于1。
【解析】
设这个多项式为$x$，根据等式的基本性质1，原等式两边同时减去$x$后等式仍然成立，且得到的等式为$a=1$。
从等式左边看：$3a + 5 - x = a$
移项计算得：$x = 3a + 5 - a = 2a + 5$
代入右边验证：原等式右边减去$x$为$2a + 6 - (2a + 5) = 2a + 6 - 2a - 5 = 1$，刚好符合等式右边的结果，因此这个多项式是$2a+5$。
【答案】
$2a+5$
【知识点】
等式的基本性质，整式的加减
【点评】
本题核心考查等式基本性质的灵活应用，既可以通过设未知数列式求解，也可以通过观察等式两边项的特征直接推导，解题时注意验证结果，避免漏项出错。
【难度系数】
0.8
8. 利用等式的性质解下列方程：
(1)$2x=x-20$。
(2)$4x=12$。
(3)$-3x=18$。
(4)$\frac{3}{4}x=2-\frac{1}{4}x$。
(1)$2x=x-20$。
(2)$4x=12$。
(3)$-3x=18$。
(4)$\frac{3}{4}x=2-\frac{1}{4}x$。
答案
8.(1)$x=-20$。
(2)$x=3$。
(3)$x=-6$。
(4)$x=2$。
(2)$x=3$。
(3)$x=-6$。
(4)$x=2$。
解析
【分析】
本题考查利用等式的基本性质解一元一次方程，解题思路如下：首先明确等式的两条核心性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先通过等式性质1把含未知数的项整理到等式同侧、常数项整理到另一侧，再通过等式性质2将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2x=x-20$：
根据等式性质1，两边同时减去$x$，得
$2x - x = x - 20 - x$
化简得：$x=-20$
(2) 解方程$4x=12$：
根据等式性质2，两边同时除以4，得
$4x÷4 = 12÷4$
化简得：$x=3$
(3) 解方程$-3x=18$：
根据等式性质2，两边同时除以$-3$，得
$(-3x)÷(-3) = 18÷(-3)$
化简得：$x=-6$
(4) 解方程$\frac{3}{4}x=2-\frac{1}{4}x$：
根据等式性质1，两边同时加上$\frac{1}{4}x$，得
$\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}x = 2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}x$
化简得：$x=2$
【答案】
(1)$x=-20$；(2)$x=3$；(3)$x=-6$；(4)$x=2$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查对等式基本性质的理解和应用，解题时要注意等式两边必须进行完全相同的运算，除以负数时要格外注意符号变化，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查利用等式的基本性质解一元一次方程，解题思路如下：首先明确等式的两条核心性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先通过等式性质1把含未知数的项整理到等式同侧、常数项整理到另一侧，再通过等式性质2将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2x=x-20$：
根据等式性质1，两边同时减去$x$，得
$2x - x = x - 20 - x$
化简得：$x=-20$
(2) 解方程$4x=12$：
根据等式性质2，两边同时除以4，得
$4x÷4 = 12÷4$
化简得：$x=3$
(3) 解方程$-3x=18$：
根据等式性质2，两边同时除以$-3$，得
$(-3x)÷(-3) = 18÷(-3)$
化简得：$x=-6$
(4) 解方程$\frac{3}{4}x=2-\frac{1}{4}x$：
根据等式性质1，两边同时加上$\frac{1}{4}x$，得
$\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}x = 2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}x$
化简得：$x=2$
【答案】
(1)$x=-20$；(2)$x=3$；(3)$x=-6$；(4)$x=2$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查对等式基本性质的理解和应用，解题时要注意等式两边必须进行完全相同的运算，除以负数时要格外注意符号变化，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
9.如图,下列四个天平中,相同形状的物体质量相等,图①的天平是平衡的,根据以上信息,图②③④的三个天平中,仍然平衡的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先从已知平衡的图①入手，利用等式的基本性质推导出方块和球的质量等量关系，再将该关系分别代入图②、图③、图④中，通过等量代换分别计算三个天平左右两边的质量是否相等，即可判断出平衡的天平个数。
【解析】
设每个方块的质量为$a$，每个球的质量为$b$。
1. 推导等量关系：
由图①天平平衡可得：$3a + b = 7b$
根据等式的基本性质，两边同时减去$b$得：$3a = 6b$，化简得$a = 2b$，即1个方块的质量等于2个球的质量。
2. 逐一验证天平：
图②：左边质量为$3a$，右边为6个球即质量为$6b$。代入$a=2b$得$3a=3×2b=6b$，左右两边质量相等，天平平衡。
图③：左边质量为$a$，右边为3个球即质量为$3b$。代入$a=2b$得$2b≠3b$，左右两边质量不相等，天平不平衡。
图④：左边质量为$4a$，右边为8个球即质量为$8b$。代入$a=2b$得$4a=4×2b=8b$，左右两边质量相等，天平平衡。
综上，平衡的天平有②和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 等量代换
【点评】
本题通过天平平衡的情境考查等式性质的应用，解题核心是先从已知条件得出两种物体的质量等量关系，再通过代入验证即可得出结论，解题时需注意准确数出各天平上物体的数量。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知平衡的图①入手，利用等式的基本性质推导出方块和球的质量等量关系，再将该关系分别代入图②、图③、图④中，通过等量代换分别计算三个天平左右两边的质量是否相等，即可判断出平衡的天平个数。
【解析】
设每个方块的质量为$a$，每个球的质量为$b$。
1. 推导等量关系：
由图①天平平衡可得：$3a + b = 7b$
根据等式的基本性质，两边同时减去$b$得：$3a = 6b$，化简得$a = 2b$，即1个方块的质量等于2个球的质量。
2. 逐一验证天平：
图②：左边质量为$3a$，右边为6个球即质量为$6b$。代入$a=2b$得$3a=3×2b=6b$，左右两边质量相等，天平平衡。
图③：左边质量为$a$，右边为3个球即质量为$3b$。代入$a=2b$得$2b≠3b$，左右两边质量不相等，天平不平衡。
图④：左边质量为$4a$，右边为8个球即质量为$8b$。代入$a=2b$得$4a=4×2b=8b$，左右两边质量相等，天平平衡。
综上，平衡的天平有②和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 等量代换
【点评】
本题通过天平平衡的情境考查等式性质的应用，解题核心是先从已知条件得出两种物体的质量等量关系，再通过代入验证即可得出结论，解题时需注意准确数出各天平上物体的数量。
【难度系数】
0.7
10.小张在解方程$a - 2x = 15$（$x$是未知数）时，不小心将“$-2x$”看成了“$+2x$”，解得$x = 3$。请求出$a$的值。
答案
10.9。
解析
【分析】
解题的核心是明确小张看错符号后得到的解是对应错误方程的正确解。我们首先写出小张看错后实际求解的方程，再将他得到的解$x=3$代入这个错误的方程，就能通过计算求出$a$的值。
【解析】
小张将“$-2x$”看成“$+2x$”后，他求解的方程为：$a + 2x = 15$
已知他解得$x = 3$，即$x=3$是方程$a + 2x = 15$的解，将$x=3$代入该方程：
$\begin{aligned}a + 2 × 3 &= 15 \\a + 6 &= 15 \\a &= 15 - 6 \\a &= 9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
方程的解的定义；等式的基本性质
【点评】
本题属于典型的错中求解类问题，解题关键是理解错误的解对应错误的方程，将解代入对应方程即可求出未知参数，考查基础的方程应用能力。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确小张看错符号后得到的解是对应错误方程的正确解。我们首先写出小张看错后实际求解的方程，再将他得到的解$x=3$代入这个错误的方程，就能通过计算求出$a$的值。
【解析】
小张将“$-2x$”看成“$+2x$”后，他求解的方程为：$a + 2x = 15$
已知他解得$x = 3$，即$x=3$是方程$a + 2x = 15$的解，将$x=3$代入该方程：
$\begin{aligned}a + 2 × 3 &= 15 \\a + 6 &= 15 \\a &= 15 - 6 \\a &= 9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
方程的解的定义；等式的基本性质
【点评】
本题属于典型的错中求解类问题，解题关键是理解错误的解对应错误的方程，将解代入对应方程即可求出未知参数，考查基础的方程应用能力。
【难度系数】
0.8
11.若$3b + 2a -1 = 3a + 2b$，利用等式的性质，比较$a$与$b$的大小。
答案
11.$b＞a$。
解析
【分析】
要比较a与b的大小，需通过等式变形得到a、b的直接关系。我们可以利用等式的基本性质1，将等式两边同时减去相同的整式，把含a的项和含b的项分别整理到等式两侧，化简后即可判断两者的大小。
【解析】
已知等式：$3b + 2a -1 = 3a + 2b$
根据等式的基本性质1，等式两边同时减去$(2a + 2b)$，得：
$3b + 2a -1 - (2a + 2b) = 3a + 2b - (2a + 2b)$
化简左边：$3b + 2a -1 -2a -2b = b - 1$
化简右边：$3a + 2b -2a -2b = a$
因此可得：$b - 1 = a$，即$b = a + 1$
因为$1＞0$，所以$b$比$a$大1，即$b＞a$。
【答案】
$b＞a$
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 代数式大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查等式性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握等式的变形规则，通过合理移项整理得到两个字母的数量关系，进而比较大小。
【难度系数】
0.8
要比较a与b的大小，需通过等式变形得到a、b的直接关系。我们可以利用等式的基本性质1，将等式两边同时减去相同的整式，把含a的项和含b的项分别整理到等式两侧，化简后即可判断两者的大小。
【解析】
已知等式：$3b + 2a -1 = 3a + 2b$
根据等式的基本性质1，等式两边同时减去$(2a + 2b)$，得：
$3b + 2a -1 - (2a + 2b) = 3a + 2b - (2a + 2b)$
化简左边：$3b + 2a -1 -2a -2b = b - 1$
化简右边：$3a + 2b -2a -2b = a$
因此可得：$b - 1 = a$，即$b = a + 1$
因为$1＞0$，所以$b$比$a$大1，即$b＞a$。
【答案】
$b＞a$
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 代数式大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查等式性质的灵活运用，解题的关键是熟练掌握等式的变形规则，通过合理移项整理得到两个字母的数量关系，进而比较大小。
【难度系数】
0.8
12. 小强对小涛说：“我发现5可以等于4。这里有一个方程：$5x - 8 = 4x - 8$，方程两边同时加上8，得$5x = 4x$，方程两边同时除以$x$，得$5 = 4$。”请你想一想，小强说得对吗？请简要说明理由。
答案
12.不对,理由略。
解析
【分析】
要判断小强的说法是否正确，需结合等式的基本性质逐步检查他的推导过程。首先回忆等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。小强推导的前两步（两边同时加8得$5x=4x$）符合等式的基本性质1，错误出在第三步两边同时除以$x$，此时需要先确定$x$的取值是否为0。我们可以先求解方程得到$x$的值，就能发现问题：对$5x=4x$移项可得$x=0$，因此除以$x$就相当于除以0，而0不能作除数，不符合等式性质2的要求，因此推导错误。
【解析】
解：小强说得不对，理由如下：
1. 对等式$5x - 8 = 4x - 8$，两边同时加8，根据等式的基本性质1，得到$5x=4x$，该步骤正确；
2. 将$5x=4x$两边同时减去4x，计算得$x=0$；
3. 根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。此处$x=0$，0不能作为除数，因此不能直接将$5x=4x$两边同时除以$x$，小强的这步推导不符合等式的性质，是错误的，所以“5等于4”的结论不成立。
【答案】
不对，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，本题中方程解得$x=0$，小强直接两边除以$x$（0不能作除数），推导错误，因此5不等于4。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 0不能作除数
【点评】
本题重点考查对等式基本性质的理解，易错点在于忽略等式两边同除以一个数时，该数不能为0的前提条件，解题时要注意对除数的取值进行验证，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.75
要判断小强的说法是否正确，需结合等式的基本性质逐步检查他的推导过程。首先回忆等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。小强推导的前两步（两边同时加8得$5x=4x$）符合等式的基本性质1，错误出在第三步两边同时除以$x$，此时需要先确定$x$的取值是否为0。我们可以先求解方程得到$x$的值，就能发现问题：对$5x=4x$移项可得$x=0$，因此除以$x$就相当于除以0，而0不能作除数，不符合等式性质2的要求，因此推导错误。
【解析】
解：小强说得不对，理由如下：
1. 对等式$5x - 8 = 4x - 8$，两边同时加8，根据等式的基本性质1，得到$5x=4x$，该步骤正确；
2. 将$5x=4x$两边同时减去4x，计算得$x=0$；
3. 根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。此处$x=0$，0不能作为除数，因此不能直接将$5x=4x$两边同时除以$x$，小强的这步推导不符合等式的性质，是错误的，所以“5等于4”的结论不成立。
【答案】
不对，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，本题中方程解得$x=0$，小强直接两边除以$x$（0不能作除数），推导错误，因此5不等于4。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 0不能作除数
【点评】
本题重点考查对等式基本性质的理解，易错点在于忽略等式两边同除以一个数时，该数不能为0的前提条件，解题时要注意对除数的取值进行验证，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.75
