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1. ★★★(2026·玉溪期中)当$-3≤ x≤ 0$时,函数$y=-2x^2-4x-1$的最大值与最小值之和是
-6
.答案
1. -6
解析
【分析】
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先需要将函数化为顶点式，明确开口方向、对称轴，再判断对称轴是否在给定区间内：若开口向下，区间包含对称轴时，顶点处取得最大值，离对称轴更远的区间端点处取得最小值；最后计算最大值与最小值的和即可。
【解析】
第一步：将二次函数化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2-4x-1\\&=-2(x^2+2x)-1\\&=-2[(x+1)^2-1]-1\\&=-2(x+1)^2+1\end{aligned}$
由此可知，二次函数开口向下（$a=-2＜0$），对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$。
第二步：判断对称轴与区间$-3\le x\le0$的关系：
对称轴$x=-1$在区间$[-3,0]$内部，因此：
1. 最大值：开口向下，顶点处函数值最大，当$x=-1$时，$y_{\mathrm{max}}=1$；
2. 最小值：比较区间两端点到对称轴的距离：
$x=-3$到$x=-1$的距离为$|-3-(-1)|=2$，$x=0$到$x=-1$的距离为$|0-(-1)|=1$，距离对称轴越远函数值越小，因此当$x=-3$时取得最小值：
$ y_{\mathrm{min}}=-2×(-3)^2-4×(-3)-1=-18+12-1=-7 $
第三步：计算最大值与最小值之和：$1+(-7)=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；配方法的应用
【点评】
本题是二次函数区间最值的基础题型，解题核心是先通过配方法确定函数的开口方向和对称轴，再结合区间位置判断最值的取值点，避免直接代入端点计算的错误。
【难度系数】
0.6
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先需要将函数化为顶点式，明确开口方向、对称轴，再判断对称轴是否在给定区间内：若开口向下，区间包含对称轴时，顶点处取得最大值，离对称轴更远的区间端点处取得最小值；最后计算最大值与最小值的和即可。
【解析】
第一步：将二次函数化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2-4x-1\\&=-2(x^2+2x)-1\\&=-2[(x+1)^2-1]-1\\&=-2(x+1)^2+1\end{aligned}$
由此可知，二次函数开口向下（$a=-2＜0$），对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$。
第二步：判断对称轴与区间$-3\le x\le0$的关系：
对称轴$x=-1$在区间$[-3,0]$内部，因此：
1. 最大值：开口向下，顶点处函数值最大，当$x=-1$时，$y_{\mathrm{max}}=1$；
2. 最小值：比较区间两端点到对称轴的距离：
$x=-3$到$x=-1$的距离为$|-3-(-1)|=2$，$x=0$到$x=-1$的距离为$|0-(-1)|=1$，距离对称轴越远函数值越小，因此当$x=-3$时取得最小值：
$ y_{\mathrm{min}}=-2×(-3)^2-4×(-3)-1=-18+12-1=-7 $
第三步：计算最大值与最小值之和：$1+(-7)=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；配方法的应用
【点评】
本题是二次函数区间最值的基础题型，解题核心是先通过配方法确定函数的开口方向和对称轴，再结合区间位置判断最值的取值点，避免直接代入端点计算的错误。
【难度系数】
0.6
2. (2026·大连期中)已知二次函数$y=ax^2 -2ax +c$，当$-1≤x≤2$时，y有最小值7，最大值11，则ac的值为
-10或8
。答案
2. -10或8
解析
【分析】
首先先求二次函数的对称轴，判断对称轴是否在给定的区间$[-1,2]$内，本题对称轴$x=1$刚好在区间内，因此函数的最值会在对称轴处或区间端点处取得。由于二次函数开口方向不确定，需分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论，分别列出对应最值的方程求解$a$、$c$的值，最后计算$ac$即可。
【解析】
步骤1：求二次函数对称轴
对于二次函数$y=ax^2-2ax+c$（$a≠0$），由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得：
$x=\frac{2a}{2a}=1$，且$1\in[-1,2]$，在给定区间范围内。
步骤2：分情况讨论开口方向
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
此时函数在对称轴$x=1$处取得最小值，在离对称轴更远的端点$x=-1$处取得最大值（$x=1$到$x=-1$的距离为2，到$x=2$的距离为1，$2＞1$）。
代入$x=1$得最小值：$a-2a+c=-a+c=7$；
代入$x=-1$得最大值：$a+2a+c=3a+c=11$；
联立方程解得：$a=1$，$c=8$，故$ac=1×8=8$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
此时函数在对称轴$x=1$处取得最大值，在离对称轴更远的端点$x=-1$处取得最小值。
代入$x=1$得最大值：$-a+c=11$；
代入$x=-1$得最小值：$3a+c=7$；
联立方程解得：$a=-1$，$c=10$，故$ac=(-1)×10=-10$。
综上，$ac$的值为$-10$或$8$。
【答案】
$-10$或$8$
【知识点】
二次函数性质，区间最值求解，分类讨论
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是先确定对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向判断最值对应的自变量取值，需注意不要遗漏开口方向的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先先求二次函数的对称轴，判断对称轴是否在给定的区间$[-1,2]$内，本题对称轴$x=1$刚好在区间内，因此函数的最值会在对称轴处或区间端点处取得。由于二次函数开口方向不确定，需分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论，分别列出对应最值的方程求解$a$、$c$的值，最后计算$ac$即可。
【解析】
步骤1：求二次函数对称轴
对于二次函数$y=ax^2-2ax+c$（$a≠0$），由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得：
$x=\frac{2a}{2a}=1$，且$1\in[-1,2]$，在给定区间范围内。
步骤2：分情况讨论开口方向
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
此时函数在对称轴$x=1$处取得最小值，在离对称轴更远的端点$x=-1$处取得最大值（$x=1$到$x=-1$的距离为2，到$x=2$的距离为1，$2＞1$）。
代入$x=1$得最小值：$a-2a+c=-a+c=7$；
代入$x=-1$得最大值：$a+2a+c=3a+c=11$；
联立方程解得：$a=1$，$c=8$，故$ac=1×8=8$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
此时函数在对称轴$x=1$处取得最大值，在离对称轴更远的端点$x=-1$处取得最小值。
代入$x=1$得最大值：$-a+c=11$；
代入$x=-1$得最小值：$3a+c=7$；
联立方程解得：$a=-1$，$c=10$，故$ac=(-1)×10=-10$。
综上，$ac$的值为$-10$或$8$。
【答案】
$-10$或$8$
【知识点】
二次函数性质，区间最值求解，分类讨论
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是先确定对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向判断最值对应的自变量取值，需注意不要遗漏开口方向的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. ★★★ (2025·徐州期中)当$ a-1 ≤ x ≤ a $时,函数$ y = x^2 - 2x + 1 $的最小值为1,则a的值为
0或3
答案
3. 0或3
解析
【分析】
首先将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点最值。已知函数在区间$[a-1,a]$上的最小值为1，而函数顶点处最小值为0，说明该区间不包含对称轴$x=1$，因此分两种情况讨论：①区间在对称轴左侧，函数在区间上单调递减，最小值在区间右端点取得；②区间在对称轴右侧，函数在区间上单调递增，最小值在区间左端点取得，分别代入计算后验证结果是否符合区间位置即可。
【解析】
首先化简函数：$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，
可得该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$，函数的最小值为0。
∵当$a-1≤ x≤ a$时，函数最小值为1，
∴区间$[a-1,a]$内不含$x=1$，分两种情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$a＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
则当$x=a$时取得最小值1，代入得：
$(a-1)^2=1$，
解得$a=0$或$a=2$，
又
∵$a＜1$，
∴$a=2$舍去，得$a=0$；
2. 当区间在对称轴右侧，即$a-1＞1$，即$a＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，
则当$x=a-1$时取得最小值1，代入得：
$(a-1-1)^2=1$，即$(a-2)^2=1$，
解得$a=3$或$a=1$，
又
∵$a＞2$，
∴$a=1$舍去，得$a=3$。
综上，$a$的值为0或3。
【答案】
0或3
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数区间最值
3. 分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数在闭区间上的最值求解，解题的核心是先明确二次函数的基本性质，再结合区间与对称轴的位置关系分类讨论，计算后要注意结合前提条件对结果进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点最值。已知函数在区间$[a-1,a]$上的最小值为1，而函数顶点处最小值为0，说明该区间不包含对称轴$x=1$，因此分两种情况讨论：①区间在对称轴左侧，函数在区间上单调递减，最小值在区间右端点取得；②区间在对称轴右侧，函数在区间上单调递增，最小值在区间左端点取得，分别代入计算后验证结果是否符合区间位置即可。
【解析】
首先化简函数：$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，
可得该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$，函数的最小值为0。
∵当$a-1≤ x≤ a$时，函数最小值为1，
∴区间$[a-1,a]$内不含$x=1$，分两种情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$a＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
则当$x=a$时取得最小值1，代入得：
$(a-1)^2=1$，
解得$a=0$或$a=2$，
又
∵$a＜1$，
∴$a=2$舍去，得$a=0$；
2. 当区间在对称轴右侧，即$a-1＞1$，即$a＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，
则当$x=a-1$时取得最小值1，代入得：
$(a-1-1)^2=1$，即$(a-2)^2=1$，
解得$a=3$或$a=1$，
又
∵$a＞2$，
∴$a=1$舍去，得$a=3$。
综上，$a$的值为0或3。
【答案】
0或3
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数区间最值
3. 分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数在闭区间上的最值求解，解题的核心是先明确二次函数的基本性质，再结合区间与对称轴的位置关系分类讨论，计算后要注意结合前提条件对结果进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
4. ★★★ (2025·福州期中)已知抛物线$y=x^2+2x+3$，当$-3≤x≤m$时，函数$y$的最大值是6，最小值是2，则$m$的取值范围是
$-1≤m≤1$
.答案
4. $-1≤m≤1$
解析
【分析】
解决这类二次函数给定区间求参数范围的问题，思路分为三步：第一步先通过配方法将二次函数一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，得到函数的最值点；第二步求出函数值等于最大值时对应的自变量的值；第三步结合区间范围和函数增减性分析参数的边界：因为函数最小值为2，说明区间必须包含取得最小值的对称轴位置；最大值为6，说明区间右端点不能超过使得函数值为6的右侧x值，进而得到m的取值范围。
【解析】
第一步：将抛物线解析式配方化为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
由此可知：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，即函数的最小值为2。
第二步：求函数值为6时对应的自变量：
令$y=6$，代入解析式得：
$(x+1)^2+2=6$
化简得$(x+1)^2=4$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
第三步：结合区间范围分析m的取值：
① 因为当$-3≤x≤m$时，函数最小值为2，说明区间需包含对称轴$x=-1$，因此$m≥-1$；
② 又因为函数最大值为6，说明区间内的x不能超过1（开口向上，x＞1时函数值大于6），因此$m≤1$。
综上，m的取值范围是$-1≤m≤1$。
【答案】
$-1≤m≤1$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式，二次函数的图像与性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数区间最值的经典题型，解题核心是先明确二次函数的基本性质（开口、对称轴、顶点），再结合函数的增减性分析区间的边界要求，解题过程中可结合图像辅助分析，能更直观得到取值范围。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数给定区间求参数范围的问题，思路分为三步：第一步先通过配方法将二次函数一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，得到函数的最值点；第二步求出函数值等于最大值时对应的自变量的值；第三步结合区间范围和函数增减性分析参数的边界：因为函数最小值为2，说明区间必须包含取得最小值的对称轴位置；最大值为6，说明区间右端点不能超过使得函数值为6的右侧x值，进而得到m的取值范围。
【解析】
第一步：将抛物线解析式配方化为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
由此可知：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，即函数的最小值为2。
第二步：求函数值为6时对应的自变量：
令$y=6$，代入解析式得：
$(x+1)^2+2=6$
化简得$(x+1)^2=4$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
第三步：结合区间范围分析m的取值：
① 因为当$-3≤x≤m$时，函数最小值为2，说明区间需包含对称轴$x=-1$，因此$m≥-1$；
② 又因为函数最大值为6，说明区间内的x不能超过1（开口向上，x＞1时函数值大于6），因此$m≤1$。
综上，m的取值范围是$-1≤m≤1$。
【答案】
$-1≤m≤1$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式，二次函数的图像与性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数区间最值的经典题型，解题核心是先明确二次函数的基本性质（开口、对称轴、顶点），再结合函数的增减性分析区间的边界要求，解题过程中可结合图像辅助分析，能更直观得到取值范围。
【难度系数】
0.6
5. (2025·天津期中)若二次函数$y=-x^2+4mx$（$m$为常数），当自变量$x$的值满足$-2＜x≤1$时，与其对应的函数值$y$的最大值为5，则$m$的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
5. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先明确二次函数的开口方向：该二次函数二次项系数为-1＜0，所以开口向下，在对称轴处取得全局最大值，函数值离对称轴越远越小。给定x的取值范围是左开右闭区间(-2,1]，因此需要分三种情况讨论对称轴x=2m与区间的位置关系：①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内部；③对称轴在区间右侧，分别求出每种情况下的最大值，令其等于5，解出m后验证是否符合对应情况的前提条件，舍去不符合的解即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4mx$，其中$a=-1＜0$，因此函数开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4m}{2×(-1)}=2m$
分三种情况讨论：
1. 当$2m ≤ -2$，即$m ≤ -1$时：
区间$(-2,1]$在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，由于$x=-2$取不到，因此函数在该区间内无法取得最大值5，该情况舍去。
2. 当$-2 ＜ 2m ≤ 1$，即$-1 ＜ m ≤ \frac{1}{2}$时：
函数在对称轴$x=2m$处取得最大值，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=-(2m)^2 +4m·2m=4m^2$
令$4m^2=5$，解得$m=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，两个值均不在$-1 ＜ m ≤ \frac{1}{2}$范围内，该情况舍去。
3. 当$2m ＞ 1$，即$m ＞ \frac{1}{2}$时：
区间$(-2,1]$在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，因此最大值在$x=1$处取得，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=-1^2 +4m×1=4m-1$
令$4m-1=5$，解得$m=\frac{3}{2}$，满足$m＞\frac{1}{2}$，符合条件。
综上，$m$的值为$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数最值，分类讨论思想，二次函数性质
【点评】
本题是二次函数限定区间最值的典型题型，解题关键是结合开口方向，通过分类讨论对称轴与目标区间的位置关系确定最大值的对应位置，解题时要注意区间端点的开闭属性，求出参数后需验证是否符合对应分类的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
首先明确二次函数的开口方向：该二次函数二次项系数为-1＜0，所以开口向下，在对称轴处取得全局最大值，函数值离对称轴越远越小。给定x的取值范围是左开右闭区间(-2,1]，因此需要分三种情况讨论对称轴x=2m与区间的位置关系：①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内部；③对称轴在区间右侧，分别求出每种情况下的最大值，令其等于5，解出m后验证是否符合对应情况的前提条件，舍去不符合的解即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4mx$，其中$a=-1＜0$，因此函数开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4m}{2×(-1)}=2m$
分三种情况讨论：
1. 当$2m ≤ -2$，即$m ≤ -1$时：
区间$(-2,1]$在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，由于$x=-2$取不到，因此函数在该区间内无法取得最大值5，该情况舍去。
2. 当$-2 ＜ 2m ≤ 1$，即$-1 ＜ m ≤ \frac{1}{2}$时：
函数在对称轴$x=2m$处取得最大值，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=-(2m)^2 +4m·2m=4m^2$
令$4m^2=5$，解得$m=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，两个值均不在$-1 ＜ m ≤ \frac{1}{2}$范围内，该情况舍去。
3. 当$2m ＞ 1$，即$m ＞ \frac{1}{2}$时：
区间$(-2,1]$在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，因此最大值在$x=1$处取得，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=-1^2 +4m×1=4m-1$
令$4m-1=5$，解得$m=\frac{3}{2}$，满足$m＞\frac{1}{2}$，符合条件。
综上，$m$的值为$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数最值，分类讨论思想，二次函数性质
【点评】
本题是二次函数限定区间最值的典型题型，解题关键是结合开口方向，通过分类讨论对称轴与目标区间的位置关系确定最大值的对应位置，解题时要注意区间端点的开闭属性，求出参数后需验证是否符合对应分类的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
6. (2025·大连期中)已知二次函数$y=-x^2+2mx-m^2+3$在$m-1≤x≤m+2$的范围内有最小值，
则这个最小值是
则这个最小值是
-1
。答案
6. -1
解析
【分析】
本题属于二次函数区间最值问题，解题思路如下：1. 先将二次函数解析式配方化为顶点式，确定开口方向和对称轴；2. 明确开口向下的二次函数顶点为最大值点，在包含对称轴的闭区间内，最小值出现在离对称轴更远的区间端点处；3. 计算区间两个端点到对称轴的距离，找到距离更远的端点，代入解析式计算即可得到最小值。
【解析】
首先对二次函数解析式配方：
$y=-x^2+2mx-m^2+3=-(x-m)^2+3$
由此可知，该二次函数的二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=m$，顶点$(m,3)$是函数的最高点。
已知自变量取值范围为$m-1≤ x≤ m+2$，对称轴$x=m$在该区间内。
计算两个区间端点到对称轴的距离：
左端点$x=m-1$到$x=m$的距离：$|(m-1)-m|=1$
右端点$x=m+2$到$x=m$的距离：$|(m+2)-m|=2$
因为$2＞1$，即右端点离对称轴更远，且开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小，因此函数的最小值在$x=m+2$处取得。
将$x=m+2$代入顶点式得：
$y=-(m+2-m)^2+3=-2^2+3=-4+3=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的图像与性质
2. 二次函数区间最值
3. 配方法的应用
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间内的最值求解，解题关键是先通过配方明确抛物线的开口方向和对称轴，再结合开口方向判断最值对应的自变量位置，易错点是容易混淆开口方向对最值位置的影响，误将顶点值当成最小值。
【难度系数】
0.6
本题属于二次函数区间最值问题，解题思路如下：1. 先将二次函数解析式配方化为顶点式，确定开口方向和对称轴；2. 明确开口向下的二次函数顶点为最大值点，在包含对称轴的闭区间内，最小值出现在离对称轴更远的区间端点处；3. 计算区间两个端点到对称轴的距离，找到距离更远的端点，代入解析式计算即可得到最小值。
【解析】
首先对二次函数解析式配方：
$y=-x^2+2mx-m^2+3=-(x-m)^2+3$
由此可知，该二次函数的二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=m$，顶点$(m,3)$是函数的最高点。
已知自变量取值范围为$m-1≤ x≤ m+2$，对称轴$x=m$在该区间内。
计算两个区间端点到对称轴的距离：
左端点$x=m-1$到$x=m$的距离：$|(m-1)-m|=1$
右端点$x=m+2$到$x=m$的距离：$|(m+2)-m|=2$
因为$2＞1$，即右端点离对称轴更远，且开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小，因此函数的最小值在$x=m+2$处取得。
将$x=m+2$代入顶点式得：
$y=-(m+2-m)^2+3=-2^2+3=-4+3=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的图像与性质
2. 二次函数区间最值
3. 配方法的应用
【点评】
本题核心考查二次函数在给定区间内的最值求解，解题关键是先通过配方明确抛物线的开口方向和对称轴，再结合开口方向判断最值对应的自变量位置，易错点是容易混淆开口方向对最值位置的影响，误将顶点值当成最小值。
【难度系数】
0.6
7. (2025·金华期中)已知关于x的二次函数$y=-x^2+2mx+n$（m，n为常数）。当$m-1≤x≤m+k$（k＞0）时，函数的最大值为p，最小值为q，且$p-q=3k$，则k的值为
进一步挑战进阶专题:P5 专题5
3或$\frac{1}{3}$
。进一步挑战进阶专题:P5 专题5
答案
7. 3或$\frac{1}{3}$
解析:
∵ 二次函数$y=-x^2+2mx+n(m,n$为常数$),∴$ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{2m}{-2}=m$,把$x=m$代入$y=-x^2+2mx+n$,得$y=-m^2+2m^2+n=m^2+n$,$∴$ 抛物线的顶点坐标为$(m,m^2+n)$,$∴$ 当$m-1≤x≤m+k(k＞0)$时,函数的最大值为$p=m^2+n$,若$0＜k＜1$,则当$x=m-1$时函数有最小值,且函数最小值$q=-(m-1)^2+2m(m-1)+n=m^2+n-1$,$∴ p-q=m^2+n-(m^2+n-1)=1=3k$,解得$k=\frac{1}{3}$;若$k≥1$,则当$x=m+k$时函数有最小值,且函数最小值$q=-(m+k)^2+2m(m+k)+n=m^2-k^2+n$,$∴ p-q=m^2+n-(m^2-k^2+n)=k^2=3k$,解得$k=0$(舍去)或$k=3$.综上所述,$k=\frac{1}{3}$或$k=3$.
解析:
∵ 二次函数$y=-x^2+2mx+n(m,n$为常数$),∴$ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{2m}{-2}=m$,把$x=m$代入$y=-x^2+2mx+n$,得$y=-m^2+2m^2+n=m^2+n$,$∴$ 抛物线的顶点坐标为$(m,m^2+n)$,$∴$ 当$m-1≤x≤m+k(k＞0)$时,函数的最大值为$p=m^2+n$,若$0＜k＜1$,则当$x=m-1$时函数有最小值,且函数最小值$q=-(m-1)^2+2m(m-1)+n=m^2+n-1$,$∴ p-q=m^2+n-(m^2+n-1)=1=3k$,解得$k=\frac{1}{3}$;若$k≥1$,则当$x=m+k$时函数有最小值,且函数最小值$q=-(m+k)^2+2m(m+k)+n=m^2-k^2+n$,$∴ p-q=m^2+n-(m^2-k^2+n)=k^2=3k$,解得$k=0$(舍去)或$k=3$.综上所述,$k=\frac{1}{3}$或$k=3$.
解析
【分析】
首先分析二次函数的基本性质：该二次函数二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，函数在对称轴处取得最大值。给定区间为[m-1, m+k]（k＞0），对称轴在区间内部，因此最大值p固定为顶点纵坐标。接下来判断最小值的位置：区间左端点到对称轴的距离为1，右端点到对称轴的距离为k，开口向下的二次函数区间最小值出现在离对称轴更远的端点处，因此分0＜k＜1和k≥1两种情况讨论，分别求出最小值q，再根据p-q=3k列方程求解，最后结合k的取值范围取舍即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=-x^2+2mx+n$（m，n为常数），二次项系数为-1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×(-1)}=m$，
将$x=m$代入解析式得$y=-m^2+2m· m +n=m^2+n$，即顶点坐标为$(m,m^2+n)$。
∵区间$m-1≤x≤m+k$（k＞0）包含对称轴$x=m$，
∴函数在区间内的最大值$p=m^2+n$，分两种情况讨论最小值：
①当$0＜k＜1$时，左端点$x=m-1$到对称轴的距离更远，
∴$x=m-1$时取最小值，代入得：
$q=-(m-1)^2+2m(m-1)+n=m^2+n-1$，
由$p-q=3k$得：$1=3k$，解得$k=\frac{1}{3}$，符合$0＜k＜1$的条件；
②当$k≥1$时，右端点$x=m+k$到对称轴的距离更远，
∴$x=m+k$时取最小值，代入得：
$q=-(m+k)^2+2m(m+k)+n=m^2+n-k^2$，
由$p-q=3k$得：$k^2=3k$，解得$k=0$（舍去）或$k=3$，符合$k≥1$的条件。
综上，k的值为$\frac{1}{3}$或3。
【答案】
3或$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题关键是结合抛物线开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，分类讨论时要注意参数的取值范围，对解进行合理取舍。
【难度系数】
0.5
首先分析二次函数的基本性质：该二次函数二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，函数在对称轴处取得最大值。给定区间为[m-1, m+k]（k＞0），对称轴在区间内部，因此最大值p固定为顶点纵坐标。接下来判断最小值的位置：区间左端点到对称轴的距离为1，右端点到对称轴的距离为k，开口向下的二次函数区间最小值出现在离对称轴更远的端点处，因此分0＜k＜1和k≥1两种情况讨论，分别求出最小值q，再根据p-q=3k列方程求解，最后结合k的取值范围取舍即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=-x^2+2mx+n$（m，n为常数），二次项系数为-1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×(-1)}=m$，
将$x=m$代入解析式得$y=-m^2+2m· m +n=m^2+n$，即顶点坐标为$(m,m^2+n)$。
∵区间$m-1≤x≤m+k$（k＞0）包含对称轴$x=m$，
∴函数在区间内的最大值$p=m^2+n$，分两种情况讨论最小值：
①当$0＜k＜1$时，左端点$x=m-1$到对称轴的距离更远，
∴$x=m-1$时取最小值，代入得：
$q=-(m-1)^2+2m(m-1)+n=m^2+n-1$，
由$p-q=3k$得：$1=3k$，解得$k=\frac{1}{3}$，符合$0＜k＜1$的条件；
②当$k≥1$时，右端点$x=m+k$到对称轴的距离更远，
∴$x=m+k$时取最小值，代入得：
$q=-(m+k)^2+2m(m+k)+n=m^2+n-k^2$，
由$p-q=3k$得：$k^2=3k$，解得$k=0$（舍去）或$k=3$，符合$k≥1$的条件。
综上，k的值为$\frac{1}{3}$或3。
【答案】
3或$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题关键是结合抛物线开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，分类讨论时要注意参数的取值范围，对解进行合理取舍。
【难度系数】
0.5
