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1. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知直线$y=-x-3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$C$,过$A,C$两点的抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于另一点$B(1,0)$,抛物线对称轴为直线$l$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点$P$是抛物线上一点,过点$P$作$l$的垂线,垂足为$D$,$E$是$l$上一点. 要使得以$P,D,E$为顶点的三角形与$△ BOC$全等,请直接写出点$P$的坐标.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点$P$是抛物线上一点,过点$P$作$l$的垂线,垂足为$D$,$E$是$l$上一点. 要使得以$P,D,E$为顶点的三角形与$△ BOC$全等,请直接写出点$P$的坐标.
答案
1.(1)把$x=0$代入$y=-x-3$得$y=-3$;把$y=0$代入$y=-x-3$得$x=-3$.$\therefore A(-3,0),C(0,-3)$.$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A,C,B$三点,
$\therefore \begin{cases}9a-3b+c=0,\\a+b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-3,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)点$P$的坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$或$(-2,-3)$或$(0,-3)$.
解析:$\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=-1$.
$\because$ 过点$P$作$l$的垂线,垂足为$D$,$\therefore ∠ PDE=∠ BOC=90°$.$\because C(0,-3),B(1,0)$,$\therefore OB=1,OC=3$. 设 $P(x,x^2+2x-3)$, 则$D(-1,x^2+2x-3)$,当 $PD=OC,DE=OB$ 时, $△ PDE≌ △ COB$,此时$|-1-x|=3$,解得$x=-4$或$x=2$,$\therefore$ 点$P$坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$.当$PD=OB,DE=OC$时,$△ EDP≌ △ COB$,此时$|-1-x|=1$,解得$x=-2$或$x=0$.$\therefore$ 点$P$坐标为$(-2,-3)$或$(0,-3)$.综上,点$P$坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$或$(-2,-3)$或$(0,-3)$.
$\therefore \begin{cases}9a-3b+c=0,\\a+b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-3,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)点$P$的坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$或$(-2,-3)$或$(0,-3)$.
解析:$\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=-1$.
$\because$ 过点$P$作$l$的垂线,垂足为$D$,$\therefore ∠ PDE=∠ BOC=90°$.$\because C(0,-3),B(1,0)$,$\therefore OB=1,OC=3$. 设 $P(x,x^2+2x-3)$, 则$D(-1,x^2+2x-3)$,当 $PD=OC,DE=OB$ 时, $△ PDE≌ △ COB$,此时$|-1-x|=3$,解得$x=-4$或$x=2$,$\therefore$ 点$P$坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$.当$PD=OB,DE=OC$时,$△ EDP≌ △ COB$,此时$|-1-x|=1$,解得$x=-2$或$x=0$.$\therefore$ 点$P$坐标为$(-2,-3)$或$(0,-3)$.综上,点$P$坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$或$(-2,-3)$或$(0,-3)$.
解析
【分析】
(1) 首先求出直线$y=-x-3$与x轴、y轴的交点A、C的坐标，结合已知的点B坐标，将三个点的坐标代入抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c$，解三元一次方程组得到系数$a、b、c$，即可得到抛物线的表达式。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴$l$，再分析$△ BOC$的特征：它是直角三角形，两条直角边长度分别为$OB=1$、$OC=3$。由于$PD⊥ l$，因此$△ PDE$也是直角三角形，直角为$∠ PDE$。两三角形全等需分两种对应情况讨论：①$PD=OC$且$DE=OB$；②$PD=OB$且$DE=OC$。根据$PD$的长度等于点P横坐标与对称轴横坐标差的绝对值列方程求解，即可得到点P的坐标，注意不要遗漏任意一种全等对应情况。
【解析】
(1) 求A、C两点坐标：
把$x=0$代入$y=-x-3$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
把$y=0$代入$y=-x-3$，得$x=-3$，故$A(-3,0)$。
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-3,0)$、$B(1,0)$、$C(0,-3)$三点，代入得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+c=0\\a+b+c=0\\c=-3\end{cases}$
将$c=-3$代入前两个方程，解得$\begin{cases}a=1\\b=2\\c=-3\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，因此抛物线对称轴$l$为直线$x=-1$。
由$B(1,0)$、$C(0,-3)$可得$OB=1$，$OC=3$，且$∠ BOC=90°$。
因为$PD⊥ l$，所以$∠ PDE=90°=∠ BOC$。设点$P$的坐标为$(x,x^2+2x-3)$，则垂足$D$的坐标为$(-1,x^2+2x-3)$，$PD=|-1-x|$。
分两种全等情况讨论：
① 当$△ PDE≌△ COB$时，$PD=OC=3$，$DE=OB=1$，即$|-1-x|=3$，解得$x=-4$或$x=2$。
代入抛物线解析式得对应$y$值为5，因此点$P$坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$。
② 当$△ EDP≌△ COB$时，$PD=OB=1$，$DE=OC=3$，即$|-1-x|=1$，解得$x=-2$或$x=0$。
代入抛物线解析式得对应$y$值为-3，因此点$P$坐标为$(-2,-3)$或$(0,-3)$。
综上，满足条件的点P坐标为$(-4,5)$、$(2,5)$、$(-2,-3)$、$(0,-3)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-4,5)}$、$\boldsymbol{(2,5)}$、$\boldsymbol{(-2,-3)}$、$\boldsymbol{(0,-3)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合题，第一问为基础题，熟练掌握待定系数法求函数解析式即可求解；第二问需要结合全等三角形的性质进行分类讨论，明确两种不同的边对应关系是解题关键，有效考查了分类讨论思想和运算能力，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先求出直线$y=-x-3$与x轴、y轴的交点A、C的坐标，结合已知的点B坐标，将三个点的坐标代入抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c$，解三元一次方程组得到系数$a、b、c$，即可得到抛物线的表达式。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴$l$，再分析$△ BOC$的特征：它是直角三角形，两条直角边长度分别为$OB=1$、$OC=3$。由于$PD⊥ l$，因此$△ PDE$也是直角三角形，直角为$∠ PDE$。两三角形全等需分两种对应情况讨论：①$PD=OC$且$DE=OB$；②$PD=OB$且$DE=OC$。根据$PD$的长度等于点P横坐标与对称轴横坐标差的绝对值列方程求解，即可得到点P的坐标，注意不要遗漏任意一种全等对应情况。
【解析】
(1) 求A、C两点坐标：
把$x=0$代入$y=-x-3$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
把$y=0$代入$y=-x-3$，得$x=-3$，故$A(-3,0)$。
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-3,0)$、$B(1,0)$、$C(0,-3)$三点，代入得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+c=0\\a+b+c=0\\c=-3\end{cases}$
将$c=-3$代入前两个方程，解得$\begin{cases}a=1\\b=2\\c=-3\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$，因此抛物线对称轴$l$为直线$x=-1$。
由$B(1,0)$、$C(0,-3)$可得$OB=1$，$OC=3$，且$∠ BOC=90°$。
因为$PD⊥ l$，所以$∠ PDE=90°=∠ BOC$。设点$P$的坐标为$(x,x^2+2x-3)$，则垂足$D$的坐标为$(-1,x^2+2x-3)$，$PD=|-1-x|$。
分两种全等情况讨论：
① 当$△ PDE≌△ COB$时，$PD=OC=3$，$DE=OB=1$，即$|-1-x|=3$，解得$x=-4$或$x=2$。
代入抛物线解析式得对应$y$值为5，因此点$P$坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$。
② 当$△ EDP≌△ COB$时，$PD=OB=1$，$DE=OC=3$，即$|-1-x|=1$，解得$x=-2$或$x=0$。
代入抛物线解析式得对应$y$值为-3，因此点$P$坐标为$(-2,-3)$或$(0,-3)$。
综上，满足条件的点P坐标为$(-4,5)$、$(2,5)$、$(-2,-3)$、$(0,-3)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-4,5)}$、$\boldsymbol{(2,5)}$、$\boldsymbol{(-2,-3)}$、$\boldsymbol{(0,-3)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合题，第一问为基础题，熟练掌握待定系数法求函数解析式即可求解；第二问需要结合全等三角形的性质进行分类讨论，明确两种不同的边对应关系是解题关键，有效考查了分类讨论思想和运算能力，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
2. 如图,抛物线与x轴交于点O和点B,顶点为A(1,1),直线$y=x-2$经过点B,且与抛物线交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若N为x轴上的一个动点,过点N作$MN⊥x$轴与抛物线交于点M,是否存在以O,M,N为顶点的$△ ONM$,使得$△ ONM$和$△ ABC$全等?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若N为x轴上的一个动点,过点N作$MN⊥x$轴与抛物线交于点M,是否存在以O,M,N为顶点的$△ ONM$,使得$△ ONM$和$△ ABC$全等?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
2.(1)$\because$ 顶点坐标为$A(1,1)$,$\therefore$ 设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+1$.$\because$ 抛物线经过原点,$\therefore 0=a×(-1)^2+1$,解得$a=-1$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+1$,即$y=-x^2+2x$.
(2)不存在以$O,M,N$为顶点的$△ OMN$,使得$△ OMN$和$△ ABC$全等.联立抛物线和直线表达式可得 $\begin{cases}y=-x^2+2x,\\y=x-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2,\\y=0\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=-1,\\y=-3,\end{cases}$ $\therefore B(2,0),C(-1,-3)$,$\therefore AB=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{[2-(-1)]^2+[0-(-3)]^2}=3\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-1)^2}=2\sqrt{5}$.
$\because AB^2+BC^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=20=(2\sqrt{5})^2=AC^2$,$\therefore ∠ ABC=90°$.假设存在满足条件的点$N$,设 $N(x,0)$,则 $M(x,-x^2+2x)$,$\therefore ON=|x|$,$MN=|-x^2+2x|$.$\because MN⊥ x$轴,$\therefore ∠ MNO=∠ ABC=90°$.$\because △ ONM$和$△ ABC$ 全等,$\therefore$ 当 $△ ONM≌ △ ABC$ 时, $\therefore ON=AB$,$MN=BC$,$\therefore |x|=\sqrt{2}$,$|-x^2+2x|=3\sqrt{2}$,此时无解;当$△ ONM≌ △ CBA$ 时,$\therefore ON=BC$,$MN=AB$,$\therefore |x|=3\sqrt{2}$,$|-x^2+2x|=\sqrt{2}$,此时无解.$\therefore$ 假设不成立,$\therefore$ 不存在以$O,M,N$为顶点的$△ ONM$,使得$△ ONM$和$△ ABC$全等.
(2)不存在以$O,M,N$为顶点的$△ OMN$,使得$△ OMN$和$△ ABC$全等.联立抛物线和直线表达式可得 $\begin{cases}y=-x^2+2x,\\y=x-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2,\\y=0\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=-1,\\y=-3,\end{cases}$ $\therefore B(2,0),C(-1,-3)$,$\therefore AB=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{[2-(-1)]^2+[0-(-3)]^2}=3\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-1)^2}=2\sqrt{5}$.
$\because AB^2+BC^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=20=(2\sqrt{5})^2=AC^2$,$\therefore ∠ ABC=90°$.假设存在满足条件的点$N$,设 $N(x,0)$,则 $M(x,-x^2+2x)$,$\therefore ON=|x|$,$MN=|-x^2+2x|$.$\because MN⊥ x$轴,$\therefore ∠ MNO=∠ ABC=90°$.$\because △ ONM$和$△ ABC$ 全等,$\therefore$ 当 $△ ONM≌ △ ABC$ 时, $\therefore ON=AB$,$MN=BC$,$\therefore |x|=\sqrt{2}$,$|-x^2+2x|=3\sqrt{2}$,此时无解;当$△ ONM≌ △ CBA$ 时,$\therefore ON=BC$,$MN=AB$,$\therefore |x|=3\sqrt{2}$,$|-x^2+2x|=\sqrt{2}$,此时无解.$\therefore$ 假设不成立,$\therefore$ 不存在以$O,M,N$为顶点的$△ ONM$,使得$△ ONM$和$△ ABC$全等.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先用顶点式设抛物线表达式，再代入抛物线经过的原点坐标求解参数a，即可得到抛物线解析式。
(2) 先联立抛物线与直线解析式求出B、C两点坐标，用勾股定理计算△ABC三边长，通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形且直角为∠ABC；由于MN垂直x轴，△ONM的直角为∠ONM，两个直角三角形全等分两种对应情况讨论，分别列方程求解，若方程有解则存在对应点N，无解则不存在。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点为$A(1,1)$，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+1$。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，将$x=0,y=0$代入得：
$0=a×(0-1)^2+1$，解得$a=-1$。
∴抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+1$，整理得$y=-x^2+2x$。
(2) 不存在满足条件的$△ ONM$，理由如下：
联立抛物线与直线$y=x-2$的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=-x^2+2x\\y=x-2\end{cases}$
整理得$x^2-x-2=0$，解得$x_1=2,x_2=-1$。
代入直线方程得$B(2,0)$，$C(-1,-3)$。
计算$△ ABC$的三边长：
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$
$BC=\sqrt{[2-(-1)]^2+[0-(-3)]^2}=3\sqrt{2}$
$AC=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-1)^2}=2\sqrt{5}$
∵$AB^2+BC^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=20=AC^2$，
∴$∠ ABC=90°$。
设$N(x,0)$，则$M(x,-x^2+2x)$，
∵$MN⊥ x$轴，
∴$∠ MNO=90°=∠ ABC$，$ON=|x|$，$MN=|-x^2+2x|$。
分两种全等情况讨论：
① 当$△ ONM≌△ ABC$时，$ON=AB$，$MN=BC$，即$\begin{cases}|x|=\sqrt{2}\\-x^2+2x=\pm3\sqrt{2}\end{cases}$，代入验证无符合条件的解；
② 当$△ ONM≌△ CBA$时，$ON=BC$，$MN=AB$，即$\begin{cases}|x|=3\sqrt{2}\\-x^2+2x=\pm\sqrt{2}\end{cases}$，代入验证无符合条件的解。
故不存在满足条件的$△ ONM$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x$；
(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
二次函数解析式确定；全等三角形的性质；函数交点求解
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题时要根据已知条件选择最优的解析式求解方式，全等对应关系不明确时需分类讨论，处理坐标与线段长度的转化时要注意绝对值的使用，避免漏解。
【难度系数】
0.55
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先用顶点式设抛物线表达式，再代入抛物线经过的原点坐标求解参数a，即可得到抛物线解析式。
(2) 先联立抛物线与直线解析式求出B、C两点坐标，用勾股定理计算△ABC三边长，通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形且直角为∠ABC；由于MN垂直x轴，△ONM的直角为∠ONM，两个直角三角形全等分两种对应情况讨论，分别列方程求解，若方程有解则存在对应点N，无解则不存在。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点为$A(1,1)$，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+1$。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，将$x=0,y=0$代入得：
$0=a×(0-1)^2+1$，解得$a=-1$。
∴抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+1$，整理得$y=-x^2+2x$。
(2) 不存在满足条件的$△ ONM$，理由如下：
联立抛物线与直线$y=x-2$的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=-x^2+2x\\y=x-2\end{cases}$
整理得$x^2-x-2=0$，解得$x_1=2,x_2=-1$。
代入直线方程得$B(2,0)$，$C(-1,-3)$。
计算$△ ABC$的三边长：
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$
$BC=\sqrt{[2-(-1)]^2+[0-(-3)]^2}=3\sqrt{2}$
$AC=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-1)^2}=2\sqrt{5}$
∵$AB^2+BC^2=(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=20=AC^2$，
∴$∠ ABC=90°$。
设$N(x,0)$，则$M(x,-x^2+2x)$，
∵$MN⊥ x$轴，
∴$∠ MNO=90°=∠ ABC$，$ON=|x|$，$MN=|-x^2+2x|$。
分两种全等情况讨论：
① 当$△ ONM≌△ ABC$时，$ON=AB$，$MN=BC$，即$\begin{cases}|x|=\sqrt{2}\\-x^2+2x=\pm3\sqrt{2}\end{cases}$，代入验证无符合条件的解；
② 当$△ ONM≌△ CBA$时，$ON=BC$，$MN=AB$，即$\begin{cases}|x|=3\sqrt{2}\\-x^2+2x=\pm\sqrt{2}\end{cases}$，代入验证无符合条件的解。
故不存在满足条件的$△ ONM$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x$；
(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
二次函数解析式确定；全等三角形的性质；函数交点求解
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题时要根据已知条件选择最优的解析式求解方式，全等对应关系不明确时需分类讨论，处理坐标与线段长度的转化时要注意绝对值的使用，避免漏解。
【难度系数】
0.55
