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9. 小明和小丽玩纸片拼图游戏,他们发现利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式.例如,由图2,我们可以得到$(a+2b)(a+b)=a^2+3ab+2b^2.$
(1)由图3可以解释的等式是
(2)用边长为a的正方形卡片1张,长为b、宽为a的长方形卡片6张,边长为b的正方形卡片9张拼成一个正方形,则这个正方形的边长为
(3)小丽用5个长为b、宽为a的长方形按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中有未被覆盖的两个部分,设左上角的面积为$S_1$,右下角的面积为$S_2$,当BC的长变化时,$S_2 - S_1$的值始终保持不变.求a与b的数量关系.
(1)由图3可以解释的等式是
$(a+2b)(2a+b)=2a^2+5ab+2b^2$
.(2)用边长为a的正方形卡片1张,长为b、宽为a的长方形卡片6张,边长为b的正方形卡片9张拼成一个正方形,则这个正方形的边长为
$a+3b$
.(3)小丽用5个长为b、宽为a的长方形按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中有未被覆盖的两个部分,设左上角的面积为$S_1$,右下角的面积为$S_2$,当BC的长变化时,$S_2 - S_1$的值始终保持不变.求a与b的数量关系.
答案
9.(1)$(a+2b)(2a+b)=2a^2+5ab+2b^2$
(2)$a+3b$
(3)设$AD=x$,
$\therefore \quad S_1 = b(x-3a),S_2=2a(x-b).$
$\therefore \quad S_2-S_1=2a(x-b)-b(x-3a)$
$=(2a-b)x+ab.$
当$2a-b=0$时,$S_2-S_1$的值始终不变,
$\therefore \quad 2a=b.$
(2)$a+3b$
(3)设$AD=x$,
$\therefore \quad S_1 = b(x-3a),S_2=2a(x-b).$
$\therefore \quad S_2-S_1=2a(x-b)-b(x-3a)$
$=(2a-b)x+ab.$
当$2a-b=0$时,$S_2-S_1$的值始终不变,
$\therefore \quad 2a=b.$
