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7. 如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长方形纸条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长方形纸条，且两次剪下的长方形纸条的面积正好相等。如果设正方形的边长为x(cm)，则可列方程：
（第7题）
$5x=6(x-5)$
，解得x=30
。（第7题）答案
7. $5x=6(x-5)$;30
解析
【分析】
解题时首先明确两次剪下的长方形纸条的各边长度：第一次剪下的宽为5cm的长方形，长等于原正方形的边长x，据此可表示出它的面积；第一次剪完后剩下的长方形的较短边长为x-5，因此第二次剪下的宽为6cm的长方形，长为(x-5)，也可表示出它的面积。再根据“两次剪下的长方形纸条面积相等”这一等量关系，即可列出方程，最后解一元一次方程得到x的值。
【解析】
1. 表示两个长方形的面积：
第一次剪下的长方形纸条：宽为5cm，长为正方形边长x cm，面积为$5x \ \mathrm{cm}^2$；
第一次剪完后，剩余长方形的水平边长为$(x-5) \ \mathrm{cm}$，因此第二次剪下的宽为6cm的长方形纸条，长为$(x-5) \ \mathrm{cm}$，面积为$6(x-5) \ \mathrm{cm}^2$。
2. 列方程：
因为两次剪下的纸条面积相等，因此可列方程：$5x=6(x-5)$
3. 解方程：
展开右边得：$5x=6x-30$
移项得：$6x-5x=30$
解得：$x=30$
【答案】
$5x=6(x-5)$；30
【知识点】
长方形面积计算，列一元一次方程，一元一次方程求解
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用题，解题的关键是准确找到第二次剪下的长方形的长，理清两次裁剪后各边的长度变化，再根据等量关系列方程求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两次剪下的长方形纸条的各边长度：第一次剪下的宽为5cm的长方形，长等于原正方形的边长x，据此可表示出它的面积；第一次剪完后剩下的长方形的较短边长为x-5，因此第二次剪下的宽为6cm的长方形，长为(x-5)，也可表示出它的面积。再根据“两次剪下的长方形纸条面积相等”这一等量关系，即可列出方程，最后解一元一次方程得到x的值。
【解析】
1. 表示两个长方形的面积：
第一次剪下的长方形纸条：宽为5cm，长为正方形边长x cm，面积为$5x \ \mathrm{cm}^2$；
第一次剪完后，剩余长方形的水平边长为$(x-5) \ \mathrm{cm}$，因此第二次剪下的宽为6cm的长方形纸条，长为$(x-5) \ \mathrm{cm}$，面积为$6(x-5) \ \mathrm{cm}^2$。
2. 列方程：
因为两次剪下的纸条面积相等，因此可列方程：$5x=6(x-5)$
3. 解方程：
展开右边得：$5x=6x-30$
移项得：$6x-5x=30$
解得：$x=30$
【答案】
$5x=6(x-5)$；30
【知识点】
长方形面积计算，列一元一次方程，一元一次方程求解
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用题，解题的关键是准确找到第二次剪下的长方形的长，理清两次裁剪后各边的长度变化，再根据等量关系列方程求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，现有底面直径为 16 cm，高为 30 cm 的圆柱形容器，里面装满了果汁。小方把果汁分装到 10 个高度相等且底面直径都为 8 cm 的圆柱形杯子里，每个杯子刚好装满。算一算，杯子的高度是多少？
答案
8. 设杯子的高度为 x(cm),则 $10π× (\dfrac{8}{2})^2× x=π× (\dfrac{16}{2})^2× 30$,解得 $x=12$。
解析
【分析】
本题属于等积变形问题，解题核心是抓住“果汁总体积不变”这一关键等量关系。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×(半径)²×高。先计算大容器中果汁的总体积，再表示出10个小杯子的总容积，根据两者体积相等列出一元一次方程，求解即可得到杯子的高度。
【解析】
解：设杯子的高度为$x$ cm。
大圆柱形容器的底面半径为$\frac{16}{2}=8$ cm，果汁体积为$π× 8^2 × 30$；
每个小杯子的底面半径为$\frac{8}{2}=4$ cm，10个杯子的总容积为$10× π× 4^2 × x$。
根据果汁体积不变列方程：
$10π× (\frac{8}{2})^2× x=π× (\frac{16}{2})^2× 30$
两边同时约去π化简得：
$10×16x = 64×30$
$160x = 1920$
解得$x=12$。
【答案】
12 cm
【知识点】
一元一次方程应用；圆柱体积计算；等积变形问题
【点评】
本题是典型的等积类方程应用题，解题关键是找准“形变体积不变”的等量关系，只要熟练掌握圆柱体积公式，就能正确列出方程求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.75
本题属于等积变形问题，解题核心是抓住“果汁总体积不变”这一关键等量关系。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×(半径)²×高。先计算大容器中果汁的总体积，再表示出10个小杯子的总容积，根据两者体积相等列出一元一次方程，求解即可得到杯子的高度。
【解析】
解：设杯子的高度为$x$ cm。
大圆柱形容器的底面半径为$\frac{16}{2}=8$ cm，果汁体积为$π× 8^2 × 30$；
每个小杯子的底面半径为$\frac{8}{2}=4$ cm，10个杯子的总容积为$10× π× 4^2 × x$。
根据果汁体积不变列方程：
$10π× (\frac{8}{2})^2× x=π× (\frac{16}{2})^2× 30$
两边同时约去π化简得：
$10×16x = 64×30$
$160x = 1920$
解得$x=12$。
【答案】
12 cm
【知识点】
一元一次方程应用；圆柱体积计算；等积变形问题
【点评】
本题是典型的等积类方程应用题，解题关键是找准“形变体积不变”的等量关系，只要熟练掌握圆柱体积公式，就能正确列出方程求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.75
9. 对联是中华传统文化的瑰宝。某对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边。一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$。某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm。若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长。
答案
9. 设天头长为 6x(cm),地头长为 4x(cm),则左、右边的宽为 x(cm),
根据题意,得 $100+(6x+4x)=4×(27+2x)$,解得 $x=4$。
所以边的宽为 4 cm,天头长为 24 cm。
根据题意,得 $100+(6x+4x)=4×(27+2x)$,解得 $x=4$。
所以边的宽为 4 cm,天头长为 24 cm。
解析
【分析】
遇到含比例关系的应用题，可先根据比例设每份长度为未知数，简化计算。本题先根据天头长与地头长的比6:4，设天头长为6x cm、地头长为4x cm，再结合边宽与天头、地头长度和的关系表示出边宽；接下来找到题中的核心等量关系：装裱后的长=4×装裱后的宽，分别表示出装裱后的长（对联长+天头长+地头长）和装裱后的宽（对联宽+2×边宽），代入等量关系列一元一次方程，求解后即可算出所求量。
【解析】
解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm。
由题意得，左、右边的宽为$\frac{1}{10}(6x+4x)=x$ cm。
装裱后的长为对联长度加天头、地头长度：$100+6x+4x=100+10x$ cm，
装裱后的宽为对联宽度加左右两边宽度：$27+2x$ cm，
根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”，列方程得：
$100+10x=4×(27+2x)$
解方程：
$100+10x=108+8x$
$10x-8x=108-100$
$2x=8$
$x=4$
所以边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm。
【知识点】
1. 一元一次方程应用 2. 比例的应用 3. 和差倍关系
【点评】
本题结合传统对联装裱的生活场景出题，将数学知识和传统文化结合，解题关键是准确梳理各部分长度的数量关系，找到列方程的核心等量关系，是方程实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
遇到含比例关系的应用题，可先根据比例设每份长度为未知数，简化计算。本题先根据天头长与地头长的比6:4，设天头长为6x cm、地头长为4x cm，再结合边宽与天头、地头长度和的关系表示出边宽；接下来找到题中的核心等量关系：装裱后的长=4×装裱后的宽，分别表示出装裱后的长（对联长+天头长+地头长）和装裱后的宽（对联宽+2×边宽），代入等量关系列一元一次方程，求解后即可算出所求量。
【解析】
解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm。
由题意得，左、右边的宽为$\frac{1}{10}(6x+4x)=x$ cm。
装裱后的长为对联长度加天头、地头长度：$100+6x+4x=100+10x$ cm，
装裱后的宽为对联宽度加左右两边宽度：$27+2x$ cm，
根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”，列方程得：
$100+10x=4×(27+2x)$
解方程：
$100+10x=108+8x$
$10x-8x=108-100$
$2x=8$
$x=4$
所以边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm。
【知识点】
1. 一元一次方程应用 2. 比例的应用 3. 和差倍关系
【点评】
本题结合传统对联装裱的生活场景出题，将数学知识和传统文化结合，解题关键是准确梳理各部分长度的数量关系，找到列方程的核心等量关系，是方程实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
