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1.如图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，其中说明$△ COE ≌ △ DOE$ 的依据是(
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
A
).A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
A
解析
【分析】
这道题需要结合尺规作角平分线的操作过程，推导三角形全等的判定依据。思考时首先回忆作图每一步对应的相等线段：第一步以O为圆心画弧，可得到OC与OD相等；第二步分别以C、D为圆心画弧，可得到CE与DE相等；再加上两个三角形共有的公共边OE，就能得到三组对应边相等，对应全等判定定理即可得出答案。
【解析】
根据尺规作角平分线的步骤可得：
1. 以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D，因此 $OC=OD$；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于点E，因此 $CE=DE$；
3. OE是$△ COE$和$△ DOE$的公共边，因此 $OE=OE$。
在$△ COE$和$△ DOE$中：
$\begin{cases}OC=OD \\CE=DE \\OE=OE\end{cases}$
根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS），可得$△ COE ≌ △ DOE$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图过程考查全等三角形的判定，解题关键是明确作图步骤中隐含的相等线段，再结合全等判定定理判断即可，属于基础概念和操作的考查题型。
【难度系数】
0.9
这道题需要结合尺规作角平分线的操作过程，推导三角形全等的判定依据。思考时首先回忆作图每一步对应的相等线段：第一步以O为圆心画弧，可得到OC与OD相等；第二步分别以C、D为圆心画弧，可得到CE与DE相等；再加上两个三角形共有的公共边OE，就能得到三组对应边相等，对应全等判定定理即可得出答案。
【解析】
根据尺规作角平分线的步骤可得：
1. 以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D，因此 $OC=OD$；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于点E，因此 $CE=DE$；
3. OE是$△ COE$和$△ DOE$的公共边，因此 $OE=OE$。
在$△ COE$和$△ DOE$中：
$\begin{cases}OC=OD \\CE=DE \\OE=OE\end{cases}$
根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS），可得$△ COE ≌ △ DOE$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图过程考查全等三角形的判定，解题关键是明确作图步骤中隐含的相等线段，再结合全等判定定理判断即可，属于基础概念和操作的考查题型。
【难度系数】
0.9
2.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，$DE⊥ AC$，垂足为$E$，若$BD=6$，则$DE$的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
B
）.A.4
B.6
C.8
D.10
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：已知AD是∠BAC的角平分线，同时有∠B=90°即DB⊥AB，DE⊥AC。由此我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。其中点D在角平分线AD上，BD是点D到AB边的距离，DE是点D到AC边的距离，因此可直接推出二者相等，代入已知BD的长度即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
可得DE=BD，
又
∵BD=6，
∴DE=6。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是基础应用题，直接考查角平分线性质的运用，只要准确识别角平分线、角两边的垂线段这两个核心条件，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题干条件：已知AD是∠BAC的角平分线，同时有∠B=90°即DB⊥AB，DE⊥AC。由此我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。其中点D在角平分线AD上，BD是点D到AB边的距离，DE是点D到AC边的距离，因此可直接推出二者相等，代入已知BD的长度即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
可得DE=BD，
又
∵BD=6，
∴DE=6。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是基础应用题，直接考查角平分线性质的运用，只要准确识别角平分线、角两边的垂线段这两个核心条件，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，点F是射线AB上任意一点，则下列关系成立的是（
A.$PE=PF$
B.$PE＜PF$
C.$PE＞PF$
D.$PE≤ PF$
D
）.A.$PE=PF$
B.$PE＜PF$
C.$PE＞PF$
D.$PE≤ PF$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题中PE是点P到AC边的距离，我们可以过点P作AB边的垂线段，这条垂线段的长度和PE相等。再结合垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，即可判断PE和PF的大小关系。
【解析】
过点P作$PH⊥AB$，垂足为H。
∵AD是$∠BAC$的平分线，点P在AD上，$PE⊥AC$，$PH⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得：$PE=PH$。
∵点F是射线AB上任意一点，根据垂线段最短可知，点P到AB上点的连线中，垂线段PH最短，
∴$PH≤PF$，当且仅当F与H重合（即$PF⊥AB$）时，等号成立。
∴$PE≤PF$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题解题的关键是利用角平分线的性质将PE转化为点P到AB的垂线段长度，再结合垂线段最短的性质判断线段大小关系，注意不要忽略PF与垂线段重合的特殊情况。
【难度系数】
0.7
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题中PE是点P到AC边的距离，我们可以过点P作AB边的垂线段，这条垂线段的长度和PE相等。再结合垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，即可判断PE和PF的大小关系。
【解析】
过点P作$PH⊥AB$，垂足为H。
∵AD是$∠BAC$的平分线，点P在AD上，$PE⊥AC$，$PH⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得：$PE=PH$。
∵点F是射线AB上任意一点，根据垂线段最短可知，点P到AB上点的连线中，垂线段PH最短，
∴$PH≤PF$，当且仅当F与H重合（即$PF⊥AB$）时，等号成立。
∴$PE≤PF$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题解题的关键是利用角平分线的性质将PE转化为点P到AB的垂线段长度，再结合垂线段最短的性质判断线段大小关系，注意不要忽略PF与垂线段重合的特殊情况。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知$∠ AOB$,以点$O$为圆心,任意长度为半径画弧,分别交$OA$,$OB$于点$E$,$F$,再以点$E$为圆心,$EF$的长为半径画弧,交前弧于点$D$,画射线$OD$.若$∠ AOB=28°$,则$∠ AOD$的度数为________.
A
A
答案
$28°$
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断该操作是作一个角等于已知角，我们可以通过寻找相等线段证明三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质推导角的数量关系。第一步先提取作图得到的相等线段：以O为圆心画弧可得OD=OE=OF，以E为圆心EF为半径画弧可得ED=EF，由此可通过SSS判定△ODE与△OFE全等，进而得到∠AOD=∠AOB，代入已知角度即可求解。
【解析】
由尺规作图的步骤可得：
$OD=OF$，$OE=OE$，$ED=EF$，
在$△ ODE$和$△ OFE$中：
$\begin{cases}OD=OF \\OE=OE \\ED=EF\end{cases}$
$\therefore △ ODE ≌ △ OFE$（SSS），
$\therefore ∠ DOE = ∠ FOE$，即$∠ AOD = ∠ AOB$，
$\because ∠ AOB=28°$，
$\therefore ∠ AOD=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
尺规作等角、全等三角形SSS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查尺规作图的原理与全等三角形的应用，解题的关键是能从作图步骤中提取出相等的线段，进而通过全等三角形的判定得到角的等量关系，熟练掌握基本尺规作图的操作和全等判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断该操作是作一个角等于已知角，我们可以通过寻找相等线段证明三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质推导角的数量关系。第一步先提取作图得到的相等线段：以O为圆心画弧可得OD=OE=OF，以E为圆心EF为半径画弧可得ED=EF，由此可通过SSS判定△ODE与△OFE全等，进而得到∠AOD=∠AOB，代入已知角度即可求解。
【解析】
由尺规作图的步骤可得：
$OD=OF$，$OE=OE$，$ED=EF$，
在$△ ODE$和$△ OFE$中：
$\begin{cases}OD=OF \\OE=OE \\ED=EF\end{cases}$
$\therefore △ ODE ≌ △ OFE$（SSS），
$\therefore ∠ DOE = ∠ FOE$，即$∠ AOD = ∠ AOB$，
$\because ∠ AOB=28°$，
$\therefore ∠ AOD=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
尺规作等角、全等三角形SSS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查尺规作图的原理与全等三角形的应用，解题的关键是能从作图步骤中提取出相等的线段，进而通过全等三角形的判定得到角的等量关系，熟练掌握基本尺规作图的操作和全等判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
5.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，若$AB=5$，$AC=3$，则$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=$
$\frac{3}{8}$
。答案
$\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要求两个三角形的面积比，可结合角平分线的性质分析：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D向AB、AC作垂线，可得△ABD和△ACD的高相等，此时两个三角形的面积比等于对应底AB、AC的比，再结合△ABC的面积是两个小三角形面积之和，即可求出最终比值。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，$DF ⊥ AC$于点F。
∵AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB·DE}{\frac{1}{2}AC·DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$。
设$S_{△ ACD}=3k$（$k＞0$），则$S_{△ ABD}=5k$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=5k+3k=8k$，
∴$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=\frac{3k}{8k}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例运算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质将面积比转化为线段长度比，解题时要熟练掌握等高三角形的面积比等于对应底边长的比这一规律，体会转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
要求两个三角形的面积比，可结合角平分线的性质分析：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点D向AB、AC作垂线，可得△ABD和△ACD的高相等，此时两个三角形的面积比等于对应底AB、AC的比，再结合△ABC的面积是两个小三角形面积之和，即可求出最终比值。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，$DF ⊥ AC$于点F。
∵AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB·DE}{\frac{1}{2}AC·DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$。
设$S_{△ ACD}=3k$（$k＞0$），则$S_{△ ABD}=5k$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=5k+3k=8k$，
∴$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}=\frac{3k}{8k}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例运算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质将面积比转化为线段长度比，解题时要熟练掌握等高三角形的面积比等于对应底边长的比这一规律，体会转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
6.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证EB＝FC. 
答案
$\because AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore DE=DF,∠ BED=∠ CFD=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$.
$\therefore EB=FC$.
在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$.
$\therefore EB=FC$.
解析
【分析】
要证明EB=FC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合已知条件：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线的性质可得到DE=DF，且△BED和△CFD都是直角三角形；再结合已知BD=CD，可利用直角三角形全等的HL判定定理，证明Rt△BED≌Rt△CFD，最后根据全等三角形对应边相等即可得到EB=FC。
【解析】
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC。
【答案】
EB=FC
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题的关键是先利用角平分线性质得到相等的垂线段，再结合已知等边证明直角三角形全等，即可推导得到待证结论，需熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
要证明EB=FC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合已知条件：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线的性质可得到DE=DF，且△BED和△CFD都是直角三角形；再结合已知BD=CD，可利用直角三角形全等的HL判定定理，证明Rt△BED≌Rt△CFD，最后根据全等三角形对应边相等即可得到EB=FC。
【解析】
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC。
【答案】
EB=FC
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题的关键是先利用角平分线性质得到相等的垂线段，再结合已知等边证明直角三角形全等，即可推导得到待证结论，需熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
