5.如图,一个大正方形由9个大小相同的小正方形组成,其中2个小正方形已被涂成灰色.如果要再将一个小正方形涂成灰色,使涂灰部分成为一个轴对称图形,那么一共有种涂法.

5.共有5种画法.故答案为5.

【分析】
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。我们先确定已有2个灰色小正方形的位置，接下来可以通过两种思路找符合要求的涂色位置：一是先列举大正方形所有可能的对称轴，再找第三个灰色块的位置，使三个灰色块关于该对称轴对称；二是逐一尝试给剩余空白小正方形涂色，判断涂完后整体是否为轴对称图形，最后统计符合要求的涂法总数即可。
【解析】
已知大正方形是3×3的方格，已涂色的是第一行第二列、第二行第一列的小正方形。根据轴对称图形的定义，我们逐一验证剩余空白方格的涂色效果：
1. 涂第一行第一列的小正方形：整体关于从左上到右下的对角线对称，符合要求；
2. 涂第二行第二列的小正方形：整体关于从左上到右下的对角线对称，符合要求；
3. 涂第二行第三列的小正方形：整体关于过第二列的竖直直线对称，符合要求；
4. 涂第三行第二列的小正方形：整体关于过第二行的水平直线对称，符合要求；
5. 涂第三行第三列的小正方形：整体关于从左上到右下的对角线对称，符合要求。
其余位置涂色后均无法找到对称轴使图形重合，因此共有5种符合要求的涂法。
【答案】
共有5种画法.故答案为5.
【知识点】
轴对称图形的判定，画轴对称图形
【点评】
本题考查轴对称图形的实际应用，解题时要有序思考，结合不同方向的对称轴逐一验证，避免出现漏解或重复计数的问题。
【难度系数】
0.7

6.如图,已知 AB 比 AC 长 4 cm,BC 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,△ACD 的周长是 20 cm,则 AB=,AC=.

6.12 cm 8 cm

【分析】
解题时首先观察题干条件，看到BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，可得BD=CD；接下来将△ACD的周长进行转化，把CD替换为BD，就会发现周长正好是AB与AC的长度和；最后结合已知AB比AC长4cm的数量关系，通过和差计算或者列方程即可求出AB和AC的长度。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△ACD的周长为20cm，
∴$AC + AD + CD = 20\mathrm{cm}$，
将CD替换为BD，可得：$AC + AD + BD = AC + AB = 20\mathrm{cm}$。
由题意知AB比AC长4cm，即$AB - AC = 4\mathrm{cm}$。
联立得：
$\begin{cases}AB + AC = 20\\AB - AC = 4\end{cases}$
两式相加得$2AB=24$，解得$AB=12\mathrm{cm}$，
将$AB=12$代入$AB + AC=20$，得$AC=20-12=8\mathrm{cm}$。
【答案】
12 cm；8 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；和差问题求解
【点评】
本题是基础常考题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现等线段替换，将未知的三角形周长转化为所求两条边的和，再结合边长的差的条件就能快速求出结果，解题时要注意条件的转化，不要被无关线段干扰。
【难度系数】
0.7

7.如图,在$△ ABC$中,点$A$关于直线$BD$的对称点$E$在边$BC$上,若$∠ CDE=20°$,$∠ ABC=80°$,则$∠ BCA=$.

7.$40°$

【分析】
解题时先利用轴对称的性质得到相等的角，可知BD平分∠ABC，且∠A和∠BED相等；再结合三角形外角的性质，得到∠BED和∠C、∠CDE的数量关系，进而建立∠A与∠C的关系；最后利用三角形内角和为180°列等式计算即可求出∠BCA的度数。
【解析】
∵ 点A关于直线BD的对称点为E，
∴ BD平分∠ABC，且$∠ A = ∠ BED$，
∵ $∠ ABC=80°$，
∴ $∠ EBD = \frac{1}{2}∠ ABC = 40°$，
∵ $∠ BED$是$△ CDE$的外角，$∠ CDE=20°$，
∴ $∠ BED = ∠ BCA + ∠ CDE = ∠ BCA + 20°$，
∴ $∠ A = ∠ BCA + 20°$，
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ BCA = 180°$，
将$∠ A = ∠ BCA + 20°$、$∠ ABC=80°$代入得：
$∠ BCA + 20° + 80° + ∠ BCA = 180°$，
解得：$2∠ BCA = 80°$，即$∠ BCA=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
轴对称的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是熟练运用轴对称性质得到相等的角，再结合三角形角度计算的相关定理建立等量关系求解，能有效检验学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

8.如图,在正方形$ABCD$中,$E$,$F$分别为$AD$,$BC$的中点,$P$为对角线$BD$上的一个动点.若$AF=\sqrt{5}$,则$AP+EP$的最小值为________.

8.$\sqrt{5}$

【分析】
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：①首先利用正方形的轴对称性，对角线BD是正方形的一条对称轴，点A与点C关于BD对称，因此AP=CP，可将待求的AP+EP转化为CP+EP；②根据两点之间线段最短，可知CP+EP的最小值为线段EC的长度，即AP+EP的最小值等于EC的长；③最后证明EC与AF相等即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于对角线BD对称，AD//BC，AD=BC，
∴AP=CP，
∴AP+EP = CP+EP，
根据两点之间线段最短，当E、P、C三点共线时，CP+EP取得最小值，最小值为线段EC的长度。
∵E是AD中点，F是BC中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$ AD，FC = $\frac{1}{2}$ BC，
∴AE//FC且AE=FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EC=AF=$\sqrt{5}$，
即AP+EP的最小值为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；正方形的性质
【点评】
本题考查最短路径模型在正方形中的应用，核心是利用轴对称将两条线段的和转化为共线时的线段长度，结合特殊四边形的性质求解，是轴对称应用的基础题型，需要熟练掌握将军饮马模型的应用方法。
【难度系数】
0.7

9.已知$∠ MAN=30°$,点B为边AM上一个定点,点P为线段AB上一个动点(不与点A,B重合),点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,BQ,点A关于直线BQ的对称点为点C,连接PQ,CP.
(1)如图①,若点P为线段AB的中点.
①求$∠ AQB$的度数.
②依题意补全图形,并直接写出线段CP与BQ的数量关系为.
(2)如图②,若线段CP与BQ相交于点D.设$∠ BQP=α$,求$∠ CPQ$的大小(用含$α$的式子表示).

9.(1)①$\because$点P,Q关于AN对称,$\therefore AP=AQ$,$∠ PAN=∠ QAN=30°$.
$\therefore ∠ PQA=∠ APQ=∠ QAP=60°.\therefore PQ=PA$.
$\because$点P为线段AB的中点,$\therefore PB=PA$.
$\therefore PQ=PB.\therefore ∠ PBQ=∠ PQB=30°.\therefore ∠ AQB=90°$.
② 补全图形如图所示.
数量关系:$BQ=PC$.
(2)如图,连接BC,CQ.
$\because$点A,C关于BQ对称,$\therefore BC=BA$,$CQ=AQ$.
在$△ BQC$与$△ BQA$中,
$\begin{cases} BC=BA, \\ CQ=AQ, \\ BQ=BQ, \end{cases}$
$\therefore △ BQC ≌ △ BQA(\mathrm{SSS})$.
$\therefore ∠ BCQ=∠ BAQ=60°$,$∠ CBQ=∠ ABQ$.
$\because ∠ APQ=60°$,$\therefore ∠ ABQ=60°-α$.
$\therefore ∠ ABC=2(60°-α)=120°-2α$.
设$∠ QCP=∠ QPC=x$.
$\therefore ∠ BCP=60°-x.\because ∠ PCB+∠ CBP=∠ CPA$.
$\therefore 60°-x+120°-2α=x+60°$.
$\therefore x=60°-α.\therefore ∠ CPQ=60°-α$.

【分析】
（1）①首先利用轴对称的性质得到边和角的等量关系，先证明△APQ是等边三角形，再结合P是AB中点得到PQ=PB，利用等腰三角形的外角性质求出∠PQB，最后求和得到∠AQB的度数；②根据轴对称的定义补全图形，再通过对称得到的等边、等线段关系推导CP和BQ的数量关系。
（2）先连接BC、CQ，利用轴对称性质得到两组等边，通过SSS证明△BQC≌△BQA得到对应角相等，再用含α的式子表示出相关角，最后结合三角形外角性质列等式求解∠CPQ即可。
【解析】
(1)①$\because$点P,Q关于AN对称,$\therefore AP=AQ$,$∠ PAN=∠ QAN=30°$，
$\therefore ∠QAP=30°+30°=60°$，
$\therefore △APQ$为等边三角形，$\therefore ∠ AQP=∠ APQ=60°,PQ=PA$，
$\because$点P为线段AB的中点，$\therefore PB=PA$，
$\therefore PQ=PB$，$\therefore ∠ PBQ=∠ PQB$，
$\because ∠APQ$是$△BPQ$的外角，$\therefore 2∠PQB=60°$，即$∠PQB=30°$，
$\therefore ∠AQB=∠PQB+∠AQP=30°+60°=90°$。
②依题意补全图形：

结合轴对称和等边三角形性质，可得$BQ=PC$。
(2)连接BC,CQ，如图所示：

$\because$点A,C关于BQ对称，$\therefore BC=BA$,$CQ=AQ$，
在$△ BQC$与$△ BQA$中,
$\begin{cases} BC=BA, \\ CQ=AQ, \\ BQ=BQ, \end{cases}$
$\therefore △ BQC ≌ △ BQA(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BCQ=∠ BAQ=60°$,$∠ CBQ=∠ ABQ$，
由(1)知$∠ APQ=60°$，在$△BPQ$中，$∠ABQ=∠APQ-∠BQP=60°-α$，
$\therefore ∠ ABC=2∠ABQ=2(60°-α)=120°-2α$，
由$CQ=AQ=PQ$，设$∠ QCP=∠ QPC=x$，则$∠ BCP=60°-x$，
$\because ∠ CPA$是$△BCP$的外角，$\therefore ∠ CPA=∠PCB+∠CBP$，
又$\because ∠CPA=∠CPQ+∠APQ=x+60°$，
代入得：$60°-x+120°-2α=x+60°$，
解得$x=60°-α$，即$∠ CPQ=60°-α$。
【答案】
(1)①$∠AQB=90°$；
②补全图形：，数量关系：$\boldsymbol{BQ=PC}$；
(2)$∠CPQ=\boldsymbol{60°-α}$
【知识点】
轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以轴对称变换为背景，综合考查了对称的性质、三角形全等证明、角度计算，解题时要充分利用轴对称得到相等的线段和角，结合等腰、等边三角形的性质逐步推导，合理设未知数可简化角度计算过程。
【难度系数】
0.6