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1.《九章算术》中记载，“今有勾八步，股一十五步。问勾中容圆，径几何”。意思是：今有一个直角三角形（如图所示），勾（短直角边）长为8步（“步”为我国古代长度单位），股（长直角边）长为15步，该直角三角形内切圆的直径是()
A.3步
B.4步
C.5步
D.6步
A.3步
B.4步
C.5步
D.6步
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可按以下思路逐步推导：第一步，先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步，结合内切圆的性质，用等面积法求出内切圆半径；第三步，将半径乘2得到直径，对应匹配选项即可。
【解析】
解：首先根据勾股定理计算直角三角形的斜边（弦）长度：
斜边 $ c = \sqrt{勾^2 + 股^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
设该直角三角形内切圆的半径为 $ r $，内切圆的圆心到三边的距离均等于半径 $ r $，根据等面积法，直角三角形的总面积等于以内切圆圆心为顶点，分别连接三个顶点得到的三个小三角形的面积之和：
直角三角形总面积 $ S = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60 $
同时 $ S = \frac{1}{2} × 8 × r + \frac{1}{2} × 15 × r + \frac{1}{2} × 17 × r = \frac{1}{2} × (8+15+17)r = 20r $
联立得：$ 20r = 60 $，解得 $ r = 3 $
因此内切圆直径为 $ 2r = 2 × 3 = 6 $（步）
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；内切圆性质；等面积法
【点评】
本题结合我国古代数学名著的内容出题，兼具趣味性和知识性，核心考查直角三角形内切圆半径的计算，解题时注意最后所求为直径，避免只算出半径就直接选答案的低级失误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可按以下思路逐步推导：第一步，先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步，结合内切圆的性质，用等面积法求出内切圆半径；第三步，将半径乘2得到直径，对应匹配选项即可。
【解析】
解：首先根据勾股定理计算直角三角形的斜边（弦）长度：
斜边 $ c = \sqrt{勾^2 + 股^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
设该直角三角形内切圆的半径为 $ r $，内切圆的圆心到三边的距离均等于半径 $ r $，根据等面积法，直角三角形的总面积等于以内切圆圆心为顶点，分别连接三个顶点得到的三个小三角形的面积之和：
直角三角形总面积 $ S = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60 $
同时 $ S = \frac{1}{2} × 8 × r + \frac{1}{2} × 15 × r + \frac{1}{2} × 17 × r = \frac{1}{2} × (8+15+17)r = 20r $
联立得：$ 20r = 60 $，解得 $ r = 3 $
因此内切圆直径为 $ 2r = 2 × 3 = 6 $（步）
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；内切圆性质；等面积法
【点评】
本题结合我国古代数学名著的内容出题，兼具趣味性和知识性，核心考查直角三角形内切圆半径的计算，解题时注意最后所求为直径，避免只算出半径就直接选答案的低级失误。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆。若$∠ BOC=117°$，则$∠ A=(\quad)$
A.$54°$
B.$55°$
C.$56°$
D.$60°$
A.$54°$
B.$55°$
C.$56°$
D.$60°$
答案
A
解析
【分析】
解题思路：首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。第一步先在△BOC中利用三角形内角和定理求出∠OBC与∠OCB的和；第二步根据角平分线的性质，得到∠ABC与∠ACB的和是∠OBC+∠OCB的2倍；第三步在△ABC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点$O$是$△ ABC$的内心，即$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ ACB$，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC=117°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-117°=63°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×63°=126°$。
在$△ ABC$中，$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-126°=54°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是牢记三角形内切圆圆心（内心）是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。第一步先在△BOC中利用三角形内角和定理求出∠OBC与∠OCB的和；第二步根据角平分线的性质，得到∠ABC与∠ACB的和是∠OBC+∠OCB的2倍；第三步在△ABC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点$O$是$△ ABC$的内心，即$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ ACB$，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC=117°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-117°=63°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ OBC+∠ OCB)=2×63°=126°$。
在$△ ABC$中，$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-126°=54°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是牢记三角形内切圆圆心（内心）是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 提升题 如图，点O是$△ ABC$的内心，过点O作$OD ⊥ AB$，$OE ⊥ AC$，$OF ⊥ BC$，垂足分别为D，E，F。下列结论一定成立的是()
A.O是$△ DEF$三条高的交点
B.O是$△ DEF$三条中线的交点
C.O是$△ DEF$三条角平分线的交点
D.O是$△ DEF$三边垂直平分线的交点
A.O是$△ DEF$三条高的交点
B.O是$△ DEF$三条中线的交点
C.O是$△ DEF$三条角平分线的交点
D.O是$△ DEF$三边垂直平分线的交点
答案
D
解析
【分析】
首先明确已知条件：点O是△ABC的内心，根据内心的性质，内心是三角形内角角平分线的交点，且角平分线上的点到角两边的距离相等，可得OD=OE=OF。接下来回忆三角形各特殊点的特征：高的交点是垂心、中线交点是重心、角平分线交点是内心（到三边距离相等）、三边垂直平分线交点是外心（到三个顶点距离相等）。已知O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等，因此可判断O是△DEF的外心，对应三边垂直平分线的交点，即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的内心，
∴O是△ABC三个内角角平分线的交点，
又
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OD=OE=OF，
即点O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等，
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，
可知点O在DE、EF、FD的垂直平分线上，
∴O是△DEF三边垂直平分线的交点。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题考查三角形特殊点的判定，解题核心是利用三角形内心到三边距离相等的性质，推导出点O到△DEF三个顶点的距离相等，进而判断出O是△DEF的外心，需要同学们准确区分三角形各类特殊点的定义和性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
首先明确已知条件：点O是△ABC的内心，根据内心的性质，内心是三角形内角角平分线的交点，且角平分线上的点到角两边的距离相等，可得OD=OE=OF。接下来回忆三角形各特殊点的特征：高的交点是垂心、中线交点是重心、角平分线交点是内心（到三边距离相等）、三边垂直平分线交点是外心（到三个顶点距离相等）。已知O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等，因此可判断O是△DEF的外心，对应三边垂直平分线的交点，即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的内心，
∴O是△ABC三个内角角平分线的交点，
又
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OD=OE=OF，
即点O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等，
根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，
可知点O在DE、EF、FD的垂直平分线上，
∴O是△DEF三边垂直平分线的交点。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题考查三角形特殊点的判定，解题核心是利用三角形内心到三边距离相等的性质，推导出点O到△DEF三个顶点的距离相等，进而判断出O是△DEF的外心，需要同学们准确区分三角形各类特殊点的定义和性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
4.如图，AB是$\odot O$的直径，BC与$\odot O$相切于点B，连接AC，交$\odot O$于点D，$∠ C=40°$，点E在$\overset{\frown}{BD}$上，则$∠ AED=$°。
答案
$\boldsymbol{40}$
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，根据切线的性质，切线与过切点的直径垂直，可得AB⊥BC，得到Rt△ABC，结合已知∠C=40°，可得到∠C与∠BAC互余；第二步，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，因此∠ABD与∠BAC也互余，利用同角的余角相等，即可推出∠ABD=∠C；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠AED和∠ABD都对应弧AD，因此∠AED=∠ABD，即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，BC与$\odot O$相切于点B，
∴$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ C=90°$。
又
∵AB是$\odot O$的直径，
∴直径AB所对的圆周角$∠ ADB=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ ABD=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ ABD=∠ C=40°$。
∵$∠ AED$和$∠ ABD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ AED=∠ ABD=40°$。
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质、圆周角定理以及直角三角形的角度关系，通过余角的性质推导等角，再结合圆周角的性质即可快速求解，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，根据切线的性质，切线与过切点的直径垂直，可得AB⊥BC，得到Rt△ABC，结合已知∠C=40°，可得到∠C与∠BAC互余；第二步，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，因此∠ABD与∠BAC也互余，利用同角的余角相等，即可推出∠ABD=∠C；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠AED和∠ABD都对应弧AD，因此∠AED=∠ABD，即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，BC与$\odot O$相切于点B，
∴$AB⊥ BC$，即$∠ ABC=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ C=90°$。
又
∵AB是$\odot O$的直径，
∴直径AB所对的圆周角$∠ ADB=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ ABD=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ ABD=∠ C=40°$。
∵$∠ AED$和$∠ ABD$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ AED=∠ ABD=40°$。
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质、圆周角定理以及直角三角形的角度关系，通过余角的性质推导等角，再结合圆周角的性质即可快速求解，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
5.如图，AB是$\odot O$的直径，点C在半圆上，CD与$\odot O$相切于点C，$OD⊥ AB$。若$∠ CAB=20°$，则$∠ D=$°。
答案
$\boldsymbol{40}$
解析
【分析】
解决本题的常规思路是先连接圆心和切点OC，这是切线相关问题的常用辅助线。首先利用同圆半径相等得到等腰△OAC，求出圆心角∠COB的度数；再结合OD⊥AB的条件求出∠COD的度数；最后根据切线的性质得到OC⊥CD，在直角△OCD中利用两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA=OC（同圆半径相等），∠CAB=20°，
∴ ∠OCA=∠CAB=20°，
∴ ∠COB=∠CAB+∠OCA=2×20°=40°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠DOB=90°，
∴ ∠COD=∠DOB - ∠COB=90°-40°=50°。
∵ CD与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠OCD=90°。
在Rt△OCD中，∠D + ∠COD=90°，
∴ ∠D=90°-50°=40°。
【答案】
40
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法，结合三角形角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的常规思路是先连接圆心和切点OC，这是切线相关问题的常用辅助线。首先利用同圆半径相等得到等腰△OAC，求出圆心角∠COB的度数；再结合OD⊥AB的条件求出∠COD的度数；最后根据切线的性质得到OC⊥CD，在直角△OCD中利用两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA=OC（同圆半径相等），∠CAB=20°，
∴ ∠OCA=∠CAB=20°，
∴ ∠COB=∠CAB+∠OCA=2×20°=40°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠DOB=90°，
∴ ∠COD=∠DOB - ∠COB=90°-40°=50°。
∵ CD与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠OCD=90°。
在Rt△OCD中，∠D + ∠COD=90°，
∴ ∠D=90°-50°=40°。
【答案】
40
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法，结合三角形角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$∠ EAC = ∠ CAB$，直线$CD ⊥ AE$于点D，交AB的延长线于点F。求证：直线CD是$\odot O$的切线。
答案
证明：连接OC，
∵ OA=OC，
∴ ∠CAB=∠OCA，
又∵ ∠EAC=∠CAB，
∴ ∠EAC=∠OCA，
∴ AE//OC，
∵ CD⊥AE，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠OCF=∠ADC=90°，即OC⊥CD，
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ 直线CD是⊙O的切线。
∵ OA=OC，
∴ ∠CAB=∠OCA，
又∵ ∠EAC=∠CAB，
∴ ∠EAC=∠OCA，
∴ AE//OC，
∵ CD⊥AE，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠OCF=∠ADC=90°，即OC⊥CD，
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ 直线CD是⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明直线CD是$\odot O$的切线，已知点C在$\odot O$上，根据切线的判定定理，只需证明半径OC与CD垂直即可。首先连接辅助线OC，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合题目给出的$∠EAC=∠CAB$，可推出$∠EAC=∠OCA$，进而得到$AE// OC$；再结合$CD⊥AE$的条件，即可推出$OC⊥CD$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：连接OC，
∵ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ $∠CAB=∠OCA$（等腰三角形等边对等角），
又
∵ $∠EAC=∠CAB$（已知），
∴ $∠EAC=∠OCA$（等量代换），
∴ $AE// OC$（内错角相等，两直线平行），
∵ $CD⊥AE$（已知），
∴ $∠ADC=90°$（垂直的定义），
∴ $∠OCF=∠ADC=90°$（两直线平行，同位角相等），即$OC⊥CD$，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ 直线CD是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：连接OC，
∵ OA=OC，
∴ $∠CAB=∠OCA$，
又
∵ $∠EAC=∠CAB$，
∴ $∠EAC=∠OCA$，
∴ $AE//OC$，
∵ $CD⊥AE$，
∴ $∠ADC=90°$，
∴ $∠OCF=∠ADC=90°$，即$OC⊥CD$，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ 直线CD是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆切线判定的典型基础题，解题关键是掌握“连半径，证垂直”的切线证明常用思路，通过角的等量代换推导平行关系，进而得到垂直结论，熟练掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要证明直线CD是$\odot O$的切线，已知点C在$\odot O$上，根据切线的判定定理，只需证明半径OC与CD垂直即可。首先连接辅助线OC，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合题目给出的$∠EAC=∠CAB$，可推出$∠EAC=∠OCA$，进而得到$AE// OC$；再结合$CD⊥AE$的条件，即可推出$OC⊥CD$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：连接OC，
∵ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ $∠CAB=∠OCA$（等腰三角形等边对等角），
又
∵ $∠EAC=∠CAB$（已知），
∴ $∠EAC=∠OCA$（等量代换），
∴ $AE// OC$（内错角相等，两直线平行），
∵ $CD⊥AE$（已知），
∴ $∠ADC=90°$（垂直的定义），
∴ $∠OCF=∠ADC=90°$（两直线平行，同位角相等），即$OC⊥CD$，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ 直线CD是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：连接OC，
∵ OA=OC，
∴ $∠CAB=∠OCA$，
又
∵ $∠EAC=∠CAB$，
∴ $∠EAC=∠OCA$，
∴ $AE//OC$，
∵ $CD⊥AE$，
∴ $∠ADC=90°$，
∴ $∠OCF=∠ADC=90°$，即$OC⊥CD$，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ 直线CD是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆切线判定的典型基础题，解题关键是掌握“连半径，证垂直”的切线证明常用思路，通过角的等量代换推导平行关系，进而得到垂直结论，熟练掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
