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7.已知$a$，$b$分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$两边的长，且满足$\sqrt{a^2 -9}+(b-4)^2=0$，则第三边长是（）
A.5或$\sqrt{7}$
B.5
C.$\sqrt{7}$
D.5或$\sqrt{65}$
A.5或$\sqrt{7}$
B.5
C.$\sqrt{7}$
D.5或$\sqrt{65}$
答案
A
解析
根据非负数的性质，算术平方根和平方数均非负，若两非负数之和为0，则两部分各自为0：
1. 由$\sqrt{a^2 -9}+(b-4)^2=0$，得$a^2-9=0$，$b-4=0$，解得正边长$a=3$，$b=4$。
2. 分两种情况用勾股定理计算第三边：
① 若第三边为斜边，第三边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$；
② 若边长4为斜边，第三边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
因此第三边长是5或$\sqrt{7}$。
1. 由$\sqrt{a^2 -9}+(b-4)^2=0$，得$a^2-9=0$，$b-4=0$，解得正边长$a=3$，$b=4$。
2. 分两种情况用勾股定理计算第三边：
① 若第三边为斜边，第三边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$；
② 若边长4为斜边，第三边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
因此第三边长是5或$\sqrt{7}$。
8.把两个同样大小含$45°$的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上。若$AB=2$，则$CD=$。
答案
$\boldsymbol{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
解析
解：
过点A作AH⊥BD于点H。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴ 由勾股定理得：$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
∵ AH⊥BC，
∴ AH是等腰Rt△ABC斜边上的高，
∴ $AH = BH = CH = \frac{1}{2}BC = \sqrt{2}$。
∵ 两个三角尺大小相同，△AED是等腰直角三角形，∠E=90°，
∴ $AD = BC = 2\sqrt{2}$。
在Rt△AHD中，由勾股定理得：
$HD = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6}$。
∴ $CD = HD - CH = \sqrt{6} - \sqrt{2}$。
最终
过点A作AH⊥BD于点H。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴ 由勾股定理得：$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
∵ AH⊥BC，
∴ AH是等腰Rt△ABC斜边上的高，
∴ $AH = BH = CH = \frac{1}{2}BC = \sqrt{2}$。
∵ 两个三角尺大小相同，△AED是等腰直角三角形，∠E=90°，
∴ $AD = BC = 2\sqrt{2}$。
在Rt△AHD中，由勾股定理得：
$HD = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 - 2} = \sqrt{6}$。
∴ $CD = HD - CH = \sqrt{6} - \sqrt{2}$。
最终
9.如图，一张直角三角形纸片ABC，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，求CD的长.
答案
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，
∴ $AB = 10\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可知：
$AE = AC = 6\ \mathrm{cm}$，$CD = DE$，$∠ AED = ∠ C = 90°$，
∴ $BE = AB - AE = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm}$，$∠ DEB = 90°$。
设$CD = x\ \mathrm{cm}$，则$DE = x\ \mathrm{cm}$，$BD = (8 - x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$DE^2 + BE^2 = BD^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，
化简得 $x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
解得 $x = 3$。
答：CD的长为3 cm。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
由勾股定理得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$，
∴ $AB = 10\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可知：
$AE = AC = 6\ \mathrm{cm}$，$CD = DE$，$∠ AED = ∠ C = 90°$，
∴ $BE = AB - AE = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm}$，$∠ DEB = 90°$。
设$CD = x\ \mathrm{cm}$，则$DE = x\ \mathrm{cm}$，$BD = (8 - x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$DE^2 + BE^2 = BD^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，
化简得 $x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
解得 $x = 3$。
答：CD的长为3 cm。
10.如图,在等腰直角$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,点$P$在$AC$上,将$△ ABP$绕顶点$B$顺时针旋转$90°$后得到$△ CBQ$.
(1)求$∠ PCQ$的度数.
(2)当$AB=2\sqrt{2}$,$AP:PC=1:3$时,求$PQ$的长.
(3)当点$P$在线段$AC$上运动时(点$P$不与点$A$重合),请直接写出$PA^2,PC^2,PB^2$之间的数量关系.
(1)求$∠ PCQ$的度数.
(2)当$AB=2\sqrt{2}$,$AP:PC=1:3$时,求$PQ$的长.
(3)当点$P$在线段$AC$上运动时(点$P$不与点$A$重合),请直接写出$PA^2,PC^2,PB^2$之间的数量关系.
答案
解：
(1) 由旋转的性质得$△ ABP ≌ △ CBQ$，
$\therefore ∠ A = ∠ BCQ$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACB = 45°$，
$\therefore ∠ BCQ = 45°$，
$\therefore ∠ PCQ = ∠ ACB + ∠ BCQ = 45° + 45° = 90°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC=2\sqrt{2}$，$∠ ABC=90°$，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16$，
$\therefore AC = 4$。
$\because AP:PC = 1:3$，
$\therefore AP = 1$，$PC = 3$，
由旋转性质得$CQ = AP = 1$，
又$\because ∠ PCQ=90°$，在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{PC^2 + CQ^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
(3) $PA^2 + PC^2 = 2PB^2$。
(1) 由旋转的性质得$△ ABP ≌ △ CBQ$，
$\therefore ∠ A = ∠ BCQ$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACB = 45°$，
$\therefore ∠ BCQ = 45°$，
$\therefore ∠ PCQ = ∠ ACB + ∠ BCQ = 45° + 45° = 90°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC=2\sqrt{2}$，$∠ ABC=90°$，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16$，
$\therefore AC = 4$。
$\because AP:PC = 1:3$，
$\therefore AP = 1$，$PC = 3$，
由旋转性质得$CQ = AP = 1$，
又$\because ∠ PCQ=90°$，在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{PC^2 + CQ^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
(3) $PA^2 + PC^2 = 2PB^2$。
