1.「2026江西师大附中期中」如图，点A,B,C,D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆”可得,经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为6,故选D.

【分析】
解题首先要回忆确定圆的核心条件：不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，共线的三点无法确定圆。本题中A、B、C、D都在直线l上，因此若选取的三个点全部来自这四个共线点，无法画出圆；所以符合条件的三点组合必须包含直线外的点P，再从A、B、C、D中任选2个点，和P组成不共线的三点，计算这类组合的总数就是最多可画圆的个数。
【解析】
解：根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的规则分析：
1. 由于A、B、C、D四点在同一直线l上，因此任意三个都取自这四点的组合是共线的，无法确定圆；
2. 要确定圆，三点组合必须包含点P，再从A、B、C、D四个点中任选2个，与P构成不共线的三点，可选的组合有：P与A、B；P与A、C；P与A、D；P与B、C；P与B、D；P与C、D，共6种组合，每种组合均可确定1个圆。
因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件、组合计数
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的掌握，易错点是忽略共线三点无法确定圆的规则，解题时先排除不符合条件的共线三点组合，再统计有效组合数即可得到答案。
【难度系数】
0.7

2.「2025江苏徐州鼓楼月考」小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，四块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）

A.①
B.②
C.③
D.④

碎片①上有一条弧,可在这条弧上任作两条不重合的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径,可根据圆心和半径确定圆.故选A.

【分析】
要配到与原来大小一致的圆形镜子，核心是确定原圆的圆心和半径。根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，只要碎片带有一段完整的、长度足够的圆弧，就能在弧上取三个不共线的点，通过作弦的垂直平分线找到圆心、确定半径，还原原圆。观察四块碎片，只有①带有较长的完整圆弧，其余碎片弧长过短，无法完成圆心和半径的确定。
【解析】
已知不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，具体推导如下：
1. 碎片①上存在一段完整的圆弧，在该圆弧上任意选取三个不共线的点，连接得到两条不同的弦；
2. 根据垂直平分线的性质，弦的垂直平分线经过圆心，因此分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的长度即为原圆的半径；
3. 得到圆心和半径后即可确定和原镜子大小完全相同的圆。
碎片②、③、④的弧长过短，无法选取足够的点确定圆心，不符合要求。
【答案】A
【知识点】
确定圆的条件；垂直平分线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的基础性质，解题的关键是理解留存足够长度的圆弧即可确定原圆，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8

3.如图,点O是△ABC的外心,且∠BOC=110°,则∠OCB= °。

答案 35
解析
∵点O为△ABC的外心,
∴OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC.
∵∠BOC=110°,
∴∠OCB=1/2(180°−∠BOC)=35°.

【分析】
解题时首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心是其外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，由此可得OB=OC，即△OBC为等腰三角形，等腰三角形两个底角相等，再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠BOC的度数，即可求出底角∠OCB的度数。
【解析】
∵点O为△ABC的外心，
∴OB、OC均为△ABC外接圆的半径，即OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，∠OCB=∠OBC。
在△OBC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠OCB=½×(180°−∠BOC)=½×(180°−110°)=35°。
【答案】
35
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形外心性质的掌握，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求解，熟练掌握基础概念和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85

4. 聚焦中考
尺规作图「2025江苏连云港灌云月考」小明家的房前有一块空地，空地上有A,B,C三棵树（如图），小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上。请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。

解析 如图所示,⊙O即为所求。

【分析】
要使A、B、C三棵树都在圆形花坛的边上，即三点都在圆上，这个圆是△ABC的外接圆。根据圆的性质，圆心到圆上所有点的距离相等，因此我们需要找到到A、B、C三点距离相等的点作为圆心，这个点就是△ABC的外心，即三角形任意两边垂直平分线的交点。因此解题思路为：先作△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为圆心O，再以O为圆心，O到任意顶点的长度为半径画圆即可。
【解析】
所求圆形花坛为△ABC的外接圆，作图逻辑如下：
1. 作△ABC任意两边（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为O，根据垂直平分线的性质，点O到A、B、C三点的距离相等，即为外接圆的圆心；
2. 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径作圆，所得的⊙O就是符合要求的花坛。
【答案】

【知识点】
确定圆的条件，三角形外心，尺规作图
【点评】
本题结合生活实际考查三角形外接圆的画法，解题核心是理解三角形外心的性质，即外心到三角形三个顶点的距离相等，需要熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法。
【难度系数】
0.8

5.「2025江苏南京中考」下列图形中，一定有外接圆的是（）

A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形

任何三角形的三条边的垂直平分线都交于一点,且该点到三角形三个顶点的距离相等,该点即为外心,
∴三角形一定有外接圆,故选A.

【分析】
解题时先明确图形有外接圆的核心特征：图形的所有顶点都在同一个圆上，即存在一个点到所有顶点的距离相等。接下来逐个分析选项：首先回忆三角形的性质，任意三角形三边的垂直平分线交于一点，该点到三个顶点的距离相等，因此三角形必然存在外接圆；而四边形、五边形、六边形等多边形，只有满足所有顶点共圆的特殊条件时才有外接圆，并非所有这类多边形都一定有外接圆，据此即可选出正确选项。
【解析】
若一个图形有外接圆，则其所有顶点到外接圆圆心的距离相等。
任意三角形的三条边的垂直平分线都交于一点，这个点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，因此任意三角形都存在以外心为圆心、外心到顶点距离为半径的外接圆。
而任意的四边形、五边形、六边形，不一定存在到所有顶点距离相等的点，即不一定有外接圆，只有满足顶点共圆的特殊条件时才存在外接圆。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件、三角形外心性质、多边形外接圆
【点评】
本题考查图形外接圆的存在性判断，属于基础题，重点是掌握任意三角形一定有外接圆的结论，同时了解普通多边形只有满足顶点共圆的条件才有外接圆，注重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9

6.「2025江苏镇江三中月考，★☆」如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB=AC，连接OB，记∠C=α，∠CBO=β，则α，β满足的关系式为（）


A.$2β - α = 90°$
B.$2β - α = 180°$
C.$\frac{1}{2}β + α = 90°$
D.$2α - β = 90°$

∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=α,
∴∠CAB=180°−2α,
如图,连接OC,OA,

∵O为等腰三角形ABC的外心,
∴OB=OA=OC,
∴∠BCO=∠CBO=β,
∴∠ABO=∠ACO=α−β,
∴∠CAO=∠ACO=∠ABO=∠BAO=α−β,
∴∠CAB=2(α−β)=180°−2α,
∴2α−β=90°.故选D.

【分析】
解决本题首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，用含α的式子表示出△ABC的顶角∠CAB；再结合三角形外心的性质（外心到三角形三个顶点的距离相等），连接辅助线OA、OC，得到多个等腰三角形，用含α和β的式子表示出∠CAB；最后根据∠CAB的两个表达式相等，整理即可得到α和β的关系式。
【解析】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∴∠CAB=180°−2α，
如图，连接OC，OA，

∵O为等腰三角形ABC的外心，
∴OB=OA=OC，
∴∠BCO=∠CBO=β，
∴∠ABO=∠ACO=α−β，
又
∵OA=OC，OA=OB，
∴∠CAO=∠ACO=α−β，∠BAO=∠ABO=α−β，
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=2(α−β)，
∴2(α−β)=180°−2α，
整理得2α−β=90°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查等腰三角形和外心性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形，建立已知角与未知角的等量关系，这类题是圆的基础性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

7.「2026 江苏扬州邗江梅苑双语学校月考，★☆」若过平面直角坐标系中的三个点$A(1,0),B(0,2),C(-m, m^2 - 6)$能确定一个圆，则$m≠$。

答案 4或−2
解析 设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(1,0),B(0,2)代入得$\begin{cases} k+b=0, \\ b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=2, \end{cases}$
∴y=−2x+2,把C(−m,m²−6)代入y=−2x+2得,2m+2=m²−6,解得m₁=4,m₂=−2,
∴当m≠4且m≠−2时,点A,B,C能确定一个圆.故答案为4或−2.

【分析】
要解决本题，首先明确确定圆的核心条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，若三点共线则无法确定圆。因此解题思路为：先求出过A、B两点的直线解析式，再计算点C落在直线AB上时对应的m值，这几个m值就是需要排除的，即m不能取的值。
【解析】
设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(1,0)$、$B(0,2)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases} k+b=0 \\ b=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=2 \end{cases}$
因此直线AB的解析式为$y=-2x+2$。
若点$C(-m,m^2-6)$在直线AB上，则A、B、C三点共线，无法确定圆，将点C坐标代入直线解析式得：
$m^2-6=-2×(-m)+2$
整理得$m^2-2m-8=0$，因式分解为$(m-4)(m+2)=0$，解得$m_1=4$，$m_2=-2$。
因此当$m≠4$且$m≠-2$时，三点不共线，可以确定一个圆。
【答案】
4或−2
【知识点】
确定圆的条件，一次函数解析式求解，解一元二次方程
【点评】
本题解题关键是将“三点可确定圆”的条件转化为“三点不共线”，通过求共线时的参数值得到最终结果，解题时注意坐标代入计算的准确性。
【难度系数】
0.7

8.「2025江苏扬州宝应月考，★☆」在$Rt△ ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，则它的外接圆的半径为。

答案 $\frac{5}{2}$或2
解析 ①如图1,当∠C=90°时,
∵BC=4,AC=3,

∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴Rt△ABC的外接圆的半径为$\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$;
②如图2,当∠A=90°时,
∵BC=4,

∴Rt△ABC的外接圆的半径为$\frac{BC}{2}=2$.
综上所述,Rt△ABC的外接圆的半径为$\frac{5}{2}$或2.

【分析】
首先回忆直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，半径为斜边的一半。本题未明确直角的顶点位置，因此需要先判断可能的直角顶点：若∠B为直角，则斜边AC需大于直角边BC，与AC=3＜BC=4矛盾，故排除该情况，仅需讨论剩余两种直角情况，分别计算对应斜边长度，即可求出外接圆半径。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 如图1，当∠C=90°时，
∵BC=4，AC=3，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵直角三角形外接圆半径为斜边的一半，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为$\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$；
② 如图2，当∠A=90°时，
直角所对的边为斜边，即斜边为BC=4，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为$\frac{BC}{2}=2$。
综上所述，Rt△ABC的外接圆的半径为$\frac{5}{2}$或2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
直角三角形外接圆性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略直角顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解，解题时遇到未明确直角位置的直角三角形问题，要先结合已知边长判断所有可能的直角情况，再结合对应性质求解。
【难度系数】
0.7

9.「2026 浙江金华永康城西中学期中，★☆」如图,在由小正方形组成的网格中建立一平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点$A(0,2),B(4,2),C(6,0)$,解答下列问题:
(1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心点$D$的位置,则点$D$的坐标为.
(2)连接$AD,CD$,求出$∠ ADC$的度数.

(1)如图,连接AB,BC,作线段AB和线段BC的垂直平分线,两条直线的交点即为点D,点D的坐标为(2,−2).

(2)如图,连接AC.
∵$AD^2=2^2+4^2=20,CD^2=2^2+4^2=20,AC^2=2^2+6^2=40$,
∴$AC^2=AD^2+CD^2$,
∴$∠ADC=90°$.

【分析】
(1) 确定圆弧所在圆的圆心，依据“圆心到圆上任意两点距离相等，即圆心是圆的任意两条弦的垂直平分线的交点”求解：首先弦AB是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线；再作出弦BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心D，即可得到D的坐标。
(2) 求∠ADC的度数，可通过计算△ADC三边长度的平方，用勾股定理的逆定理判断三角形形状：先根据坐标用勾股定理分别计算AD²、CD²、AC²，验证三者的数量关系，若满足两边平方和等于第三边平方，即可得出对应角为直角。
【解析】
(1) ① 求弦AB的垂直平分线：已知A(0,2)、B(4,2)，AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{2+2}{2})=(2,2)$，AB平行于x轴，因此它的垂直平分线为竖直直线$x=2$。
② 求弦BC的垂直平分线：已知B(4,2)、C(6,0)，BC的中点坐标为$(\frac{4+6}{2},\frac{2+0}{2})=(5,1)$，直线BC的斜率为$\frac{0-2}{6-4}=-1$，因此BC的垂直平分线的斜率为1，可得其方程为$y-1=x-5$，即$y=x-4$。
③ 联立两条垂直平分线的方程$\begin{cases}x=2\\y=x-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$，即圆心D的坐标为(2,-2)。
(2) 连接AC，根据各点坐标用勾股定理计算三边的平方：
$AD^2=(2-0)^2+(-2-2)^2=2^2+4^2=20$，
$CD^2=(6-2)^2+(0+2)^2=4^2+2^2=20$，
$AC^2=(6-0)^2+(0-2)^2=6^2+2^2=40$。
由此可得$AC^2=AD^2+CD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ADC$是直角三角形，直角为$∠ ADC$，因此$∠ ADC=90°$。
【答案】
(1) 如图,连接AB,BC,作线段AB和线段BC的垂直平分线,两条直线的交点即为点D,点D的坐标为$(2,-2)$.
(2) $∠ ADC=90°$
【知识点】
确定圆的条件；勾股定理的逆定理；坐标与图形性质
【点评】
本题考查圆心的确定方法和勾股定理逆定理的应用，解题关键是掌握圆心是圆的弦的垂直平分线的交点，能结合坐标特征用勾股定理计算线段长度、判断三角形形状，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7