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9.(2024春·荔湾区期末)已知点$A(1,3),B(2,1),C(4,4)$，其中点$A$的位置如图所示.
(1)在图中建立平面直角坐标系，并画出$△ ABC$；
(2)平移$△ ABC$，使点$A,B$的对应点$A',B'$均落在坐标轴上，求此时点$C$的对应点$C'$的坐标.
(1)在图中建立平面直角坐标系，并画出$△ ABC$；
(2)平移$△ ABC$，使点$A,B$的对应点$A',B'$均落在坐标轴上，求此时点$C$的对应点$C'$的坐标.
答案
9.解:(1)建立平面直角坐标系如答图所示.
(2)将点A(1,3),B(2,1)向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,使点A,B的对应点A'落在y轴上,B'落在x轴上,则点C的对应点C'的坐标为(3,3);
将点A(1,3),B(2,1)向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,使点A,B的对应点A'落在x轴上,B'落在y轴上,则点C的对应点C'的坐标为(2,1).
综上可知,点C的对应点C'的坐标为(3,3)或(2,1).
解析
【分析】
(1) 要建立平面直角坐标系，已知点A坐标为(1,3)，因此原点O在点A左侧1个单位长度、下方3个单位长度的位置，画出横纵坐标轴后，再根据B、C的坐标描点，顺次连接三点即可得到△ABC。
(2) 平移的性质是图形上所有点的横、纵坐标变化量完全相同，已知平移后A'、B'均在坐标轴上，坐标轴上的点横坐标为0（y轴上）或纵坐标为0（x轴上），因此分两种情况讨论：①A'在y轴、B'在x轴；②A'在x轴、B'在y轴，分别计算出两种情况的平移变化量，再代入点C的坐标计算即可得到C'的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据点A(1,3)的坐标，确定原点O的位置：在点A的左侧1格，下方3格处，画出x轴（水平向右为正方向）、y轴（竖直向上为正方向），建立平面直角坐标系；再在坐标系中描出点B(2,1)、C(4,4)，顺次连接A、B、C三点，即可画出△ABC，如答图所示。
(2) 分两种情况计算平移后点C'的坐标：
① 若平移后点A'落在y轴、点B'落在x轴：
点A的横坐标从1变为0，横坐标变化量为$0-1=-1$，即向左平移1个单位长度；
点B的纵坐标从1变为0，纵坐标变化量为$0-1=-1$，即向下平移1个单位长度；
根据平移的坐标变化规律，点C也向左平移1个单位、向下平移1个单位，因此$C'(4-1,4-1)=(3,3)$。
② 若平移后点A'落在x轴、点B'落在y轴：
点B的横坐标从2变为0，横坐标变化量为$0-2=-2$，即向左平移2个单位长度；
点A的纵坐标从3变为0，纵坐标变化量为$0-3=-3$，即向下平移3个单位长度；
同理，点C按此规律平移，因此$C'(4-2,4-3)=(2,1)$。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系并画出△ABC如答图所示；
(2) 点C的对应点$C'$的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$或$\boldsymbol{(2,1)}$。
【知识点】
平面直角坐标系的建立；平移的坐标变化规律；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系的相关操作和平移的性质，解题的关键是明确平移时图形所有点的横、纵坐标变化量一致，需要分情况讨论两个对应点落在坐标轴的两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要建立平面直角坐标系，已知点A坐标为(1,3)，因此原点O在点A左侧1个单位长度、下方3个单位长度的位置，画出横纵坐标轴后，再根据B、C的坐标描点，顺次连接三点即可得到△ABC。
(2) 平移的性质是图形上所有点的横、纵坐标变化量完全相同，已知平移后A'、B'均在坐标轴上，坐标轴上的点横坐标为0（y轴上）或纵坐标为0（x轴上），因此分两种情况讨论：①A'在y轴、B'在x轴；②A'在x轴、B'在y轴，分别计算出两种情况的平移变化量，再代入点C的坐标计算即可得到C'的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据点A(1,3)的坐标，确定原点O的位置：在点A的左侧1格，下方3格处，画出x轴（水平向右为正方向）、y轴（竖直向上为正方向），建立平面直角坐标系；再在坐标系中描出点B(2,1)、C(4,4)，顺次连接A、B、C三点，即可画出△ABC，如答图所示。
(2) 分两种情况计算平移后点C'的坐标：
① 若平移后点A'落在y轴、点B'落在x轴：
点A的横坐标从1变为0，横坐标变化量为$0-1=-1$，即向左平移1个单位长度；
点B的纵坐标从1变为0，纵坐标变化量为$0-1=-1$，即向下平移1个单位长度；
根据平移的坐标变化规律，点C也向左平移1个单位、向下平移1个单位，因此$C'(4-1,4-1)=(3,3)$。
② 若平移后点A'落在x轴、点B'落在y轴：
点B的横坐标从2变为0，横坐标变化量为$0-2=-2$，即向左平移2个单位长度；
点A的纵坐标从3变为0，纵坐标变化量为$0-3=-3$，即向下平移3个单位长度；
同理，点C按此规律平移，因此$C'(4-2,4-3)=(2,1)$。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系并画出△ABC如答图所示
；(2) 点C的对应点$C'$的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$或$\boldsymbol{(2,1)}$。
【知识点】
平面直角坐标系的建立；平移的坐标变化规律；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系的相关操作和平移的性质，解题的关键是明确平移时图形所有点的横、纵坐标变化量一致，需要分情况讨论两个对应点落在坐标轴的两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10.在平面直角坐标系$xOy$中，对于点$P(x,y)$给出如下定义，当$|x|≤|y|$时，我们称点$P$为“纵高点”.例如，点$(1,2),(-2,-3),(1,-1)$都是“纵高点”.
(1)在点$A(2,2),B(-3,2),C(3.14,π),D(-1,-\sqrt{2})$中，“纵高点”有________；
(2)将点$M(m,n)$先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点$M'$.
①当点$M$在$y$轴上时，如果点$M'$是“纵高点”，求$n$的取值范围；
②当$n=2$时，连接$MM'$，若线段$MM'$上任意一点都是“纵高点”，求$m$的取值范围.
(1)在点$A(2,2),B(-3,2),C(3.14,π),D(-1,-\sqrt{2})$中，“纵高点”有________；
(2)将点$M(m,n)$先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点$M'$.
①当点$M$在$y$轴上时，如果点$M'$是“纵高点”，求$n$的取值范围；
②当$n=2$时，连接$MM'$，若线段$MM'$上任意一点都是“纵高点”，求$m$的取值范围.
答案
10.(1)A,C,D
(2)解:①当点M(m,n)在y轴上时,m=0.
∵将点M(m,n)先向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点M',
∴M'(2,n+2).
∵点M'是“纵高点”,
∴|n+2|≥|2|,
∴n+2≥2或n+2≤-2,解得n≥0或n≤-4.
②
∵n=2,
∴M(m,2).
∵将点M(m,2)先向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点M',
∴M'(m+2,4).
∵线段MM'上任意一点都是“纵高点”,
∴$\begin{cases} |m|≤|2|, \\ |m+2|≤|4|, \end{cases}$
∴$\begin{cases} -2≤ m≤2, \\ -6≤ m≤2, \end{cases}$
解得-2≤m≤2.
(2)解:①当点M(m,n)在y轴上时,m=0.
∵将点M(m,n)先向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点M',
∴M'(2,n+2).
∵点M'是“纵高点”,
∴|n+2|≥|2|,
∴n+2≥2或n+2≤-2,解得n≥0或n≤-4.
②
∵n=2,
∴M(m,2).
∵将点M(m,2)先向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点M',
∴M'(m+2,4).
∵线段MM'上任意一点都是“纵高点”,
∴$\begin{cases} |m|≤|2|, \\ |m+2|≤|4|, \end{cases}$
∴$\begin{cases} -2≤ m≤2, \\ -6≤ m≤2, \end{cases}$
解得-2≤m≤2.
解析
【分析】
本题首先要准确理解“纵高点”的定义：当点的横坐标的绝对值小于等于纵坐标的绝对值时，该点为“纵高点”。
(1) 对给出的四个点，分别计算每个点横坐标、纵坐标的绝对值，比较大小即可判断是否为“纵高点”。
(2) ① 先根据y轴上点的横坐标为0，得出m=0，再按照“右加左减、上加下减”的平移规律求出平移后点$M'$的坐标，代入“纵高点”的定义列绝对值不等式，求解即可得到n的取值范围。
② 当$n=2$时，先写出点M和$M'$的坐标，由于线段$MM'$上的点纵坐标随横坐标增大而增大，要保证线段上任意一点都是“纵高点”，只需两个端点均满足“纵高点”的定义即可，据此列不等式组求解，取解集的交集即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 逐个判断各点：
点$A(2,2)$：$|2|=|2|$，满足$|x|≤|y|$，是“纵高点”；
点$B(-3,2)$：$|-3|=3＞|2|=2$，不满足，不是“纵高点”；
点$C(3.14,π)$：$|3.14|=3.14＜|π|\approx3.1416$，满足，是“纵高点”；
点$D(-1,-\sqrt{2})$：$|-1|=1＜|-\sqrt{2}|\approx1.414$，满足，是“纵高点”。
(2) ① 当点$M(m,n)$在y轴上时，y轴上点的横坐标为0，即$m=0$。
根据平移规律，点M向右平移2个单位、向上平移2个单位后，得到$M'(0+2,n+2)$即$M'(2,n+2)$。
∵点$M'$是“纵高点”，
∴$|n+2|≥|2|=2$，
根据绝对值的性质可得$n+2≥2$或$n+2≤-2$，
解得$n≥0$或$n≤-4$。
② 当$n=2$时，点M的坐标为$(m,2)$，平移后$M'$的坐标为$(m+2,2+2)$即$(m+2,4)$。
∵线段$MM'$上任意一点都是“纵高点”，两端点满足条件时线段上所有点均满足条件，
∴列不等式组：$\begin{cases} |m|≤|2| \\ |m+2|≤|4| \end{cases}$
解第一个不等式$|m|≤2$，得$-2≤m≤2$；
解第二个不等式$|m+2|≤4$，得$-4≤m+2≤4$，即$-6≤m≤2$；
取两个解集的交集，得$-2≤m≤2$。
【答案】
(1)$A,C,D$
(2)①$n≥0$或$n≤-4$；②$-2≤ m≤2$
【知识点】
新定义问题，坐标平移变换，绝对值不等式求解
【点评】
本题以新定义为载体，考查了坐标平移的规律和绝对值不等式的解法，解题核心是准确理解新定义，将新定义的判定条件转化为数学不等式求解，第二问需要注意线段上所有点满足条件的等价转化，侧重考查知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题首先要准确理解“纵高点”的定义：当点的横坐标的绝对值小于等于纵坐标的绝对值时，该点为“纵高点”。
(1) 对给出的四个点，分别计算每个点横坐标、纵坐标的绝对值，比较大小即可判断是否为“纵高点”。
(2) ① 先根据y轴上点的横坐标为0，得出m=0，再按照“右加左减、上加下减”的平移规律求出平移后点$M'$的坐标，代入“纵高点”的定义列绝对值不等式，求解即可得到n的取值范围。
② 当$n=2$时，先写出点M和$M'$的坐标，由于线段$MM'$上的点纵坐标随横坐标增大而增大，要保证线段上任意一点都是“纵高点”，只需两个端点均满足“纵高点”的定义即可，据此列不等式组求解，取解集的交集即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 逐个判断各点：
点$A(2,2)$：$|2|=|2|$，满足$|x|≤|y|$，是“纵高点”；
点$B(-3,2)$：$|-3|=3＞|2|=2$，不满足，不是“纵高点”；
点$C(3.14,π)$：$|3.14|=3.14＜|π|\approx3.1416$，满足，是“纵高点”；
点$D(-1,-\sqrt{2})$：$|-1|=1＜|-\sqrt{2}|\approx1.414$，满足，是“纵高点”。
(2) ① 当点$M(m,n)$在y轴上时，y轴上点的横坐标为0，即$m=0$。
根据平移规律，点M向右平移2个单位、向上平移2个单位后，得到$M'(0+2,n+2)$即$M'(2,n+2)$。
∵点$M'$是“纵高点”，
∴$|n+2|≥|2|=2$，
根据绝对值的性质可得$n+2≥2$或$n+2≤-2$，
解得$n≥0$或$n≤-4$。
② 当$n=2$时，点M的坐标为$(m,2)$，平移后$M'$的坐标为$(m+2,2+2)$即$(m+2,4)$。
∵线段$MM'$上任意一点都是“纵高点”，两端点满足条件时线段上所有点均满足条件，
∴列不等式组：$\begin{cases} |m|≤|2| \\ |m+2|≤|4| \end{cases}$
解第一个不等式$|m|≤2$，得$-2≤m≤2$；
解第二个不等式$|m+2|≤4$，得$-4≤m+2≤4$，即$-6≤m≤2$；
取两个解集的交集，得$-2≤m≤2$。
【答案】
(1)$A,C,D$
(2)①$n≥0$或$n≤-4$；②$-2≤ m≤2$
【知识点】
新定义问题，坐标平移变换，绝对值不等式求解
【点评】
本题以新定义为载体，考查了坐标平移的规律和绝对值不等式的解法，解题核心是准确理解新定义，将新定义的判定条件转化为数学不等式求解，第二问需要注意线段上所有点满足条件的等价转化，侧重考查知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,B(1,0),C(5,0),以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD,点M(-5,0),N(0,5).将正方形ABCD向左平移m个单位长度,得到正方形A'B'C'D',记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域(不含边界)为W.
(1)当m=3时,区域内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为
(2)若区域W内恰好有3个整点,请写出m的取值范围.
(1)当m=3时,区域内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为
3
;(2)若区域W内恰好有3个整点,请写出m的取值范围.
答案
11.(1)3
(2)解:如答图,△OMN中共有6个整数点,分别是(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-2,2),(-3,1).
∵区域W内恰好有3个整点,
∴2＜m≤3或6≤m＜7.
解析
【分析】
首先确定正方形ABCD的顶点坐标：由B(1,0)、C(5,0)，可知BC边长为4，向上作正方形得A(1,4)、D(5,4)。向左平移m个单位后，正方形A'B'C'D'的横坐标范围为$(1-m,5-m)$，纵坐标范围为$(0,4)$（区域不含边界）。再求出直线MN的解析式为$y=x+5$，△OMN内部（不含边界）满足$x＜0$、$y＞0$、$y＜x+5$。
(1) 当$m=3$时，先确定平移后正方形的x范围，结合△OMN的区域条件，筛选符合要求的整点即可。
(2) 先找出△OMN内部所有整点，再根据平移过程中正方形覆盖整点的数量变化，分两种情况讨论恰好有3个整点时m的取值范围：一是覆盖x=-1对应的3个整点，二是覆盖x=-2、-3对应的3个整点。
【解析】
首先求直线MN的解析式：设直线MN为$y=kx+b$，代入$M(-5,0)$、$N(0,5)$，得$\begin{cases}0=-5k+b\\5=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=5\end{cases}$，即直线MN的解析式为$y=x+5$。
正方形ABCD向左平移m个单位后，内部（不含边界）满足$1-m＜x＜5-m$，$0＜y＜4$。
(1) 当$m=3$时，平移后正方形的x范围是$-2＜x＜2$，结合△OMN的$x＜0$，得整数x=-1，代入$y＜x+5$得$y＜4$，故整数y为1、2、3，共3个整点。
(2) 先列出△OMN内部所有符合条件的整点：$(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-2,2),(-3,1)$，共6个。
分两种情况讨论恰好3个整点的情况：
① 仅覆盖x=-1对应的3个整点：此时$-2≤ 1-m ＜ -1$，解得$2＜m≤ 3$；
② 仅覆盖$(-2,1),(-2,2),(-3,1)$这3个整点：此时$-2＜5-m≤ -1$，解得$6≤ m＜7$。
综上可得m的取值范围。
【答案】
(1) 3
(2) $2＜m≤3$或$6≤m＜7$
【知识点】
坐标与平移，一次函数图象，整点判断
【点评】
本题结合平移、一次函数图象考查整点计数问题，解题的关键是明确两个区域的范围，结合“不含边界”的条件分类讨论，避免漏算或多算整点。
【难度系数】
0.65
首先确定正方形ABCD的顶点坐标：由B(1,0)、C(5,0)，可知BC边长为4，向上作正方形得A(1,4)、D(5,4)。向左平移m个单位后，正方形A'B'C'D'的横坐标范围为$(1-m,5-m)$，纵坐标范围为$(0,4)$（区域不含边界）。再求出直线MN的解析式为$y=x+5$，△OMN内部（不含边界）满足$x＜0$、$y＞0$、$y＜x+5$。
(1) 当$m=3$时，先确定平移后正方形的x范围，结合△OMN的区域条件，筛选符合要求的整点即可。
(2) 先找出△OMN内部所有整点，再根据平移过程中正方形覆盖整点的数量变化，分两种情况讨论恰好有3个整点时m的取值范围：一是覆盖x=-1对应的3个整点，二是覆盖x=-2、-3对应的3个整点。
【解析】
首先求直线MN的解析式：设直线MN为$y=kx+b$，代入$M(-5,0)$、$N(0,5)$，得$\begin{cases}0=-5k+b\\5=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=5\end{cases}$，即直线MN的解析式为$y=x+5$。
正方形ABCD向左平移m个单位后，内部（不含边界）满足$1-m＜x＜5-m$，$0＜y＜4$。
(1) 当$m=3$时，平移后正方形的x范围是$-2＜x＜2$，结合△OMN的$x＜0$，得整数x=-1，代入$y＜x+5$得$y＜4$，故整数y为1、2、3，共3个整点。
(2) 先列出△OMN内部所有符合条件的整点：$(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-2,2),(-3,1)$，共6个。
分两种情况讨论恰好3个整点的情况：
① 仅覆盖x=-1对应的3个整点：此时$-2≤ 1-m ＜ -1$，解得$2＜m≤ 3$；
② 仅覆盖$(-2,1),(-2,2),(-3,1)$这3个整点：此时$-2＜5-m≤ -1$，解得$6≤ m＜7$。
综上可得m的取值范围。
【答案】
(1) 3
(2) $2＜m≤3$或$6≤m＜7$
【知识点】
坐标与平移，一次函数图象，整点判断
【点评】
本题结合平移、一次函数图象考查整点计数问题，解题的关键是明确两个区域的范围，结合“不含边界”的条件分类讨论，避免漏算或多算整点。
【难度系数】
0.65
