5.某品牌饮水机中原有水的温度为20 ℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温$y(°C)$与开机时间$x(\mathrm{min})$满足一次函数关系]，当加热到$100°C$时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温$y(°C)$与开机时间$x(\mathrm{min})$成反比例关系，当水温降至$20°C$时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序(如图所示).
(1)分别求出$0{≤}x{≤}8$和$8{＜}x{＜}t$时的函数表达式，并求出$t$的值；
(2)一个加热周期内，水温保持不低于$40°C$有多少分钟？
(3)开机$50\ \mathrm{min}$时，求水的温度.

5.解:(1)当$0≤x≤8$时,设水温$y$(℃)与开机时间$x$(min)的函数表达式为$y=kx+b$,
根据题意,得$\begin{cases}20=b,\\100=8k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=10,\\b=20,\end{cases}$
$\therefore y=10x+20(0≤x≤8)$.
当$8＜x＜t$时,
设水温$y$(℃)与开机时间$x$(min)的函数表达式为$y=\frac{m}{x}$,
根据题意,得$100=\frac{m}{8}$,解得$m=800$,$\therefore y=\frac{800}{x}$.
当$y=20$时,$20=\frac{800}{x}$,解得$x=40$,即$t=40$.
(2)在$y=10x+20$中,令$y=40$,得$x=2$.
在$y=\frac{800}{x}$中,令$y=40$,得$x=20$.
$20-2=18$(min),
故一个加热周期内,水温保持不低于40 ℃有18 min.
(3)$\because 50-40=10＞8$,且当$x=10$时,$y=\frac{800}{10}=80$,
$\therefore$开机50 min时,水的温度是80 ℃.

【分析】
(1) 求解分段函数表达式需结合区间对应的函数类型，用待定系数法求解：0≤x≤8时为一次函数，已知过点(0,20)和(8,100)，代入一次函数一般式即可求解析式；8＜x＜t时为反比例函数，已知过点(8,100)，代入反比例一般式求系数，再将y=20代入反比例解析式即可求出t的值。
(2) 水温不低于40℃即y≥40，分别在两个函数中令y=40，求出对应的x值，两个x的差值就是符合要求的时长。
(3) 先确定一个加热周期为40min，计算50min减去一个周期后的剩余时长，判断剩余时长所属的区间，代入对应函数计算即可得到水温。
【解析】
(1) 当$0≤x≤8$时，设水温$y$(℃)与开机时间$x$(min)的函数表达式为$y=kx+b$，
根据题意，得$\begin{cases}20=b,\\100=8k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=10,\\b=20,\end{cases}$
$\therefore y=10x+20(0≤x≤8)$。
当$8＜x＜t$时，设水温$y$(℃)与开机时间$x$(min)的函数表达式为$y=\frac{m}{x}$，
根据题意，得$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，$\therefore y=\frac{800}{x}$。
当$y=20$时，$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，即$t=40$。
(2) 在$y=10x+20$中，令$y=40$，得$x=2$。
在$y=\frac{800}{x}$中，令$y=40$，得$x=20$。
$20-2=18$(min)，故一个加热周期内，水温保持不低于40 ℃有18 min。
(3) $\because$一个加热周期为40min，$50-40=10$，$8＜10＜40$，
将$x=10$代入$y=\frac{800}{x}$，得$y=\frac{800}{10}=80$，
$\therefore$开机50 min时，水的温度是80 ℃。
【答案】
(1) $0≤x≤8$时，$y=10x+20$；$8＜x＜40$时，$y=\frac{800}{x}$；$t=40$
(2) 18 min
(3) $80℃$
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活中饮水机加热的实际场景，考查分段函数的实际应用，解题核心是准确识别不同区间对应的函数类型，用待定系数法求解析式后结合问题代入计算，同时需要注意加热周期的规律识别，题目贴合生活，能很好地考查函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

6.商店出售一批进价为2元一张的贺卡,在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量y(张)之间有如下关系：

(1)写出y关于x的函数表达式：；
(2)设经营此贺卡的日销售利润为W(元),试求出W关于x的函数表达式,若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润,并求出最大日销售利润.

6. (1)$y=\frac{60}{x}$
(2)解:$W=(x-2)y=(x-2)· \frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$,
$\because W$随$x$的增大而增大,$x≤10$,
$\therefore$当$x=10$时,$W$取得最大值,此时$W=60-12=48$(元).
答:当日销售单价为10元时,才能获得最大日销售利润,最大日销售利润为48元.

【分析】
(1) 观察表格中x与y的对应值，计算每组x和y的乘积，可发现乘积均为定值60，因此判断y是x的反比例函数，设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组x、y的值求出k，即可得到y关于x的函数表达式。
(2) 先根据“日销售利润=（单张售价-单张进价）×日销售量”的基本公式，已知进价为2元，单张利润为$(x-2)$元，将第一问求出的y的表达式代入，即可得到W关于x的函数表达式；再分析W的增减性：$W=60-\frac{120}{x}$，x＞0时，x越大$\frac{120}{x}$越小，因此W随x的增大而增大，结合销售单价最高不超过10元的限制，可知x取最大值10时W最大，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 计算表格中x与y的乘积：$3×20=60$，$4×15=60$，$5×12=60$，$6×10=60$，即x与y的乘积为定值60，因此y是x的反比例函数。
设$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将$x=3,y=20$代入得$k=3×20=60$，因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{60}{x}$。
(2) 根据销售利润计算公式可得：
$W=(x-2)y$
将$y=\frac{60}{x}$代入，整理得：
$W=(x-2)·\frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$
当x＞0时，x增大则$\frac{120}{x}$减小，因此W随x的增大而增大，结合售价上限要求$x≤10$，可知当$x=10$时，W取得最大值：
$W_{最大}=60-\frac{120}{10}=60-12=48$（元）
【答案】
(1)$y=\frac{60}{x}$
(2)当日销售单价定为10元时，可获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元。
【知识点】
反比例函数表达式求解，销售利润计算，反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先根据表格数据确定反比例函数关系，再结合利润公式构建利润函数，最后利用函数增减性结合取值范围求解最值，能很好地考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.75