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1. 下列命题正确的是 （
A.各边相等的多边形是正多边形
B.正多边形一定是中心对称图形
C.正多边形外接圆的圆心角是它的中心角
D.正多边形外接圆的半径是它的半径
D
）A.各边相等的多边形是正多边形
B.正多边形一定是中心对称图形
C.正多边形外接圆的圆心角是它的中心角
D.正多边形外接圆的半径是它的半径
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查正多边形的相关概念辨析，解题时需结合正多边形的定义、中心对称图形的判定、正多边形的中心角、半径的定义，逐个分析选项对错，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 正多边形的定义为各边相等且各内角也相等的多边形，仅各边相等无法判定是正多边形，例如菱形各边相等，但内角不全相等，不属于正四边形，故A错误；
B. 中心对称图形是指绕某点旋转180°后能与自身重合的图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形）旋转180°后无法与自身重合，不属于中心对称图形，故B错误；
C. 正多边形的中心角是指正多边形每条边所对的外接圆的圆心角，并非所有外接圆的圆心角都是正多边形的中心角，故C错误；
D. 根据正多边形的相关定义，正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的定义；中心对称图形判定；正多边形与圆的概念
【点评】
本题属于基础概念类习题，主要考查对正多边形及相关延伸概念的掌握程度，易错点在于忽略正多边形判定中“各角相等”的条件、混淆中心角的定义，只要熟练掌握基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题考查正多边形的相关概念辨析，解题时需结合正多边形的定义、中心对称图形的判定、正多边形的中心角、半径的定义，逐个分析选项对错，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 正多边形的定义为各边相等且各内角也相等的多边形，仅各边相等无法判定是正多边形，例如菱形各边相等，但内角不全相等，不属于正四边形，故A错误；
B. 中心对称图形是指绕某点旋转180°后能与自身重合的图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形）旋转180°后无法与自身重合，不属于中心对称图形，故B错误；
C. 正多边形的中心角是指正多边形每条边所对的外接圆的圆心角，并非所有外接圆的圆心角都是正多边形的中心角，故C错误；
D. 根据正多边形的相关定义，正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的定义；中心对称图形判定；正多边形与圆的概念
【点评】
本题属于基础概念类习题，主要考查对正多边形及相关延伸概念的掌握程度，易错点在于忽略正多边形判定中“各角相等”的条件、混淆中心角的定义，只要熟练掌握基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是 （
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.不能确定
C
）A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.不能确定
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先明确两个核心前提：①有外接圆的四边形为圆内接四边形，满足对角互补；②有内切圆的四边形为圆外切四边形，圆心到各边距离相等。结合两圆是同心圆的条件，可先由内切圆圆心到各边距离相等，推出外接圆中四条边对应的弦心距相等，进而得到四边相等；再结合圆内接四边形对角互补的性质，推导内角特征，最终判定四边形的类型。
【解析】
设该四边形外接圆与内切圆的公共圆心为点O：
1. 因为O是内切圆圆心，所以点O到四边形四条边的距离均等于内切圆半径，即四条边作为外接圆的弦，对应的弦心距相等。根据同圆中弦心距相等则弦长相等，可得四边形的四条边长度相等，因此该四边形是菱形。
2. 又因为该四边形有外接圆，属于圆内接四边形，满足对角互补；而菱形的对角相等，因此相等且互补的两个角均为90°。
3. 有一个内角为直角的菱形是正方形，因此该四边形一定是正方形。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，弦与弦心距的关系，正方形的判定
【点评】
本题综合考查了与圆相关的四边形性质以及特殊四边形的判定，需要将圆的性质和四边形的性质结合起来推导，掌握各类几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心前提：①有外接圆的四边形为圆内接四边形，满足对角互补；②有内切圆的四边形为圆外切四边形，圆心到各边距离相等。结合两圆是同心圆的条件，可先由内切圆圆心到各边距离相等，推出外接圆中四条边对应的弦心距相等，进而得到四边相等；再结合圆内接四边形对角互补的性质，推导内角特征，最终判定四边形的类型。
【解析】
设该四边形外接圆与内切圆的公共圆心为点O：
1. 因为O是内切圆圆心，所以点O到四边形四条边的距离均等于内切圆半径，即四条边作为外接圆的弦，对应的弦心距相等。根据同圆中弦心距相等则弦长相等，可得四边形的四条边长度相等，因此该四边形是菱形。
2. 又因为该四边形有外接圆，属于圆内接四边形，满足对角互补；而菱形的对角相等，因此相等且互补的两个角均为90°。
3. 有一个内角为直角的菱形是正方形，因此该四边形一定是正方形。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，弦与弦心距的关系，正方形的判定
【点评】
本题综合考查了与圆相关的四边形性质以及特殊四边形的判定，需要将圆的性质和四边形的性质结合起来推导，掌握各类几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，点P在$\overset{\frown}{AB}$上，Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，则$∠ CPQ$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
答案
3.B
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用正多边形与圆的性质、圆周角定理求解：首先正六边形内接于圆时，每条边对应的劣弧度数相等，可先求出各段劣弧的度数；其次圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，要求$∠ CPQ$的度数，只需先求出它所对的劣弧$CQ$的度数，再除以2即可。步骤为：1.计算正六边形每条边对应劣弧的度数；2.结合Q是弧$DE$中点，求出弧$DQ$的度数；3.计算劣弧$CQ$的总度数；4.用圆周角定理求出$∠ CPQ$的度数。
【解析】
解：
∵正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$
∴正六边形每条边对应的劣弧度数相等，每段劣弧的度数为$\frac{360°}{6}=60°$
即劣弧$CD$、劣弧$DE$的度数均为$60°$
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点
∴劣弧$DQ$的度数为$\frac{1}{2}×60°=30°$
∴劣弧$CQ$的度数$=$劣弧$CD$的度数$+$劣弧$DQ$的度数$=60°+30°=90°$
∵$∠ CPQ$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为劣弧$CQ$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半
∴$∠ CPQ=\frac{1}{2}×90°=45°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与正多边形结合的典型题型，解题的关键是熟练掌握正六边形各边对应弧的度数相等的特点，结合圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是利用正多边形与圆的性质、圆周角定理求解：首先正六边形内接于圆时，每条边对应的劣弧度数相等，可先求出各段劣弧的度数；其次圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，要求$∠ CPQ$的度数，只需先求出它所对的劣弧$CQ$的度数，再除以2即可。步骤为：1.计算正六边形每条边对应劣弧的度数；2.结合Q是弧$DE$中点，求出弧$DQ$的度数；3.计算劣弧$CQ$的总度数；4.用圆周角定理求出$∠ CPQ$的度数。
【解析】
解：
∵正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$
∴正六边形每条边对应的劣弧度数相等，每段劣弧的度数为$\frac{360°}{6}=60°$
即劣弧$CD$、劣弧$DE$的度数均为$60°$
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点
∴劣弧$DQ$的度数为$\frac{1}{2}×60°=30°$
∴劣弧$CQ$的度数$=$劣弧$CD$的度数$+$劣弧$DQ$的度数$=60°+30°=90°$
∵$∠ CPQ$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为劣弧$CQ$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半
∴$∠ CPQ=\frac{1}{2}×90°=45°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与正多边形结合的典型题型，解题的关键是熟练掌握正六边形各边对应弧的度数相等的特点，结合圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.已知正六边形的边长为 2,则它的内切圆的半径为 （
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
B
）A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
答案
4.B
解析
【分析】
要计算正六边形的内切圆半径，首先明确内切圆半径就是正六边形的边心距（中心到任意一边的距离）。正六边形的特殊性质是：从中心出发连接各顶点可将其分为6个全等的等边三角形，等边三角形的边长等于正六边形的边长，等边三角形的高恰好就是正六边形的边心距，也就是我们要求的内切圆半径。接下来只需要通过等边三角形的边长，利用勾股定理计算高即可。
【解析】
已知正六边形边长为2，根据正六边形的性质，其外接圆半径等于边长，即外接圆半径R=2。
取正六边形的任意一条边，连接中心与该边的两个端点，得到边长为2的等边三角形；过中心作该边的垂线，这条垂线段就是内切圆半径r，同时垂足平分该边，因此得到的直角三角形中，斜边为R=2，一条直角边为边长的一半，即2÷2=1。
根据勾股定理可得：
$r=\sqrt{R^2 - 1^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
即内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握正六边形的结构特征，明确内切圆半径与正六边形边心距的关系，结合等边三角形的性质即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.7
要计算正六边形的内切圆半径，首先明确内切圆半径就是正六边形的边心距（中心到任意一边的距离）。正六边形的特殊性质是：从中心出发连接各顶点可将其分为6个全等的等边三角形，等边三角形的边长等于正六边形的边长，等边三角形的高恰好就是正六边形的边心距，也就是我们要求的内切圆半径。接下来只需要通过等边三角形的边长，利用勾股定理计算高即可。
【解析】
已知正六边形边长为2，根据正六边形的性质，其外接圆半径等于边长，即外接圆半径R=2。
取正六边形的任意一条边，连接中心与该边的两个端点，得到边长为2的等边三角形；过中心作该边的垂线，这条垂线段就是内切圆半径r，同时垂足平分该边，因此得到的直角三角形中，斜边为R=2，一条直角边为边长的一半，即2÷2=1。
根据勾股定理可得：
$r=\sqrt{R^2 - 1^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
即内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握正六边形的结构特征，明确内切圆半径与正六边形边心距的关系，结合等边三角形的性质即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.7
变式题 内切圆→外接圆
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O。若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
变式题图
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O。若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
变式题图
答案
变式题 C
解析
【分析】
解题时先从已知的圆周长条件入手，首先利用圆的周长公式计算出⊙O的半径；再结合正六边形内接于圆的性质：正六边形的中心角为60°，其外接圆的半径和正六边形的边长构成等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即可求出结果。
【解析】
已知⊙O的周长为6π，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入得：
$6π=2π r$
解得$r=3$，即⊙O的半径为3。
连接OA、OB，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，又$\because OA=OB=r=3$，$\therefore △ AOB$是等边三角形，$\therefore AB=OA=3$，即正六边形的边长为3。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算；正六边形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查正六边形与其外接圆的关系，只要掌握正六边形边长等于外接圆半径这一关键结论，结合圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的圆周长条件入手，首先利用圆的周长公式计算出⊙O的半径；再结合正六边形内接于圆的性质：正六边形的中心角为60°，其外接圆的半径和正六边形的边长构成等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即可求出结果。
【解析】
已知⊙O的周长为6π，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入得：
$6π=2π r$
解得$r=3$，即⊙O的半径为3。
连接OA、OB，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，又$\because OA=OB=r=3$，$\therefore △ AOB$是等边三角形，$\therefore AB=OA=3$，即正六边形的边长为3。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算；正六边形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查正六边形与其外接圆的关系，只要掌握正六边形边长等于外接圆半径这一关键结论，结合圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图所示的是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是（
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
D
）A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
5.D 【解析】如图，记正方形的四个顶点分别为 A,B,C,D,连接 AC,BD,交于点 O,则点 O 为图中的两个圆的圆心.
∵ 正方形的内切圆的半径是 2，
∴AB=4,
∴AC=4√2,
∴OA=2√2，
∴图中阴影部分的面积=π·(2√2)²−π·2²=4π.
解析
【分析】
首先观察图形，阴影部分为圆环，圆环面积的计算方法是外圆面积减去内圆面积，因此解题的关键是求出外圆（正方形的外接圆）和内圆（正方形的内切圆）的半径。已知内切圆半径为2，根据正方形内切圆的性质：内切圆的直径等于正方形的边长，可先求出正方形的边长；再结合正方形外接圆的性质：外接圆的直径等于正方形的对角线长度，用勾股定理求出正方形对角线长度，就能得到外接圆半径，最后代入圆环面积公式计算即可。
【解析】
记正方形的四个顶点分别为A,B,C,D，连接AC,BD，交于点O，点O为两个圆的共同圆心。
∵正方形的内切圆半径是2，
∴正方形的边长AB = 2×2 = 4，
根据勾股定理，正方形的对角线AC = √(AB² + BC²) = √(4² + 4²) = 4√2，
∴外接圆的半径OA = AC÷2 = 2√2，
阴影部分（圆环）的面积 = 外圆面积 - 内圆面积 = π·(2√2)² - π·2² = 8π - 4π = 4π。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形内切圆性质，正方形外接圆性质
【点评】
本题结合玉璧的传统文化背景出题，考查正多边形与圆的相关性质及圆环面积的计算，解题的核心是明确正方形内切圆半径、正方形边长、正方形外接圆半径三者的数量关系，属于基础题型，注重对基础概念和公式的考查。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，阴影部分为圆环，圆环面积的计算方法是外圆面积减去内圆面积，因此解题的关键是求出外圆（正方形的外接圆）和内圆（正方形的内切圆）的半径。已知内切圆半径为2，根据正方形内切圆的性质：内切圆的直径等于正方形的边长，可先求出正方形的边长；再结合正方形外接圆的性质：外接圆的直径等于正方形的对角线长度，用勾股定理求出正方形对角线长度，就能得到外接圆半径，最后代入圆环面积公式计算即可。
【解析】
记正方形的四个顶点分别为A,B,C,D，连接AC,BD，交于点O，点O为两个圆的共同圆心。
∵正方形的内切圆半径是2，
∴正方形的边长AB = 2×2 = 4，
根据勾股定理，正方形的对角线AC = √(AB² + BC²) = √(4² + 4²) = 4√2，
∴外接圆的半径OA = AC÷2 = 2√2，
阴影部分（圆环）的面积 = 外圆面积 - 内圆面积 = π·(2√2)² - π·2² = 8π - 4π = 4π。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形内切圆性质，正方形外接圆性质
【点评】
本题结合玉璧的传统文化背景出题，考查正多边形与圆的相关性质及圆环面积的计算，解题的核心是明确正方形内切圆半径、正方形边长、正方形外接圆半径三者的数量关系，属于基础题型，注重对基础概念和公式的考查。
【难度系数】
0.7
