登录
9. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，则O也是下列哪个三角形的外心 （
A.△AED的外心
B.△AEB的外心
C.△ACD的外心
D.△BCD的外心
第9题 第10题
B
）A.△AED的外心
B.△AEB的外心
C.△ACD的外心
D.△BCD的外心
第9题 第10题
答案
B
解析
【分析】
要判断O是哪个三角形的外心，需依据外心的核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，因此只需验证O到对应三角形三个顶点的距离是否相等即可。首先由O是△ABC的外心可得OA=OB=OC；再结合正方形OCDE边长相等的性质，可得OC=OE，OD为正方形对角线，长度不等于边长，进而推出OA=OB=OE，对应△AEB的三个顶点，即可得出结论。
【解析】
解：
∵O是锐角△ABC的外心，
∴根据三角形外心的性质，得OA=OB=OC。
∵四边形OCDE为正方形，
∴正方形的边长相等，即OC=OE，OD为正方形对角线，$OD=\sqrt{2}OC≠OC$。
∴等量代换得：OA=OB=OC=OE。
逐一分析选项：
选项A：△AED的顶点为A、E、D，OA=OE≠OD，故O不是△AED的外心；
选项B：△AEB的顶点为A、E、B，OA=OB=OE，满足外心到三个顶点距离相等的性质，故O是△AEB的外心；
选项C：△ACD的顶点为A、C、D，OA=OC≠OD，故O不是△ACD的外心；
选项D：△BCD的顶点为B、C、D，OB=OC≠OD，故O不是△BCD的外心。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的性质，正方形的性质
【点评】
本题考查三角形外心的判定，解题关键是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的性质，结合正方形的边长与对角线的长度关系进行等量代换即可判断，难度不大，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
要判断O是哪个三角形的外心，需依据外心的核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，因此只需验证O到对应三角形三个顶点的距离是否相等即可。首先由O是△ABC的外心可得OA=OB=OC；再结合正方形OCDE边长相等的性质，可得OC=OE，OD为正方形对角线，长度不等于边长，进而推出OA=OB=OE，对应△AEB的三个顶点，即可得出结论。
【解析】
解：
∵O是锐角△ABC的外心，
∴根据三角形外心的性质，得OA=OB=OC。
∵四边形OCDE为正方形，
∴正方形的边长相等，即OC=OE，OD为正方形对角线，$OD=\sqrt{2}OC≠OC$。
∴等量代换得：OA=OB=OC=OE。
逐一分析选项：
选项A：△AED的顶点为A、E、D，OA=OE≠OD，故O不是△AED的外心；
选项B：△AEB的顶点为A、E、B，OA=OB=OE，满足外心到三个顶点距离相等的性质，故O是△AEB的外心；
选项C：△ACD的顶点为A、C、D，OA=OC≠OD，故O不是△ACD的外心；
选项D：△BCD的顶点为B、C、D，OB=OC≠OD，故O不是△BCD的外心。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的性质，正方形的性质
【点评】
本题考查三角形外心的判定，解题关键是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的性质，结合正方形的边长与对角线的长度关系进行等量代换即可判断，难度不大，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$5×7$网格中,各小正方形边长均为1,点$O,A,B,C,D,E$均在格点上,点$O$是$△ ABC$的外心,在不添加其他字母的情况下,则除$△ ABC$外把你认为外心也是$O$的三角形都写出来
△ABD,△ACD,△BCD
.答案
$△ABD,△ACD,△BCD$
解析
【分析】
首先明确三角形外心的核心性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。因此要找外心也为O的三角形，可按以下思路推导：1. 先计算点O到△ABC三个顶点A、B、C的距离，得到外接圆半径；2. 计算其余格点D、E到O的距离，筛选出到O距离等于该半径的点；3. 所有在该圆上的点，任意三点组成的三角形的外心都是O，排除△ABC后即为所求。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算点O到各格点的距离：
1. 计算O到A、B、C的距离：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，即$OA=OB=OC=\sqrt{5}$，说明A、B、C都在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上。
2. 计算O到D、E的距离：
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+0^2}=3≠\sqrt{5}$，因此点D也在上述圆上，点E不在该圆上。
3. 圆上任意三点构成的三角形外心均为圆心O，A、B、C、D四点共圆，可构成4个三角形：$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$，排除$△ ABC$后，剩余的即为符合要求的三角形。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心性质，勾股定理，确定圆的条件
【点评】
本题解题核心是将外心问题转化为点共圆问题，利用外心到顶点距离相等的性质，通过勾股定理计算距离判断点是否在同一圆上即可求解，解题时注意不要漏写符合条件的三角形。
【难度系数】
0.6
首先明确三角形外心的核心性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。因此要找外心也为O的三角形，可按以下思路推导：1. 先计算点O到△ABC三个顶点A、B、C的距离，得到外接圆半径；2. 计算其余格点D、E到O的距离，筛选出到O距离等于该半径的点；3. 所有在该圆上的点，任意三点组成的三角形的外心都是O，排除△ABC后即为所求。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算点O到各格点的距离：
1. 计算O到A、B、C的距离：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，即$OA=OB=OC=\sqrt{5}$，说明A、B、C都在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上。
2. 计算O到D、E的距离：
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+0^2}=3≠\sqrt{5}$，因此点D也在上述圆上，点E不在该圆上。
3. 圆上任意三点构成的三角形外心均为圆心O，A、B、C、D四点共圆，可构成4个三角形：$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$，排除$△ ABC$后，剩余的即为符合要求的三角形。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心性质，勾股定理，确定圆的条件
【点评】
本题解题核心是将外心问题转化为点共圆问题，利用外心到顶点距离相等的性质，通过勾股定理计算距离判断点是否在同一圆上即可求解，解题时注意不要漏写符合条件的三角形。
【难度系数】
0.6
11. 半径为5的$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆，$AB=AC$，连接$OB$，$OC$，延长$CO$交弦$AB$于点$D$.若$△ OBD$是直角三角形，则弦$BC$的长为
$5\sqrt{3}$或$5\sqrt{2}$
.答案
$5\sqrt{3}$或$5\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题需先明确△OBD为直角三角形时直角顶点的可能性，由于AB是圆的弦，OB为半径，∠OBD不可能为90°，因此分两种情况讨论：①∠ODB=90°；②∠BOD=90°。再结合等腰三角形性质、圆的相关定理、特殊三角形的边角关系分别计算BC的长度，最终验证结果符合锐角三角形的条件即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠ODB=90°时，即CD⊥AB：
根据垂径定理，CD垂直平分弦AB，因此弧AC=弧BC。
又
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴弧AB=弧AC=弧BC，即△ABC为等边三角形，
圆心角∠BOC=360°÷3=120°。
∵OB=OC=5，过O作OE⊥BC于E，
则BE=CE，∠BOE=60°，
∴BE=OB·sin60°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BE=5$\sqrt{3}$。
2. 当∠BOD=90°时：
∵C、O、D三点共线，
∴∠BOC=180°-∠BOD=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{OB²+OC²}$=$\sqrt{5²+5²}$=5$\sqrt{2}$。
两种情况对应的△ABC均为锐角三角形，均符合题意。
【答案】
$5\sqrt{3}$或$5\sqrt{2}$
【知识点】
分类讨论思想，垂径定理，特殊三角形边角计算
【点评】
本题解题的核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解，同时要结合圆的性质和特殊三角形的计算方法求解，最后需注意题干中锐角三角形的限定条件，排除不符合的情况。
【难度系数】
0.6
本题需先明确△OBD为直角三角形时直角顶点的可能性，由于AB是圆的弦，OB为半径，∠OBD不可能为90°，因此分两种情况讨论：①∠ODB=90°；②∠BOD=90°。再结合等腰三角形性质、圆的相关定理、特殊三角形的边角关系分别计算BC的长度，最终验证结果符合锐角三角形的条件即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠ODB=90°时，即CD⊥AB：
根据垂径定理，CD垂直平分弦AB，因此弧AC=弧BC。
又
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴弧AB=弧AC=弧BC，即△ABC为等边三角形，
圆心角∠BOC=360°÷3=120°。
∵OB=OC=5，过O作OE⊥BC于E，
则BE=CE，∠BOE=60°，
∴BE=OB·sin60°=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BE=5$\sqrt{3}$。
2. 当∠BOD=90°时：
∵C、O、D三点共线，
∴∠BOC=180°-∠BOD=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{OB²+OC²}$=$\sqrt{5²+5²}$=5$\sqrt{2}$。
两种情况对应的△ABC均为锐角三角形，均符合题意。
【答案】
$5\sqrt{3}$或$5\sqrt{2}$
【知识点】
分类讨论思想，垂径定理，特殊三角形边角计算
【点评】
本题解题的核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解，同时要结合圆的性质和特殊三角形的计算方法求解，最后需注意题干中锐角三角形的限定条件，排除不符合的情况。
【难度系数】
0.6
12. 如图所示,要把残破的图片复制完整,已知弧上的三点A,B,C.
（1）用尺规作图找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心.
（2）若$△ ABC$中,$BC=8\ \mathrm{cm},AB=AC=5\ \mathrm{cm}$,求图片的半径$r$.
（1）用尺规作图找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心.
（2）若$△ ABC$中,$BC=8\ \mathrm{cm},AB=AC=5\ \mathrm{cm}$,求图片的半径$r$.
答案
(1) 图略 (2) $\frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
（1）根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，即圆心在任意弦的垂直平分线上，因此只需作出两条弦的垂直平分线，交点即为所求圆心。
（2）已知△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一与垂径定理可知，BC的垂直平分线过点A和圆心，构造直角三角形后利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
（1）作图步骤：分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心O。（图略）
（2）解：过点A作$AD⊥ BC$于点D，连接OB。
∵$AB=AC=5\ \mathrm{cm}$，$AD⊥ BC$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=4\ \mathrm{cm}$，且AD所在直线过圆心。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$。
设圆的半径为$r$，则$OB=r$，$OD=r-AD=r-3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$，
即$r^2=(r-3)^2+4^2$，
展开化简得$6r=25$，解得$r=\frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）见解析作图（图略）；（2）$\frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，核心是利用圆心在弦的垂直平分线上的性质构造直角三角形，通过方程思想求解半径，是圆相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，即圆心在任意弦的垂直平分线上，因此只需作出两条弦的垂直平分线，交点即为所求圆心。
（2）已知△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一与垂径定理可知，BC的垂直平分线过点A和圆心，构造直角三角形后利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
（1）作图步骤：分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心O。（图略）
（2）解：过点A作$AD⊥ BC$于点D，连接OB。
∵$AB=AC=5\ \mathrm{cm}$，$AD⊥ BC$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=4\ \mathrm{cm}$，且AD所在直线过圆心。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$。
设圆的半径为$r$，则$OB=r$，$OD=r-AD=r-3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$，
即$r^2=(r-3)^2+4^2$，
展开化简得$6r=25$，解得$r=\frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）见解析作图（图略）；（2）$\frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，核心是利用圆心在弦的垂直平分线上的性质构造直角三角形，通过方程思想求解半径，是圆相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
13. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心.例：已知$PA=PB$，则点$P$为$△ ABC$的准外心（图1）.
（1）如图2，$CD$为正三角形$ABC$的高，准外心$P$在高$CD$上，且$PD=\frac{1}{2}AB$，求$∠ APB$的度数.
（2）如图3，若$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，准外心$P$在$AC$边上，试探究$PA$的长.
（1）如图2，$CD$为正三角形$ABC$的高，准外心$P$在高$CD$上，且$PD=\frac{1}{2}AB$，求$∠ APB$的度数.
（2）如图3，若$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，准外心$P$在$AC$边上，试探究$PA$的长.
答案
(1) $\because △ABC$是正三角形,$CD⊥ AB,\therefore AD=BD$.则$CD$垂直平分$AB$.$\therefore PA=PB$.因此$CD$上的任一点都是$△ABC$的准外心.$\because PD=\frac{1}{2}AB,\therefore PD=AD=BD$,$\therefore △ADP$和$△BDP$都是等腰直角三角形,$\therefore ∠APD=∠BPD=45°$,$\therefore ∠APB=90°$；
(2) ① 若$PB=PA$,设$PA=x$,$\because ∠C=90°$,$AB=13$,$BC=5$,$\therefore AC=12$,则$PC=12-x$,$\therefore x^2=(12-x)^2+5^2$,$\therefore$ 解得:$x=\frac{169}{24}$,即$PA=\frac{169}{24}$.② 若$PA=PC$,则$PA=6$.③ 若$PC=PB$,由图知,在$\mathrm{Rt}△PBC$中,不可能,故$PA=\frac{169}{24}$或$6$.
(2) ① 若$PB=PA$,设$PA=x$,$\because ∠C=90°$,$AB=13$,$BC=5$,$\therefore AC=12$,则$PC=12-x$,$\therefore x^2=(12-x)^2+5^2$,$\therefore$ 解得:$x=\frac{169}{24}$,即$PA=\frac{169}{24}$.② 若$PA=PC$,则$PA=6$.③ 若$PC=PB$,由图知,在$\mathrm{Rt}△PBC$中,不可能,故$PA=\frac{169}{24}$或$6$.
解析
【分析】
（1）先利用正三角形高的性质，得出CD垂直平分AB，因此CD上的点都满足PA=PB，均为△ABC的准外心；再结合$PD=\frac{1}{2}AB$的条件，可得PD=AD=BD，推出△ADP、△BDP都是等腰直角三角形，即可求出∠APB的度数。
（2）首先用勾股定理求出AC的长度，再根据准外心的定义分三种情况讨论：PA=PB、PA=PC、PB=PC，分别结合勾股定理列方程求解，再根据直角三角形的边的关系排除不可能的情况，最终得到PA的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC是正三角形，CD⊥AB，
∴AD=BD，即CD垂直平分AB，
∴CD上任意点都满足PA=PB，都是△ABC的准外心。
∵$PD=\frac{1}{2}AB$，
∴PD=AD=BD，
又
∵CD⊥AB，
∴△ADP和△BDP均为等腰直角三角形，
∴∠APD=∠BPD=45°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=90°。
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
根据准外心定义分三种情况讨论：
①若$PB=PA$，设$PA=x$，则$PC=12-x$，
在Rt△PBC中，由勾股定理得$PB^2=PC^2+BC^2$，
即$x^2=(12-x)^2+5^2$，
解得$x=\frac{169}{24}$，即$PA=\frac{169}{24}$。
②若$PA=PC$，则$PA=\frac{1}{2}AC=6$。
③若$PC=PB$，Rt△PBC中PB为斜边，PB＞PC，该情况不可能，舍去。
综上，PA的长为$\frac{169}{24}$或6。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) $\boxed{\frac{169}{24}}$或$\boxed{6}$
【知识点】
1. 垂直平分线性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是准确理解准外心的定义，结合三角形性质分析，第二问需要注意分情况讨论，同时结合图形特征排除不符合的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
（1）先利用正三角形高的性质，得出CD垂直平分AB，因此CD上的点都满足PA=PB，均为△ABC的准外心；再结合$PD=\frac{1}{2}AB$的条件，可得PD=AD=BD，推出△ADP、△BDP都是等腰直角三角形，即可求出∠APB的度数。
（2）首先用勾股定理求出AC的长度，再根据准外心的定义分三种情况讨论：PA=PB、PA=PC、PB=PC，分别结合勾股定理列方程求解，再根据直角三角形的边的关系排除不可能的情况，最终得到PA的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC是正三角形，CD⊥AB，
∴AD=BD，即CD垂直平分AB，
∴CD上任意点都满足PA=PB，都是△ABC的准外心。
∵$PD=\frac{1}{2}AB$，
∴PD=AD=BD，
又
∵CD⊥AB，
∴△ADP和△BDP均为等腰直角三角形，
∴∠APD=∠BPD=45°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=90°。
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
根据准外心定义分三种情况讨论：
①若$PB=PA$，设$PA=x$，则$PC=12-x$，
在Rt△PBC中，由勾股定理得$PB^2=PC^2+BC^2$，
即$x^2=(12-x)^2+5^2$，
解得$x=\frac{169}{24}$，即$PA=\frac{169}{24}$。
②若$PA=PC$，则$PA=\frac{1}{2}AC=6$。
③若$PC=PB$，Rt△PBC中PB为斜边，PB＞PC，该情况不可能，舍去。
综上，PA的长为$\frac{169}{24}$或6。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) $\boxed{\frac{169}{24}}$或$\boxed{6}$
【知识点】
1. 垂直平分线性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是准确理解准外心的定义，结合三角形性质分析，第二问需要注意分情况讨论，同时结合图形特征排除不符合的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
