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8. 下列命题中,假命题是 (
A.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
B.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
C.两直线平行,内错角相等
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
)A.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
B.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
C.两直线平行,内错角相等
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
答案
8.B
解析
【分析】
本题要求选出假命题，解题思路是逐一核对每个选项对应的数学定理，重点关注定理成立的必要前提，若命题缺少定理要求的前提条件，即为假命题。首先回忆平行线相关公理、性质以及垂直的公理，再逐个判断选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：该命题是平行公理的推论，内容正确，是真命题，不符合题意；
B选项：只有两条平行的直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，该命题缺少“两直线平行”的前提条件，因此不成立，是假命题，符合题意；
C选项：该命题是平行线的性质定理，内容正确，是真命题，不符合题意；
D选项：该命题是同一平面内垂直的性质公理，内容正确，是真命题，不符合题意。
综上，假命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平行公理推论；平行线的性质；垂直的公理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略平行线相关性质的适用前提，牢记各定理的成立条件是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题要求选出假命题，解题思路是逐一核对每个选项对应的数学定理，重点关注定理成立的必要前提，若命题缺少定理要求的前提条件，即为假命题。首先回忆平行线相关公理、性质以及垂直的公理，再逐个判断选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：该命题是平行公理的推论，内容正确，是真命题，不符合题意；
B选项：只有两条平行的直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，该命题缺少“两直线平行”的前提条件，因此不成立，是假命题，符合题意；
C选项：该命题是平行线的性质定理，内容正确，是真命题，不符合题意；
D选项：该命题是同一平面内垂直的性质公理，内容正确，是真命题，不符合题意。
综上，假命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平行公理推论；平行线的性质；垂直的公理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略平行线相关性质的适用前提，牢记各定理的成立条件是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
9.如图4,将三角形ABC进行平移得到三角形MNL,其中点A的对应点是点M,则下列结论不一定成立的是 (
A.$AM// BN$
B.$AM=BN$
C.$BC=ML$
D.$BN// CL$
C
)A.$AM// BN$
B.$AM=BN$
C.$BC=ML$
D.$BN// CL$
答案
9.C
解析
【分析】
解决这道题的核心是熟练掌握平移的性质，首先先明确平移前后的对应点：A对应M，B对应N，C对应L。接下来根据平移的两个核心性质：一是各对应点所连的线段平行且相等；二是平移前后的对应边相等，逐个验证四个选项是否成立，就能得出答案。
【解析】
已知△ABC平移得到△MNL，点A的对应点是M，由此确定三组对应点：A与M对应，B与N对应，C与L对应。
根据平移的性质：
1. 对应点所连的线段平行且相等，因此$AM// BN// CL$，且$AM=BN=CL$，所以A、B、D选项的结论均成立。
2. 平移前后对应边相等，因此BC的对应边是NL，即$BC=NL$；AC的对应边是ML，即$AC=ML$。BC和ML不是对应边，二者不一定相等，因此C选项结论不一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质、对应边相等、对应点连线平行且相等
【点评】
本题是平移性质的基础应用题，解题的关键是准确识别平移前后的对应点、对应边，结合平移的性质逐一判断选项即可，注意不要混淆对应边与非对应边的关系。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是熟练掌握平移的性质，首先先明确平移前后的对应点：A对应M，B对应N，C对应L。接下来根据平移的两个核心性质：一是各对应点所连的线段平行且相等；二是平移前后的对应边相等，逐个验证四个选项是否成立，就能得出答案。
【解析】
已知△ABC平移得到△MNL，点A的对应点是M，由此确定三组对应点：A与M对应，B与N对应，C与L对应。
根据平移的性质：
1. 对应点所连的线段平行且相等，因此$AM// BN// CL$，且$AM=BN=CL$，所以A、B、D选项的结论均成立。
2. 平移前后对应边相等，因此BC的对应边是NL，即$BC=NL$；AC的对应边是ML，即$AC=ML$。BC和ML不是对应边，二者不一定相等，因此C选项结论不一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质、对应边相等、对应点连线平行且相等
【点评】
本题是平移性质的基础应用题，解题的关键是准确识别平移前后的对应点、对应边，结合平移的性质逐一判断选项即可，注意不要混淆对应边与非对应边的关系。
【难度系数】
0.8
10.如图5，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为（
A.$65°$
B.$85°$
C.$95°$
D.$115°$
B
）A.$65°$
B.$85°$
C.$95°$
D.$115°$
答案
10.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确图中木条a、b被同一条截线所截，木条a与截线交于点O。要让旋转后的a与b平行，需满足平行线的判定条件：内错角相等。首先确定a与b平行时，a和截线的对应夹角应当等于b和截线的夹角65°，再对比当前a和截线的已知夹角150°，二者的差值就是需要旋转的最小角度。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。若木条a旋转后与b平行，则a与截线的对应内错角应等于b与截线的夹角65°。
已知当前木条a与截线的对应夹角为150°，因此旋转的最小角度为：
$150° - 65° = 85°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，角度计算
【点评】
本题结合旋转场景考查平行线的判定和基础角度运算，解题的核心是抓住平行时的角度等量关系，注意区分旋转的最小角度的计算逻辑，属于几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确图中木条a、b被同一条截线所截，木条a与截线交于点O。要让旋转后的a与b平行，需满足平行线的判定条件：内错角相等。首先确定a与b平行时，a和截线的对应夹角应当等于b和截线的夹角65°，再对比当前a和截线的已知夹角150°，二者的差值就是需要旋转的最小角度。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。若木条a旋转后与b平行，则a与截线的对应内错角应等于b与截线的夹角65°。
已知当前木条a与截线的对应夹角为150°，因此旋转的最小角度为：
$150° - 65° = 85°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，角度计算
【点评】
本题结合旋转场景考查平行线的判定和基础角度运算，解题的核心是抓住平行时的角度等量关系，注意区分旋转的最小角度的计算逻辑，属于几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
11.如图6,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若$∠ 1=65°$,则$∠ 2$的度数为
25°
.答案
11. 25°
解析
【分析】
解题时首先明确图形特征：直尺的对边互相平行，三角尺的直角为90°。第一步，根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，得到与∠1相等的同位角；第二步，结合直尺的边是平角（180°），减去三角尺的直角90°后，剩余的两个角之和为90°，即可建立∠1和∠2的数量关系，代入角度计算就能得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵直尺的两组对边互相平行，
∴根据“两直线平行，同位角相等”，可得与∠1同位的角的度数等于∠1，即65°。
∵三角尺的直角为90°，且直尺的边为平角，度数为180°，
∴65° + ∠2 + 90° = 180°，
整理得：∠2 = 180° - 90° - 65° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
1.平行线的性质
2.直角的定义
3.角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，结合了直尺、三角尺的常见几何模型，核心考查平行线性质的应用，解题的关键是准确识别平行线对应的同位角，结合直角的性质建立角度关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确图形特征：直尺的对边互相平行，三角尺的直角为90°。第一步，根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，得到与∠1相等的同位角；第二步，结合直尺的边是平角（180°），减去三角尺的直角90°后，剩余的两个角之和为90°，即可建立∠1和∠2的数量关系，代入角度计算就能得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵直尺的两组对边互相平行，
∴根据“两直线平行，同位角相等”，可得与∠1同位的角的度数等于∠1，即65°。
∵三角尺的直角为90°，且直尺的边为平角，度数为180°，
∴65° + ∠2 + 90° = 180°，
整理得：∠2 = 180° - 90° - 65° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
1.平行线的性质
2.直角的定义
3.角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，结合了直尺、三角尺的常见几何模型，核心考查平行线性质的应用，解题的关键是准确识别平行线对应的同位角，结合直角的性质建立角度关系。
【难度系数】
0.9
12.已知点$M(a-1,5)$，现在将平面直角坐标系先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，此时点$M$的坐标为$(2,b-1)$，则$a=$
6
，$b=$2
。答案
12. 6 2
解析
【分析】
解决本题首先要明确坐标系平移和点的平移是相对的：将坐标系向某个方向平移，等价于坐标系不动，点向相反方向平移相同的单位长度。本题中坐标系先右移3个单位、再上移4个单位，就相当于点M先左移3个单位、再下移4个单位，我们可以根据点平移的坐标变化规律列方程，即可求出a、b的值。
【解析】
∵ 平面直角坐标系向右平移3个单位，再向上平移4个单位，等价于点M在原坐标系中先向左平移3个单位，再向下平移4个单位。
点M平移前的坐标为$(a-1,5)$，根据点平移的坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，可得平移后点的坐标为：
横坐标：$(a-1)-3$，纵坐标：$5-4$
又
∵ 平移后点M的坐标为$(2,b-1)$
∴ 列方程得：
$\begin{cases}(a-1)-3=2 \\5-4=b-1\end{cases}$
解第一个方程：$a-4=2$，得$a=6$
解第二个方程：$1=b-1$，得$b=2$
【答案】
6；2
【知识点】
坐标系平移规律；点的坐标变换
【点评】
本题的核心是理解坐标系平移与点平移的相对性，解题时容易出错的地方是搞反平移方向，只要理清相对运动的关系，结合点平移的坐标变化规则就能快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确坐标系平移和点的平移是相对的：将坐标系向某个方向平移，等价于坐标系不动，点向相反方向平移相同的单位长度。本题中坐标系先右移3个单位、再上移4个单位，就相当于点M先左移3个单位、再下移4个单位，我们可以根据点平移的坐标变化规律列方程，即可求出a、b的值。
【解析】
∵ 平面直角坐标系向右平移3个单位，再向上平移4个单位，等价于点M在原坐标系中先向左平移3个单位，再向下平移4个单位。
点M平移前的坐标为$(a-1,5)$，根据点平移的坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，可得平移后点的坐标为：
横坐标：$(a-1)-3$，纵坐标：$5-4$
又
∵ 平移后点M的坐标为$(2,b-1)$
∴ 列方程得：
$\begin{cases}(a-1)-3=2 \\5-4=b-1\end{cases}$
解第一个方程：$a-4=2$，得$a=6$
解第二个方程：$1=b-1$，得$b=2$
【答案】
6；2
【知识点】
坐标系平移规律；点的坐标变换
【点评】
本题的核心是理解坐标系平移与点平移的相对性，解题时容易出错的地方是搞反平移方向，只要理清相对运动的关系，结合点平移的坐标变化规则就能快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
13. 求不等式组$\begin{cases}5x＜3x+2, \\3x-3≤ 2(2x-1)\end{cases}$的整数解.
答案
13. -1,0
解析
【分析】
求解一元一次不等式组的整数解，需分三步进行：第一步分别求出不等式组中每个不等式的解集；第二步利用解集判定口诀或数轴找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内找出所有符合要求的整数即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5x＜3x+2$，
移项得：$5x-3x＜2$，
合并同类项得：$2x＜2$，
系数化为1得：$x＜1$。
2. 解不等式$3x-3≤ 2(2x-1)$，
去括号得：$3x-3≤4x-2$，
移项得：$3x-4x≤-2+3$，
合并同类项得：$-x≤1$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≥-1$。
因此不等式组的解集为$-1≤x＜1$，其中整数为$-1$、$0$。
【答案】
-1,0
【知识点】
一元一次不等式组解法；不等式的性质；不等式组整数解求解
【点评】
本题属于不等式组基础题型，易错点为解第二个不等式系数化为1时，容易忘记改变不等号方向，找整数解时需注意判断解集边界是否包含在内。
【难度系数】
0.8
求解一元一次不等式组的整数解，需分三步进行：第一步分别求出不等式组中每个不等式的解集；第二步利用解集判定口诀或数轴找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内找出所有符合要求的整数即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5x＜3x+2$，
移项得：$5x-3x＜2$，
合并同类项得：$2x＜2$，
系数化为1得：$x＜1$。
2. 解不等式$3x-3≤ 2(2x-1)$，
去括号得：$3x-3≤4x-2$，
移项得：$3x-4x≤-2+3$，
合并同类项得：$-x≤1$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≥-1$。
因此不等式组的解集为$-1≤x＜1$，其中整数为$-1$、$0$。
【答案】
-1,0
【知识点】
一元一次不等式组解法；不等式的性质；不等式组整数解求解
【点评】
本题属于不等式组基础题型，易错点为解第二个不等式系数化为1时，容易忘记改变不等号方向，找整数解时需注意判断解集边界是否包含在内。
【难度系数】
0.8
14.某中学开展了丰富多彩的小组活动.下表是各年级某月文艺小组和科技小组活动情况统计表,其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.
(1)文艺小组、科技小组每次活动的时间分别是多少?
(2)该月九年级文艺小组活动的次数是多少?
(1)文艺小组、科技小组每次活动的时间分别是多少?
(2)该月九年级文艺小组活动的次数是多少?
答案
14. (1)文艺小组、科技小组每次活动的时间分别是2 h,1.5 h.
(2)该月九年级文艺小组活动的次数是5次或2次.
(2)该月九年级文艺小组活动的次数是5次或2次.
解析
【分析】
(1)要求文艺小组和科技小组每次的活动时间，可分别设两个未知数，结合七年级、八年级给出的总活动时间和对应活动次数，列出二元一次方程组求解即可。(2)求九年级文艺小组活动次数，可分别设文艺、科技小组活动次数为未知数，结合九年级总活动时间列出二元一次方程，根据“活动次数为非负整数”的隐含条件，求方程的符合实际的整数解，即可得到文艺小组的活动次数。
【解析】
(1)设文艺小组每次活动时间为$x$ h，科技小组每次活动时间为$y$ h，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6x + 4y = 18 \\4x + 4y = 14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$2x=4$，解得$x=2$。
将$x=2$代入$4x + 4y = 14$，得$8 + 4y =14$，解得$y=1.5$。
(2)设九年级文艺小组活动次数为$a$次，科技小组活动次数为$b$次（$a$、$b$均为非负整数），根据题意得：
$2a + 1.5b = 10$
整理得$4a + 3b =20$，即$a=\frac{20-3b}{4}$。
因为$a$、$b$均为非负整数，所以$20-3b$必须是4的非负整数倍：
当$b=0$时，$a=\frac{20}{4}=5$，符合要求；
当$b=4$时，$a=\frac{20-12}{4}=2$，符合要求；
当$b≥6$时，$20-3b＜0$，不符合活动次数为非负整数的实际意义。
所以$a$的值为2或5。
【答案】
(1)文艺小组每次活动时间是2 h，科技小组每次活动时间是1.5 h；
(2)该月九年级文艺小组活动的次数是5次或2次。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合校园活动的实际场景考查方程的实际应用，解题时要注意挖掘题目中“活动次数为非负整数”的隐含条件，第二问需要分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)要求文艺小组和科技小组每次的活动时间，可分别设两个未知数，结合七年级、八年级给出的总活动时间和对应活动次数，列出二元一次方程组求解即可。(2)求九年级文艺小组活动次数，可分别设文艺、科技小组活动次数为未知数，结合九年级总活动时间列出二元一次方程，根据“活动次数为非负整数”的隐含条件，求方程的符合实际的整数解，即可得到文艺小组的活动次数。
【解析】
(1)设文艺小组每次活动时间为$x$ h，科技小组每次活动时间为$y$ h，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6x + 4y = 18 \\4x + 4y = 14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$2x=4$，解得$x=2$。
将$x=2$代入$4x + 4y = 14$，得$8 + 4y =14$，解得$y=1.5$。
(2)设九年级文艺小组活动次数为$a$次，科技小组活动次数为$b$次（$a$、$b$均为非负整数），根据题意得：
$2a + 1.5b = 10$
整理得$4a + 3b =20$，即$a=\frac{20-3b}{4}$。
因为$a$、$b$均为非负整数，所以$20-3b$必须是4的非负整数倍：
当$b=0$时，$a=\frac{20}{4}=5$，符合要求；
当$b=4$时，$a=\frac{20-12}{4}=2$，符合要求；
当$b≥6$时，$20-3b＜0$，不符合活动次数为非负整数的实际意义。
所以$a$的值为2或5。
【答案】
(1)文艺小组每次活动时间是2 h，科技小组每次活动时间是1.5 h；
(2)该月九年级文艺小组活动的次数是5次或2次。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合校园活动的实际场景考查方程的实际应用，解题时要注意挖掘题目中“活动次数为非负整数”的隐含条件，第二问需要分类讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
