5. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图①，在边长为$a$的正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）.图①中阴影部分面积可表示为$a^2 - b^2$，图②中阴影部分面积可表示为$(a + b)(a - b)$，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
【拓展探究】图③是一个长为$2a$，宽为$2b$的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的方式拼成一个正方形.
（1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积，方法1：______，方法2：______；
（2）由（1）可得到一个关于$(a + b)^2$，$(a - b)^2$，$ab$的等量关系式：______；
（3）若$a - b = 5$，$ab = 2$，则$(a + b)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
【知识迁移】（4）如图⑤，正方形$ABCD$和正方形$EFGH$的边长分别为$a$，$b$（$a＞b$），若$a + b = 6$，$ab = 6$，$E$是$AB$的中点，则图中的阴影部分面积的和是________.

5. （1）$(a+b)^2-4ab$ $(a-b)^2$
（2）$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$
（3）33
（4）3

【分析】
（1）观察图④的结构：方法1可先求边长为$a+b$的大正方形面积，再减去4个长为$a$、宽为$b$的小长方形总面积，即可得到阴影部分面积；方法2直接观察阴影部分是边长为$a-b$的正方形，利用正方形面积公式计算即可。
（2）由（1）中两种方法表示的是同一阴影部分的面积，二者相等，整理即可得到三个代数式的等量关系。
（3）将已知的$a-b=5$和$ab=2$代入（2）得到的等量关系式，变形求解即可得到$(a+b)^2$的值。
（4）先通过割补法将阴影部分面积用含$a$、$b$的代数式表示并化简，再结合完全平方公式的变形，代入$a+b=6$、$ab=6$计算即可。
【解析】
（1）方法1：图④中大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的面积和为$4ab$，因此阴影部分面积为$(a+b)^2-4ab$；
方法2：阴影部分是边长为$a-b$的正方形，因此面积为$(a-b)^2$。
（2）由于两种方法表示的是同一阴影部分的面积，因此可得等量关系：$(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2$。
（3）将$a-b=5$，$ab=2$代入上述关系式：
$(a+b)^2 - 4×2 = 5^2$
$(a+b)^2 = 25 + 8 = 33$
（4）阴影部分面积可化简为$\frac{1}{2}(a^2 - ab + b^2)$，由$a+b=6$得：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 6^2 = 36$
代入$ab=6$，得$a^2 + b^2 = 36 - 2×6 = 24$
因此阴影面积为：$\frac{1}{2}×(24 - 6) = 3$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(a+b)^2-4ab}$；$\boldsymbol{(a-b)^2}$
（2）$\boldsymbol{(a+b)^2-4ab=(a-b)^2}$
（3）$\boldsymbol{33}$
（4）$\boldsymbol{3}$
【知识点】
完全平方公式的几何背景；完全平方公式的应用；割补法求面积
【点评】
本题结合几何图形面积的推导考查完全平方公式的应用，渗透了数形结合的数学思想，既需要掌握从图形中提取数量关系的能力，也需要熟练掌握完全平方公式的变形，能灵活代入已知条件求值。
【难度系数】
0.7