三、解答题(共60分)
9.(20分)(2024·江阴月考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,DB平分$∠ ADC$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明;
(2)若$AB=\sqrt{3},AD=1$,求CD的长度;
(3)在(2)的条件下,求点D到AC的距离.

第9题图

; 解：​$(1)\triangle ABC$​为等腰直角三角形​$.$​ 证明：∵​$AC$​为​$\odot O$​的直径，∴​$∠ABC = 90°.$​ ∵​$DB$​平分​$∠ADC，$​∴​$∠ADB=∠CDB.$​ ∵​$∠ADB=∠ACB，$​​$∠CDB=∠CAB，$​ ∴​$∠ACB=∠CAB，$​∴​$AB = CB，$​ ∴​$\triangle ABC$​为等腰直角三角形​$.$​​$ (2)$​由​$(1)$​得​$\triangle ABC$​为等腰直角三角形，∵​$AB=\sqrt {3}，$​ ∴​$CB=\sqrt {3}，$​由勾股定理，得​$AC=\sqrt {AB^2+CB^2}=\sqrt {(\sqrt {3})^2+(\sqrt {3})^2}=\sqrt {6}.$​ ∵​$AC$​为​$\odot O$​的直径，∴​$∠ADC = 90°.$​ 由勾股定理，得​$CD=\sqrt {AC^2-AD^2}=\sqrt {(\sqrt {6})^2-1^2}=\sqrt {5}.$​​$ (3)$​如答图，过点​$D$​作​$DE\perp AC$​于点​$E.$​ ∵​$S_{\triangle ADC}=\frac {1}{2}AD·CD=\frac {1}{2}AC·DE，$​ ∴​$1×\sqrt {5}=\sqrt {6}DE，$​解得​$DE = \frac {\sqrt {30}}{6}，$​​$ $​即点​$D$​到​$AC$​的距离为​$\frac {\sqrt {30}}{6}.$​

10.(20分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且$OD// BC$,OD与AC交于点E.
(1)若$∠B=70°$,求$∠CAD$的度数;
(2)若$AB=4$,$AC=3$,求DE的长.

解：​$(1)$​∵​$AB$​是半圆​$O$​的直径，∴​$∠ACB = 90°，$​ ∴​$∠CAB=90°-∠B = 90°-70°=20°.$​ 又∵​$OD// BC，$​∴​$∠AOD=∠B = 70°.$​ ∵​$OA = OD，$​ ∴​$∠DAO=∠ADO=\frac {180°-∠AOD}{2}=\frac {180°-70°}{2}=55°，$​ ∴​$∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°.$​​$ (2)$​在​$Rt\triangle ABC$​中，​$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=\sqrt {4^2-3^2}=\sqrt {7}.$​ ∵​$OD// BC，$​​$OA = OB，$​ ∴​$OE$​是​$\triangle ABC$​的中位线， ∴​$OE=\frac {1}{2}BC=\frac {\sqrt {7}}{2}.$​ 又∵​$OD=\frac {1}{2}AB = 2，$​ ∴​$DE=OD - OE=2-\frac {\sqrt {7}}{2}.$​

11.(20分)如图,在锐角三角形ABC中,以AC边为直径的$\odot O$交BC于点D($BD＞CD$),过点B作$BG⊥ AC$于点G,交$\odot O$于点E,延长BG交$\odot O$于点H,连接CE,DE.
(1)求证:$∠ EBC=∠ DEC$;
(2)若$∠ ABC=45°$,$AC=5$,$BC=7$,求$△ ABC$的面积.

第11题图

证明：​$(1)$​如答图，连接​$AD.$​∵​$AC$​为​$\odot O$​的直径 ∴​$∠ADC = 90°，$​∴​$∠ADB = 90°.$​∵​$BH\perp AC$​ ∴​$∠BGC = 90°.$​∴​$∠DAC+∠ACD=∠GBC+∠ACD = 90°，$​∴​$∠DAC=∠GBC.$​又∵​$∠DAC=∠DEC，$​∴​$∠EBC=∠DEC.$​​$ (2)$​∵​$∠ABC = 45°，$​​$∠ADB = 90°，$​∴​$\triangle ABD$​是等腰直角三角形，∴​$BD = AD，$​∴​$AD + DC=BD + DC = BC = 7.$​∵​$∠ADC = 90°，$​​$AC = 5，$​∴​$AD^2+DC^2=AC^2，$​即​$(7 - DC)^2+DC^2=5^2，$​解得​$DC = 4$​或​$DC = 3.$​∵​$BD＞CD，$​∴​$AD＞DC，$​∴​$DC = 3，$​​$AD = 4，$​​$\triangle ABC$​的面积为​$\frac {1}{2}BC·AD=\frac {1}{2}×7×4 = 14.$​ ;