11. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $CD$ 的中点，将 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 对折至 $\triangle AFE$，延长 $EF$ 交 $BC$ 于点 $G$，连接 $AG$。
（1）求证：$\triangle ABG\cong\triangle AFG$；
（2）求 $BG$ 的长。

(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B = ∠D = 90°，AD = AB，由折叠的性质可知AD = AF，∠AFE = ∠D = 90°，∴∠AFG = 90°，AB = AF，∴∠B = ∠AFG。又AG = AG，∴△ABG ≌ △AFG。 (2)∵△ABG ≌ △AFG，∴BG = FG。设BG = FG = x，则GC = 6 - x。∵E为CD的中点，∴EC = DE = EF = 3，∴EG = x + 3。∴$3^{2} + (6 - x)^{2} = (x + 3)^{2}$，解得x = 2，∴BG = 2。

12. 如图，$\square ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$，点 $G$ 为 $AD$ 的中点，连接 $CG$ 并延长，交 $BA$ 的延长线于点 $F$，连接 $FD$。
（1）求证：$AB = AF$；
（2）若 $AG = AB$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，判断四边形 $ACDF$ 的形状，并证明你的结论。

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB // CD，AB = CD，∴∠AFC = ∠DCG。∵GA = GD，∠AGF = ∠DGC，∴△AGF ≌ △DGC，∴AF = DC，∴AB = AF。 (2)四边形ACDF是矩形。理由：由(1)知AF = CD，又AF // CD，∴四边形ACDF是平行四边形。∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD = ∠BCD = 120°，∴∠FAG = 60°。∵AB = AG = AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG = GF。∵△AGF ≌ △DGC，∴FG = CG，∴AG = CG，∴AD = CF，∴四边形ACDF是矩形。

13. 如图，正方形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在 $AB$，$BC$ 上（$AE\lt BE$），且 $\angle EOF = 90^{\circ}$，$OE$ 与 $DA$ 的延长线交于点 $M$，$OF$ 与 $AB$ 的延长线交于点 $N$，连接 $MN$。
（1）求证：$OM = ON$；
（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$E$ 为 $OM$ 的中点，求 $MN$ 的长。

(1)如图，∵四边形ABCD是正方形，∴OA = OB，∠OAB = 45°，∠OBA = 45°，∴∠OAM = ∠OBN = 135°。∵∠EOF = 90°，∠AOB = 90°，∴∠AOM = ∠BON，∴△OAM ≌ △OBN(ASA)，∴OM = ON。 (2)如图，过点O作OH ⊥ AD于点H，∵正方形ABCD的边长为4，∴OH = HA = 2。∵E为OM的中点，∴HM = 4，则OM = $\sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$。∴MN = $\sqrt{2}OM = 2\sqrt{10}$。