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9. (2024·昆山期中)以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中，能构成直角三角形的是(
A.2，3，4
B.9，12，15
C.32，42，52
D.$ \frac{1}{3} $，$ \frac{1}{4} $，$ \frac{1}{5} $
B
)A.2，3，4
B.9，12，15
C.32，42，52
D.$ \frac{1}{3} $，$ \frac{1}{4} $，$ \frac{1}{5} $
答案
9. B
解析
对于选项A：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，因为$13 \neq 16$，所以不能构成直角三角形。
对于选项B：$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，因为$225 = 225$，所以能构成直角三角形。
对于选项C：$32^2 + 42^2 = 1024 + 1764 = 2788$，$52^2 = 2704$，因为$2788 \neq 2704$，所以不能构成直角三角形。
对于选项D：$(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{25}{400} + \frac{16}{400} = \frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，因为$\frac{41}{400} \neq \frac{1}{9}$，所以不能构成直角三角形。
B
对于选项B：$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，因为$225 = 225$，所以能构成直角三角形。
对于选项C：$32^2 + 42^2 = 1024 + 1764 = 2788$，$52^2 = 2704$，因为$2788 \neq 2704$，所以不能构成直角三角形。
对于选项D：$(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{25}{400} + \frac{16}{400} = \frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，因为$\frac{41}{400} \neq \frac{1}{9}$，所以不能构成直角三角形。
B
10. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 25 \mathrm{cm} $，$ BC = 48 \mathrm{cm} $，边 $ BC $ 上的中线 $ AD = 7 \mathrm{cm} $，那么 $ \angle ADC $ 的度数为
90°
，$ AC = $25
$ \mathrm{cm} $.答案
10. 90° 25
解析
解：
∵AD是BC边上的中线，BC=48cm，
∴BD=DC=24cm。
在△ABD中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，
∵$AD^2 + BD^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 = AB^2$，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°。
在Rt△ADC中，AD=7cm，DC=24cm，
∴$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$cm。
90°；25
∵AD是BC边上的中线，BC=48cm，
∴BD=DC=24cm。
在△ABD中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，
∵$AD^2 + BD^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 = AB^2$，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°。
在Rt△ADC中，AD=7cm，DC=24cm，
∴$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$cm。
90°；25
11. (新考法·阅读理解)(2024·张家港期中)若直角三角形的三边长都是正整数，则三边长为“勾股数”. 当 $ m $ 为大于 2 的正整数时，$ m^2 + 1 $，$ m^2 - 1 $ 和 $ 2m $ 就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数.
(1) 当 $ m = 4 $ 时，该组勾股数是
(2) 若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为 16，求 $ m $ 的值；
(3) 若一组勾股数中最大的数是 $ a^2 + 6a + 10 $($ a $ 是任意正整数)，则另外两个数分别为
(1) 当 $ m = 4 $ 时，该组勾股数是
17,15,8
；(2) 若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为 16，求 $ m $ 的值；
(3) 若一组勾股数中最大的数是 $ a^2 + 6a + 10 $($ a $ 是任意正整数)，则另外两个数分别为
a² + 6a + 8
，2a + 6
(分别用含 $ a $ 的代数式表示).答案
11.
(1) 17,15,8
(2) 当m ＞ 2时,m² + 1 ＞ m² - 1 ＞ 2m,
∴ 当这组勾股数中最大的数与最小的数的和为116时，m² + 1 + 2m = 116,
∴ (m + 1)² = 116.
∵ m为大于2的正整数，此方程无符合条件的解；若和为16时，m² + 1 + 2m = 16,
∴ (m + 1)² = 16.
∵ m为大于2的正整数，
∴ m + 1 = 4,解得m = 3
(3) a² + 6a + 8 2a + 6 解析:
∵ a² + 6a + 10 = (a + 3)² + 1,
∴ 当一组勾股数中最大的数是a² + 6a + 10(a是任意正整数)时,另外两个数分别为(a + 3)² - 1 = a² + 6a + 8与2(a + 3) = 2a + 6.
(1) 17,15,8
(2) 当m ＞ 2时,m² + 1 ＞ m² - 1 ＞ 2m,
∴ 当这组勾股数中最大的数与最小的数的和为116时，m² + 1 + 2m = 116,
∴ (m + 1)² = 116.
∵ m为大于2的正整数，此方程无符合条件的解；若和为16时，m² + 1 + 2m = 16,
∴ (m + 1)² = 16.
∵ m为大于2的正整数，
∴ m + 1 = 4,解得m = 3
(3) a² + 6a + 8 2a + 6 解析:
∵ a² + 6a + 10 = (a + 3)² + 1,
∴ 当一组勾股数中最大的数是a² + 6a + 10(a是任意正整数)时,另外两个数分别为(a + 3)² - 1 = a² + 6a + 8与2(a + 3) = 2a + 6.
12. (新考向·传统文化)(2023·南京)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一个问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 欲知为田几何?”大意如下：如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 13 $ 里，$ BC = 14 $ 里，$ AC = 15 $ 里，则 $ \triangle ABC $ 的面积是(
A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
C
)A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
答案
12. C 解析:过点A作AD⊥BC于点D.设BD = x里,则CD = (14 - x)里.在Rt△ABD中,AD² = (13² - x²)里²;在Rt△ADC中,AD² = [15² - (14 - x)²]里².
∴ 13² - x² = 15² - (14 - x)²,解得x = 5,
∴ AD² = 13² - 5² = 144(里²),
∴ AD = 12里,
∴ △ABC的面积为$\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}$ × 14 × 12 = 84(平方里).
∴ 13² - x² = 15² - (14 - x)²,解得x = 5,
∴ AD² = 13² - 5² = 144(里²),
∴ AD = 12里,
∴ △ABC的面积为$\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}$ × 14 × 12 = 84(平方里).
13. 如图，某港口 $ P $ 位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行. 已知甲、乙两船每小时分别航行 12 海里和 16 海里，1 小时后两船分别位于点 $ A $，$ B $ 处，且相距 20 海里. 若甲船沿北偏西 $ 40^{\circ} $ 方向航行，则乙船沿
北偏东50°
方向航行.答案
13. 北偏东50°
14. (新情境·现实生活)如图所示为一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 $ 100 \mathrm{cm} $，$ 15 \mathrm{cm} $，$ 10 \mathrm{cm} $，$ A $ 和 $ B $ 是这个台阶的两个相对的端点，点 $ A $ 处有一只蚂蚁想到点 $ B $ 处去吃可口的食物(只在台阶表面上爬行)，则它所爬行的最短路程为
125
$ \mathrm{cm} $.答案
14. 125
解析
将台阶表面展开，水平方向总长度为 $100$ cm，竖直方向总长度为 $3×(15 + 10)=75$ cm。根据勾股定理，最短路程为 $\sqrt{100^2 + 75^2}=\sqrt{10000 + 5625}=\sqrt{15625}=125$ cm。
125
125
