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17. 已知△ABC,∠A= 60°.
(1)如图①,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC= ______.
(2)如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于$O_1、$$O_2,$则$∠BO_2C= ______.$
(3)如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于$O_1、$$O_2、$…、$Oₙ₋_1($内部有n - 1个点),求$∠BOₙ₋_1C($用含n的代数式表示).
(4)如图③,∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点$O_1,O_2、$…、$Oₙ₋_1,$若$∠BOₙ₋_1C= 90°,$求n的值.
(1)如图①,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC= ______.
(2)如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于$O_1、$$O_2,$则$∠BO_2C= ______.$
(3)如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于$O_1、$$O_2、$…、$Oₙ₋_1($内部有n - 1个点),求$∠BOₙ₋_1C($用含n的代数式表示).
(4)如图③,∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点$O_1,O_2、$…、$Oₙ₋_1,$若$∠BOₙ₋_1C= 90°,$求n的值.
答案
(1)$120^{\circ}$ (2)$100^{\circ}$
(3)$\because$ 点 $O_{n - 1}$ 是 $\angle ABC$ 与 $\angle ACB$ 的 $n$ 等分线的交点，
$\therefore \angle O_{n - 1}BC + \angle O_{n - 1}CB = \frac{n - 1}{n}(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{n - 1}{n} × 120^{\circ}$，
$\therefore \angle BO_{n - 1}C = 180^{\circ} - \frac{n - 1}{n} × 120^{\circ} = (1 + \frac{2}{n}) × 60^{\circ}$.
(4)由(3)得 $(1 + \frac{2}{n}) × 60^{\circ} = 90^{\circ}$，
解得 $n = 4$.
(3)$\because$ 点 $O_{n - 1}$ 是 $\angle ABC$ 与 $\angle ACB$ 的 $n$ 等分线的交点，
$\therefore \angle O_{n - 1}BC + \angle O_{n - 1}CB = \frac{n - 1}{n}(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{n - 1}{n} × 120^{\circ}$，
$\therefore \angle BO_{n - 1}C = 180^{\circ} - \frac{n - 1}{n} × 120^{\circ} = (1 + \frac{2}{n}) × 60^{\circ}$.
(4)由(3)得 $(1 + \frac{2}{n}) × 60^{\circ} = 90^{\circ}$，
解得 $n = 4$.
