12. (2024·宣城)已知 $ a $,$ b $,$ c $ 分别是三角形的三边长,那么化简式子 $ |a + b - c| - |a - b - c| $ 的结果是 ()

A.$ 2a $
B.$ 2b $
C.$ -2c $
D.$ 2a - 2c $

D

13. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB // CD $,连接 $ BD $,点 $ E $ 是 $ BD $ 边上一点,连接 $ CE $,已知 $ \angle 1 = \angle 2 $,$ AD = EC $。
(1)$ \triangle ABD $ 与 $ \triangle EDC $ 全等吗?
(2)若 $ AB = 2 $,$ BE = 3 $,求 $ CD $ 的长。

解:(1)因为AB//CD，
所以∠ABD=∠EDC。
在△ABD和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle ABD=\angle EDC,\\ \angle 1=\angle 2,\\ AD=EC,\end{array}\right.$
所以△ABD≌△EDC(AAS)。
(2)由(1)得△ABD≌△EDC，
因为AB=2，BE=3，
所以AB=ED=2，
所以DB=CD=BE+ED=3+2=5，
所以CD的长是5。

14. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,$ BE \perp AC $ 于点 $ E $,交 $ AD $ 于点 $ F $,且 $ DF = DC $。
(1)$ \triangle BDF $ 与 $ \triangle ADC $ 全等吗?
(2)已知 $ AF = 3 $,$ BC = 5 $,求 $ AD $ 的长。

解:(1)因为AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F，
所以∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
所以∠DBF=∠DAC=90°−∠C。
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle DBF=\angle DAC,\\ \angle BDF=\angle ADC,\\ DF=DC,\end{array}\right.$
所以△BDF≌△ADC(AAS)。
(2)由(1)得△BDF≌△ADC，
所以BD=AD，
所以BC−DC=AF+DF。
因为DF=DC，AF=3，BC=5，
所以5−DF=3+DF，
所以DF=1，
所以AD=AF+DF=3+1=4，
所以AD的长为4。