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12. 如图4-2①是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形，沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按图4-2②所示的形状拼成一个正方形.
(1)图4-2②中的阴影部分面积为____；
(2)观察图4-2②，请你写出三个代数式$(m+n)^{2}$，$(m-n)^{2}$，$mn$之间的等量关系；
(3)若$x+y=-6$，$xy=2.75$，利用(2)中的等量关系计算$x-y$的值.
(1)图4-2②中的阴影部分面积为____；
(2)观察图4-2②，请你写出三个代数式$(m+n)^{2}$，$(m-n)^{2}$，$mn$之间的等量关系；
(3)若$x+y=-6$，$xy=2.75$，利用(2)中的等量关系计算$x-y$的值.
答案
【解析】：
(1) 图②中阴影部分为正方形，其边长为$m - n$，根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为边长），所以阴影部分面积为$(m - n)^{2}$。
(2) 大正方形边长为$m + n$，其面积$(m + n)^{2}$；阴影部分面积为$(m - n)^{2}$，四个小长方形面积和为$4mn$。
因为大正方形面积$=$阴影部分面积$+$四个小长方形面积，所以$(m + n)^{2}=(m - n)^{2}+4mn$。
(3) 由(2)知$(x - y)^{2}=(x + y)^{2}-4xy$。
已知$x + y=-6$，$xy = 2.75$，将其代入可得：
$(x - y)^{2}=(-6)^{2}-4\times2.75=36 - 11 = 25$，
则$x - y=\pm\sqrt{25}=\pm5$。
【答案】：
(1)$(m - n)^{2}$
(2)$(m + n)^{2}=(m - n)^{2}+4mn$
(3)$\pm5$
(1) 图②中阴影部分为正方形，其边长为$m - n$，根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为边长），所以阴影部分面积为$(m - n)^{2}$。
(2) 大正方形边长为$m + n$，其面积$(m + n)^{2}$；阴影部分面积为$(m - n)^{2}$，四个小长方形面积和为$4mn$。
因为大正方形面积$=$阴影部分面积$+$四个小长方形面积，所以$(m + n)^{2}=(m - n)^{2}+4mn$。
(3) 由(2)知$(x - y)^{2}=(x + y)^{2}-4xy$。
已知$x + y=-6$，$xy = 2.75$，将其代入可得：
$(x - y)^{2}=(-6)^{2}-4\times2.75=36 - 11 = 25$，
则$x - y=\pm\sqrt{25}=\pm5$。
【答案】：
(1)$(m - n)^{2}$
(2)$(m + n)^{2}=(m - n)^{2}+4mn$
(3)$\pm5$
13. 我们知道，任意一个正整数$n$都可以进行这样的分解：$n=p×q$（$p$，$q$是正整数，且$p\leqslant q$），在$n$的所有这种分解中，如果$p$，$q$两因数之差的绝对值最小，我们就称$p×q$是$n$的最佳分解，并规定：$F(n)=\frac{p}{q}$. 例如，12可以分解成$1×12$或$2×6$或$3×4$. 因为$12-1＞6-2＞4-3$，所以$3×4$是12的最佳分解，所以$F(12)=\frac{3}{4}$.
(1)如果一个正整数$m$是另外一个正整数$n$的平方，我们称正整数$m$是完全平方数.
求证：对任意一个完全平方数$m$，总有$F(m)=1$.
(2)如果一个两位正整数$t$，$t=10x+y(1\leqslant x\leqslant y\leqslant 9$，$x$，$y$为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数$t$为“吉祥数”，求所有“吉祥数”.
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求$F(t)$的最大值.
(1)如果一个正整数$m$是另外一个正整数$n$的平方，我们称正整数$m$是完全平方数.
求证：对任意一个完全平方数$m$，总有$F(m)=1$.
(2)如果一个两位正整数$t$，$t=10x+y(1\leqslant x\leqslant y\leqslant 9$，$x$，$y$为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数$t$为“吉祥数”，求所有“吉祥数”.
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求$F(t)$的最大值.
答案
【解析】：
(1) 设$m = n^2$（$n$为正整数），因为$m=n\times n$，且$n - n = 0$，在$m$的所有分解$p\times q$（$p$，$q$是正整数，且$p\leqslant q$）中，两因数之差的绝对值最小的分解就是$n\times n$，根据$F(n)$的定义，$F(m)=\frac{n}{n}=1$，所以对任意一个完全平方数$m$，总有$F(m)=1$。
(2) 已知$t = 10x + y$，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为$10y + x$。
由新数减去原来的两位正整数所得的差为$36$，可得$(10y + x)-(10x + y)=36$。
去括号得$10y + x - 10x - y = 36$，
合并同类项得$9y-9x = 36$，
两边同时除以$9$得$y - x = 4$，即$y=x + 4$。
因为$1\leqslant x\leqslant y\leqslant 9$，$x$，$y$为自然数，
当$x = 1$时，$y=1 + 4 = 5$，此时$t = 15$；
当$x = 2$时，$y=2 + 4 = 6$，此时$t = 26$；
当$x = 3$时，$y=3 + 4 = 7$，此时$t = 37$；
当$x = 4$时，$y=4 + 4 = 8$，此时$t = 48$；
当$x = 5$时，$y=5 + 4 = 9$，此时$t = 59$。
所以所有“吉祥数”为$15$，$26$，$37$，$48$，$59$。
(3) 分别计算各“吉祥数”的$F(t)$值：
对于$t = 15$，$15$可以分解为$1\times15$或$3\times5$，因为$15 - 1＞5 - 3$，所以$3\times5$是$15$的最佳分解，$F(15)=\frac{3}{5}$。
对于$t = 26$，$26$可以分解为$1\times26$或$2\times13$，因为$26 - 1＞13 - 2$，所以$2\times13$是$26$的最佳分解，$F(26)=\frac{2}{13}$。
对于$t = 37$，$37$只能分解为$1\times37$，所以$F(37)=\frac{1}{37}$。
对于$t = 48$，$48$可以分解为$1\times48$，$2\times24$，$3\times16$，$4\times12$，$6\times8$，因为$48 - 1＞24 - 2＞16 - 3＞12 - 4＞8 - 6$，所以$6\times8$是$48$的最佳分解，$F(48)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
对于$t = 59$，$59$只能分解为$1\times59$，所以$F(59)=\frac{1}{59}$。
比较$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{13}$，$\frac{1}{37}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{59}$的大小：
$\frac{3}{4}＞\frac{3}{5}＞\frac{2}{13}＞\frac{1}{37}＞\frac{1}{59}$，所以$F(t)$的最大值为$\frac{3}{4}$。
【答案】：(1)证明见上述解析；(2)$15$，$26$，$37$，$48$，$59$；(3)$\frac{3}{4}$
(1) 设$m = n^2$（$n$为正整数），因为$m=n\times n$，且$n - n = 0$，在$m$的所有分解$p\times q$（$p$，$q$是正整数，且$p\leqslant q$）中，两因数之差的绝对值最小的分解就是$n\times n$，根据$F(n)$的定义，$F(m)=\frac{n}{n}=1$，所以对任意一个完全平方数$m$，总有$F(m)=1$。
(2) 已知$t = 10x + y$，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为$10y + x$。
由新数减去原来的两位正整数所得的差为$36$，可得$(10y + x)-(10x + y)=36$。
去括号得$10y + x - 10x - y = 36$，
合并同类项得$9y-9x = 36$，
两边同时除以$9$得$y - x = 4$，即$y=x + 4$。
因为$1\leqslant x\leqslant y\leqslant 9$，$x$，$y$为自然数，
当$x = 1$时，$y=1 + 4 = 5$，此时$t = 15$；
当$x = 2$时，$y=2 + 4 = 6$，此时$t = 26$；
当$x = 3$时，$y=3 + 4 = 7$，此时$t = 37$；
当$x = 4$时，$y=4 + 4 = 8$，此时$t = 48$；
当$x = 5$时，$y=5 + 4 = 9$，此时$t = 59$。
所以所有“吉祥数”为$15$，$26$，$37$，$48$，$59$。
(3) 分别计算各“吉祥数”的$F(t)$值：
对于$t = 15$，$15$可以分解为$1\times15$或$3\times5$，因为$15 - 1＞5 - 3$，所以$3\times5$是$15$的最佳分解，$F(15)=\frac{3}{5}$。
对于$t = 26$，$26$可以分解为$1\times26$或$2\times13$，因为$26 - 1＞13 - 2$，所以$2\times13$是$26$的最佳分解，$F(26)=\frac{2}{13}$。
对于$t = 37$，$37$只能分解为$1\times37$，所以$F(37)=\frac{1}{37}$。
对于$t = 48$，$48$可以分解为$1\times48$，$2\times24$，$3\times16$，$4\times12$，$6\times8$，因为$48 - 1＞24 - 2＞16 - 3＞12 - 4＞8 - 6$，所以$6\times8$是$48$的最佳分解，$F(48)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
对于$t = 59$，$59$只能分解为$1\times59$，所以$F(59)=\frac{1}{59}$。
比较$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{13}$，$\frac{1}{37}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{59}$的大小：
$\frac{3}{4}＞\frac{3}{5}＞\frac{2}{13}＞\frac{1}{37}＞\frac{1}{59}$，所以$F(t)$的最大值为$\frac{3}{4}$。
【答案】：(1)证明见上述解析；(2)$15$，$26$，$37$，$48$，$59$；(3)$\frac{3}{4}$
