1. 已知下面三个关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$,$bx^{2}+cx + a = 0$,$cx^{2}+ax + b = 0$恰好有一个相同的实数根 $a$,则 $a + b + c$的值为()
A.0
B.1
C.3
D.不确定

A

因为$a$是三个方程的相同实数根，所以将$x = a$分别代入三个方程：
1. $a \cdot a^{2} + b \cdot a + c = 0$，即$a^{3} + ab + c = 0$；
2. $b \cdot a^{2} + c \cdot a + a = 0$，即$ba^{2} + ca + a = 0$；
3. $c \cdot a^{2} + a \cdot a + b = 0$，即$ca^{2} + a^{2} + b = 0$。
将上述三个等式左右两边分别相加：
$(a^{3} + ab + c) + (ba^{2} + ca + a) + (ca^{2} + a^{2} + b) = 0$
整理得：
$a^{3} + ba^{2} + ca^{2} + a^{2} + ab + ca + b + c = 0$
提取公因式：
$a^{3} + a^{2}(b + c + 1) + a(b + c) + (b + c) = 0$
设$S = b + c$，则方程变为：
$a^{3} + a^{2}(S + 1) + aS + S = 0$
进一步整理：
$a^{3} + a^{2} + S(a^{2} + a + 1) = 0$
解得：
$S = -\frac{a^{3} + a^{2}}{a^{2} + a + 1} = -\frac{a^{2}(a + 1)}{a^{2} + a + 1}$
因为$a$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的根，且方程是一元二次方程，所以$a \neq 0$。若$a + b + c \neq 0$，则$S = b + c = -a$，代入上式得：
$-a = -\frac{a^{2}(a + 1)}{a^{2} + a + 1}$
化简得：
$a(a^{2} + a + 1) = a^{2}(a + 1)$
$a^{3} + a^{2} + a = a^{3} + a^{2}$
即$a = 0$，与$a \neq 0$矛盾。因此$a + b + c = 0$。
A

2. 已知关于 x 的方程 $(m - 2)x^{m^{2}}+(m - 3)x + 1 = 0$。当 m 为何值时,它是一元二次方程？

$ m = \pm \sqrt{2} $

要使方程$(m - 2)x^{m^{2}}+(m - 3)x + 1 = 0$是一元二次方程，需满足：
1. 未知数最高次数为$2$，即$m^2 = 2$，解得$m = \pm \sqrt{2}$；
2. 二次项系数不为$0$，即$m - 2 \neq 0$，解得$m \neq 2$。
综上，$m = \pm \sqrt{2}$。

3. 解关于 x 的方程：$(a + 1)x^{2}-6ax + 9(a - 1)= 0$。

$ x_1 = 3, x_2 = \frac{3a - 3}{a + 1} $

当$a + 1 = 0$，即$a = -1$时，方程化为$6x - 18 = 0$，解得$x = 3$；
当$a + 1 \neq 0$，即$a \neq -1$时，$\Delta = (-6a)^2 - 4(a + 1) \cdot 9(a - 1) = 36$，
$x = \frac{6a \pm \sqrt{36}}{2(a + 1)} = \frac{6a \pm 6}{2(a + 1)}$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{3a - 3}{a + 1}$。
综上，当$a = -1$时，$x = 3$；当$a \neq -1$时，$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{3a - 3}{a + 1}$。

4. 阅读下列材料：“$a^{2}\geq0$”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式。例如：$x^{2}+4x + 5 = x^{2}+4x + 4 + 1= (x + 2)^{2}+1$,$\because(x + 2)^{2}\geq0$,$\therefore(x + 2)^{2}+1\geq1$,$\therefore x^{2}+4x + 5\geq1$。试利用“配方法”解决下列问题：
(1) 填空：$x^{2}-4x + 5= (x$$)^{2}+$；
(2) 比较代数式 $x^{2}-1$与 $2x - 3$的大小；
(3) 若 $a$,$b$,$c$是 $\triangle ABC$的三边长,满足 $a^{2}+b^{2}= 10a + 8b - 41$,$c$是 $\triangle ABC$中的最长边,且 $c$为整数,那么 $c$可能是哪几个数？
(2)$ x^2 - 1 - (2x - 3) = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 $,
∵$ (x - 1)^2 \geq 0 $,
∴$ (x - 1)^2 + 1 ＞ 0 $,
∴$ x^2 - 1 ＞ 2x - 3 $。
(3)由题意可得,$ a^2 - 10a + 25 + b^2 - 8b + 16 = 0 $,即$ (a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0 $,
∴$ a - 5 = 0, b - 4 = 0 $,
∴$ a = 5, b = 4 $,
∴$ 1 ＜ c ＜ 9 $。
∵c 是△ABC 中的最长边,且 c 为整数,
∴$ 5 ＜ c ＜ 9 $,
∴c 可能是 6,7,8。

解:
(1) -2 1
(2)$ x^2 - 1 - (2x - 3) = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 $,
∵$ (x - 1)^2 \geq 0 $,
∴$ (x - 1)^2 + 1 ＞ 0 $,
∴$ x^2 - 1 ＞ 2x - 3 $。
(3)由题意可得,$ a^2 - 10a + 25 + b^2 - 8b + 16 = 0 $,即$ (a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0 $,
∴$ a - 5 = 0, b - 4 = 0 $,
∴$ a = 5, b = 4 $,
∴$ 1 ＜ c ＜ 9 $。
∵c 是△ABC 中的最长边,且 c 为整数,
∴$ 5 ＜ c ＜ 9 $,
∴c 可能是 6,7,8。

5. 关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$,给出下列说法：①若 $a + c = 0$,则方程必有两个实数根；②若 $a + b + c = 0$,则方程必有两个实数根；③若 $b = 2a + 3c$,则方程有两个不相等的实数根；④若 $b^{2}-5ac\lt0$,则方程一定没有实数根。其中说法正确的序号是()
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

A

①若$a + c = 0$，则$c=-a$，$\Delta = b^{2}-4ac = b^{2}-4a(-a)=b^{2}+4a^{2}$，$\because a\neq0$，$\therefore b^{2}+4a^{2}\geq4a^{2}＞0$，方程必有两个实数根；
②若$a + b + c = 0$，则$b=-a - c$，$\Delta = (-a - c)^{2}-4ac=(a - c)^{2}\geq0$，方程必有两个实数根；
③若$b = 2a + 3c$，$\Delta=(2a + 3c)^{2}-4ac=4a^{2}+12ac + 9c^{2}-4ac=4a^{2}+8ac + 9c^{2}=4(a + c)^{2}+5c^{2}$，$\because a\neq0$，$\therefore 4(a + c)^{2}+5c^{2}\geq5c^{2}$，若$c\neq0$，$\Delta＞0$；若$c = 0$，则$b = 2a$，$\Delta=4a^{2}＞0$，方程有两个不相等的实数根；
④若$b^{2}-5ac＜0$，当$ac＞0$时，$b^{2}＜5ac$，但$\Delta = b^{2}-4ac$可能大于0，例如$a = 1$，$c = 1$，$b^{2}=4.5$，$\Delta=4.5 - 4=0.5＞0$，方程有实数根，故④错误。
正确的序号是①②③，答案选A。