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7. 若关于$x的多项式x^{2}+mx + 1可分解成(x + n)^{2}$,则$n$等于(
A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$2$
A
)A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$2$
答案
A
解析
$(x + n)^{2}=x^{2}+2nx + n^{2}$，
多项式$x^{2}+mx + 1$可分解成$(x + n)^{2}$，
则$n^{2}=1$，
解得$n=\pm1$。
A
多项式$x^{2}+mx + 1$可分解成$(x + n)^{2}$，
则$n^{2}=1$，
解得$n=\pm1$。
A
8. 若$4x^{2}+(k - 1)x + 9$能用完全平方公式因式分解,则$k$的值为(
A.$\pm6$
B.$\pm12$
C.$-13或11$
D.$13或-11$
D
)A.$\pm6$
B.$\pm12$
C.$-13或11$
D.$13或-11$
答案
D
解析
因为$4x^{2}+(k - 1)x + 9$能用完全平方公式因式分解，且$4x^{2}=(2x)^{2}$，$9=3^{2}$，所以$4x^{2}+(k - 1)x + 9=(2x\pm3)^{2}$。
当$4x^{2}+(k - 1)x + 9=(2x + 3)^{2}$时，$(2x + 3)^{2}=4x^{2}+12x + 9$，则$k - 1=12$，解得$k=13$。
当$4x^{2}+(k - 1)x + 9=(2x - 3)^{2}$时，$(2x - 3)^{2}=4x^{2}-12x + 9$，则$k - 1=-12$，解得$k=-11$。
综上，$k$的值为$13$或$-11$。
D
当$4x^{2}+(k - 1)x + 9=(2x + 3)^{2}$时，$(2x + 3)^{2}=4x^{2}+12x + 9$，则$k - 1=12$，解得$k=13$。
当$4x^{2}+(k - 1)x + 9=(2x - 3)^{2}$时，$(2x - 3)^{2}=4x^{2}-12x + 9$，则$k - 1=-12$，解得$k=-11$。
综上，$k$的值为$13$或$-11$。
D
9. 已知$\vert x - 2y - 1\vert+x^{2}+4xy + 4y^{2}= 0$,则$x + y= $
$\frac {1}{4}$
.答案
$\frac {1}{4}$
解析
$\because \vert x - 2y - 1\vert+x^{2}+4xy + 4y^{2}= 0$
$\therefore \vert x - 2y - 1\vert+(x + 2y)^{2}= 0$
$\because \vert x - 2y - 1\vert\geq 0$，$(x + 2y)^{2}\geq 0$
$\therefore \left\{\begin{array}{l}x - 2y - 1= 0\\x + 2y= 0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{4}\end{array}\right.$
$\therefore x + y=\dfrac{1}{2}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{4}$
$\therefore \vert x - 2y - 1\vert+(x + 2y)^{2}= 0$
$\because \vert x - 2y - 1\vert\geq 0$，$(x + 2y)^{2}\geq 0$
$\therefore \left\{\begin{array}{l}x - 2y - 1= 0\\x + 2y= 0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{4}\end{array}\right.$
$\therefore x + y=\dfrac{1}{2}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{4}$
10. 已知$a与b$互为相反数,则代数式$a^{2}+2ab + b^{2}-2027$的值为
-2027
.答案
-2027
解析
因为$a$与$b$互为相反数，所以$a + b=0$。
$a^{2}+2ab + b^{2}-2027=(a + b)^{2}-2027$
将$a + b=0$代入上式，得$0^{2}-2027=-2027$。
-2027
$a^{2}+2ab + b^{2}-2027=(a + b)^{2}-2027$
将$a + b=0$代入上式，得$0^{2}-2027=-2027$。
-2027
11. 小贤碰到一道题目：“分解因式$x^{2}-2x - 3$.”不会做,去问老师,老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上$1$,再减去$1$,这样原式化为$(x^{2}-2x + 1)-4$,…$$”老师话没讲完,小贤就恍然大悟,他马上就做好了此题.
(1)请你完成他分解因式的步骤.
(2)运用这种方法分解因式：$x^{2}+4x - 5$.
(1)请你完成他分解因式的步骤.
(2)运用这种方法分解因式：$x^{2}+4x - 5$.
答案
解:
(1)$x^{2}-2x-3$
$=(x^{2}-2x+1)-4$
$=(x-1)^{2}-2^{2}$
$=(x-1+2)(x-1-2)$
$=(x+1)(x-3).$
(2)$x^{2}+4x-5$
$=(x^{2}+4x+4)-9$
$=(x+2)^{2}-3^{2}$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x+5)(x-1).$
(1)$x^{2}-2x-3$
$=(x^{2}-2x+1)-4$
$=(x-1)^{2}-2^{2}$
$=(x-1+2)(x-1-2)$
$=(x+1)(x-3).$
(2)$x^{2}+4x-5$
$=(x^{2}+4x+4)-9$
$=(x+2)^{2}-3^{2}$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x+5)(x-1).$
12. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2}-4x = y$,
原式$=(y + 2)(y + 6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)\cdot(x^{2}-2x + 2)+1$进行因式分解.
解：$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1$
$=(x^{2}-2x)^{2}+2(x^{2}-2x)+1$
$=(x^{2}-2x + 1)^{2}$
$=(x - 1)^{4}.$
解：设$x^{2}-4x = y$,
原式$=(y + 2)(y + 6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(
C
)A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
不彻底
(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果$(x-2)^{4}$
.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)\cdot(x^{2}-2x + 2)+1$进行因式分解.
解：$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1$
$=(x^{2}-2x)^{2}+2(x^{2}-2x)+1$
$=(x^{2}-2x + 1)^{2}$
$=(x - 1)^{4}.$
答案
解:
(1)C
(2)不彻底$(x-2)^{4}$
(3)$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1$
$=(x^{2}-2x)^{2}+2(x^{2}-2x)+1$
$=(x^{2}-2x + 1)^{2}$
$=(x - 1)^{4}.$
(1)C
(2)不彻底$(x-2)^{4}$
(3)$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1$
$=(x^{2}-2x)^{2}+2(x^{2}-2x)+1$
$=(x^{2}-2x + 1)^{2}$
$=(x - 1)^{4}.$
